浙江省紹興市諸暨市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

第一學(xué)期期末考試試題高二數(shù)學(xué)注意：1．本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．全卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫(xiě)在答題紙上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可得，然后根據(jù)可得，最后得出結(jié)果.【解析】由題可知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：B2.已知是等比數(shù)列，公比為q，前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，即可求解.【解析】.故選：B3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，列出方程組，即可求解.【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)?，可得，所以，解?故選：C.4.如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)P在上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合幾何圖形，利用向量的線性運(yùn)算公式，即可求解.【解析】，，.故選：A5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和為，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為B.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為8C.當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為D.當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】D【解析】【分析】首先判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而求得，即可判斷AB；寫(xiě)出數(shù)列的前n項(xiàng)和，并去絕對(duì)值，即可判斷CD.【解析】對(duì)于A，由，得，，可知數(shù)列是首項(xiàng)為8，公差為的等差數(shù)列，則，則，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，而，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為9，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D6.已知曲線E：，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.曲線E關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B.曲線E與直線無(wú)公共點(diǎn)C.曲線E上的點(diǎn)到直線的最大距離是D.曲線E與圓有三個(gè)公共點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】分類(lèi)討論求出曲線的方程，畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象逐項(xiàng)分析即可.【解析】因?yàn)榍€E的方程為，當(dāng)，時(shí)，曲線E的方程為，當(dāng)，時(shí)，曲線E的方程為，是焦點(diǎn)在上的等軸雙曲線右支的一部分.當(dāng)，時(shí)，曲線E的方程為，是焦點(diǎn)在上的等軸雙曲線上支的一部分.作出曲線E的圖象如圖：由圖象可知曲線E關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，曲線E與直線無(wú)公共點(diǎn)，故A，B正確；作的平行線與曲線E切于點(diǎn)，曲線E上的點(diǎn)到直線的最大距離是圓的半徑為，故C錯(cuò)誤；圓的圓心為：，曲線E上的點(diǎn)到圓心的最大距離為.圓過(guò)點(diǎn)，如圖：曲線E與圓有三個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.故選：C.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，在橢圓C：上，且直線OA，OB的斜率之積為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】首先由題意得到，平方后，利用點(diǎn)在橢圓上，變形得到的值，即可求解.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以，因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以，得到，得，.故選：C8.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，若直線AB與平面xOy交于點(diǎn)，點(diǎn)P的軌跡方程為，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求出關(guān)系式，再利用空間兩點(diǎn)間距離求解即得.【解析】依題意，，顯然，則，解得，又，即，所以.故選：B【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求得是解題之關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.記為無(wú)窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A. B.C.數(shù)列為遞減數(shù)列 D.數(shù)列有最小項(xiàng)【答案】BD【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，分析可知，由條件可得，可判斷ABC選項(xiàng)，對(duì)q分情況討論，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【解析】對(duì)于A，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，又，即，所以，且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，又，故B正確；對(duì)于C，若，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)，則，此時(shí)數(shù)列不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，則有最小項(xiàng)，無(wú)最大項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，若n為正奇數(shù)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞減，則，若n為正偶數(shù)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，綜上所述，數(shù)列有最小項(xiàng)，故D正確.故選：BD.10.如圖，在正三棱臺(tái)中，已知，則（）A.向量，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底B.在上的投影向量為C.AC與平面所成的角為D.點(diǎn)C到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)棱臺(tái)的特征得到三向量不共線，得到A正確；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間投影向量公式得到在上的投影向量為；C選項(xiàng)，求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式求出答案；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到平面的距離公式求出兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離，得到D正確.【解析】A選項(xiàng)，正三棱臺(tái)中，向量，，不共線，故向量，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，A正確；B選項(xiàng)，，故，，取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則⊥，⊥，取的中心，連接，則⊥底面，過(guò)點(diǎn)作平行于，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼?，則，故，，故在上的投影為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令得，故，，設(shè)AC與平面所成的角為，則，故，故AC與平面所成的角為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，點(diǎn)C到平面的距離是，點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)C到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍，D正確.故選：AD11.已知直線l：與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】將直線方程和拋物線方程聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理和拋物線的定義即可求出，利用向量的數(shù)量積公式并結(jié)合韋達(dá)定理可求出的余弦值即可判斷選項(xiàng)、，將△分成以為底的兩個(gè)同底三角形并結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線也恒過(guò)點(diǎn)，設(shè)，，將聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可知，，，，∵，∴，則錯(cuò)誤；由拋物線的定義可知，則正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線恒過(guò)點(diǎn)，設(shè)，，將聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可知，，，，則，即，∴，則正確；，則正確；故選：.12.