（新教材適用）高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步86空間直線平面的垂直861直線與直線垂直課后習(xí)題

8.6.1直線與直線垂直課后訓(xùn)練鞏固提升1.設(shè)a,b,c是直線,則下列說(shuō)法正確的是()A.若a⊥b,c⊥b,則a∥cB.若a⊥b,c⊥b,則a⊥cC.若a∥b,則a與c,b與c所成的角相等D.若a與c所成的角等于c與b所成的角,則a∥b解析:由異面直線所成的角的定義知C正確.答案:C2.在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD的中點(diǎn)分別是P,Q,R,且PQ=2,QR=5,PR=3,那么異面直線AC和BD所成的角是()A.90° B.60° C.45° D.30°解析:由已知得∠PQR=90°,∵AC∥PQ,BD∥QR,∴AC與BD所成角即∠PQR.答案:A3.(多選題)已知ABCDA1B1C1D1是正方體,則下列結(jié)論正確的是()A.直線A1C1與B1C是異面直線B.A1D與B1C所成的角為60°C.A1C1⊥BDD.直線A1C1與B1C所成的角為60°解析:由異面直線的定義知,A正確.由平行四邊形A1DCB1,知A1D∥B1C,故B錯(cuò)誤.如圖,連接AC,由A1C1∥AC,AC⊥BD,知A1C1⊥BD,故C正確.D中,連接C1D,∵B1C∥A1D,∴∠DA1C1或其補(bǔ)角為異面直線A1C1與B1C所成的角.又A1D,DC1,A1C1為正方體的面對(duì)角線,∴A1D=DC1=A1C1,∴△A1DC1為等邊三角形,∴∠C1A1D=60°,即異面直線A1C1與B1C所成的角為60°.答案:ACD4.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱C1D1,C1C的中點(diǎn),則直線AM和BN所成角的正弦值為 ()A.25C.12解析:如圖,取DD1的中點(diǎn)G,連接AG,MG,則AG∥BN,所以∠MAG或其補(bǔ)角為直線AM和BN所成的角.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則AG=5,MG=2,AM=3.在△AGM中,由余弦定理可得cos∠MAG=5+9-22×因此,直線AM和BN所成的角的正弦值為55.答案:B5.若∠AOB=120°,直線a∥OA,a與OB為異面直線,則a和OB所成的角的大小為.

解析:因?yàn)閍∥OA,異面直線所成的角為銳角或直角,所以a與OB所成的角為60°.答案:60°6.如圖所示,在正三角形ABC中,D,E,F分別為AB,BC,AC的中點(diǎn),G,H,J,I分別為AF,AD,DE,BE的中點(diǎn),將△ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐以后,GH與IJ所成的角為.

解析:將三角形折成三棱錐后,其直觀圖如圖所示,GH與IJ是異面直線.∵G,H分別為AF,AD的中點(diǎn),∴GH∥DF.又I,J分別為AE,DE的中點(diǎn),∴IJ∥AD.∴DF與AD所成的角即為異面直線GH與IJ所成的角.由題意知△ADF是正三角形,∴DF與AD所成的角為60°.即GH與IJ所成的角為60°.答案:60°7.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分別是DD1,AB,CC1的中點(diǎn).求異面直線A1E與GF所成角的大小.解:如圖,連接B1G,EG.∵E,G分別是DD1和CC1的中點(diǎn),∴EGC1D1,而C1D1A1B1,∴EGA1B1.∴四邊形EGB1A1是平行四邊形.∴A1E∥B1G,從而∠B1GF或其補(bǔ)角為異面直線A1E與GF所成的角.連接B1F,由已知得FG=3,B1G=2,B1F=5由FG2+B1G2=B1F2,得∠B1GF=90°,即異面直線A1E與GF所成的角為90°.8.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,兩條對(duì)邊AB=CD=3,E,F分別是另外兩條對(duì)邊AD,BC上的點(diǎn),且AEED=BFFC=12,EF=解:如圖,連接BD,過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線交BD于點(diǎn)O,連接OF.∵EO∥AB,∴又AB=3,∴EO=2.∵BFFC=∴OF∥DC.∴∠EOF或其補(bǔ)角即為AB和CD所成