已知函數(shù)，，記，，則（）A.若正數(shù)為的從小到大的第n個(gè)極值點(diǎn)，則為等差數(shù)列B.若正數(shù)為的從小到大的第n個(gè)極值點(diǎn)，則為等比數(shù)列C.，在上有零點(diǎn)D.，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】由，求得，結(jié)合等差數(shù)列的定義，可判定A正確；由，結(jié)合等比數(shù)列的定義，可判定B正確；令，即，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而可判定C錯(cuò)誤，D正確.【解析】由函數(shù)，可得，，對(duì)于A中，由，令，可得，解得，即所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B中，由，則，可得（常數(shù)），所以數(shù)列為等比數(shù)列，所以B正確；對(duì)于C、D中，由，令，即，顯然，且時(shí)，不是函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)，且時(shí)，可得，令，其中，且，可得，令，即，即，解得，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，有極小值，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，有極大值，且，所以函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)與沒(méi)有公共點(diǎn)，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與只有一個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.故選：ABD.【小結(jié)】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知：的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，則________．【答案】0【解析】【分析】首先求圓心和半徑，即可求解值.【解析】，圓心為，半徑，所以，則.故答案為：14.數(shù)列滿足，，則________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)遞推公式變形得到，再根據(jù)等差數(shù)列的定義求數(shù)列的通項(xiàng)公式，變形后求的值.【解析】由題意，易知，由，兩邊取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，則.故答案為：.15.已知函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的斜率不大于1，則切點(diǎn)為整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的個(gè)數(shù)是________．【答案】4【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化為，求解集中的整點(diǎn).【解析】由題意，，即，解得，其中的整點(diǎn)有0,1,2,3，共4個(gè).故答案為：416.已知，是雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為N，直線與雙曲線C交于點(diǎn)，且均在第一象限，若，則雙曲線C的離心率是________．【答案】或【解析】【分析】易得，再根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合，求出，求出，再在中，利用余弦定理構(gòu)造的齊次式，即可得解.【解析】因?yàn)榫诘谝幌笙?，所以垂足在漸近線上，，則，由題意可得，所以，又因，所以，即，所以，所以，故，在中，，則，在中，由余弦定理得，，即，整理得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，離心率，當(dāng)時(shí)，離心率，所以雙曲線C的離心率是或.故答案為：或.【小結(jié)】方法小結(jié)：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.記是公差為整數(shù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且，，成等比數(shù)列．（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出公差，由公式即可確定和.（2）根據(jù)已知條件求出，裂項(xiàng)相消法求即可.【小問(wèn)1解析】設(shè)，由，得，所以或，由于，所以.所以，，.【小問(wèn)2解析】由知：，故，由所以.18.已知圓M：，圓N經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．（1）求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷兩圓位置關(guān)系；（2）若由動(dòng)點(diǎn)P向圓M和圓N所引的切線長(zhǎng)相等，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】（1），兩圓外離（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知圓N是以為直徑的圓，進(jìn)而可得圓N、圓M的圓心和半徑，進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系；（2）設(shè)，根據(jù)切線長(zhǎng)性質(zhì)結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式分析求解.【小問(wèn)1解析】由題意可知：，則圓N是以為直徑的圓，則圓N的圓心，半徑，所以：，又因?yàn)閳AM的圓心，半徑，可得，即，所以兩圓外離（相離）.【小問(wèn)2解析】設(shè)圓M上的切點(diǎn)為A，圓N上的切點(diǎn)為B，由題意可得：，設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為：和，單調(diào)遞減區(qū)間為：（2）或【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并化簡(jiǎn)為，，再討論的取值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1解析】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)榱睿没?，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：和，單調(diào)遞減區(qū)間為：小問(wèn)2解析】①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故只有一個(gè)極小值點(diǎn)，與條件矛盾，故舍去．②當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有兩個(gè)極值點(diǎn)a和，與條件相符．③當(dāng)時(shí)，和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有兩個(gè)極值點(diǎn)a和，與條件相符．④當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，舍去．⑤當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故只有一個(gè)極大值點(diǎn)，與條件矛盾，故舍去．綜上可得：或20.在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，交于O，，，．（1）求P到平面的距離；（2）求鈍二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，然后作于H，證明面，再求得即得；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【小問(wèn)1解析】由題知，，，，，由，，，得平面．在正中，作于H，又平面,平面，所以，又AO，BD是平面ABCD內(nèi)兩相交直線，所以面，所以，點(diǎn)P到平面ABCD的距離為．【小問(wèn)2解析】建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知是中點(diǎn)，即，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，設(shè)所求鈍二面角的平面角為，則．21.物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛．其定義是：對(duì)于函數(shù)，若滿足，則稱(chēng)數(shù)列為牛頓數(shù)列．已知，如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用代替重復(fù)上述過(guò)程得到，一直下去，得到數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，滿足，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，并令，得到數(shù)列的遞推公式，即可求解；（2）法一，由（1）可知，，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，代入不等式，參變分離為，轉(zhuǎn)化為作差判斷數(shù)列的單調(diào)性，再求數(shù)列的最大值，即可求解；法二，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，代入不等式，參變分離為，轉(zhuǎn)化為作商判斷數(shù)列的單調(diào)性，再求數(shù)列的最大值，即可求解.【小問(wèn)1解析】，在點(diǎn)處的切線方程為：令，得，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故【小問(wèn)2解析】令法一：錯(cuò)位相減法，，兩式相減得：化簡(jiǎn)得：故，化簡(jiǎn)得令，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以從而整數(shù)；法二：裂項(xiàng)相消法由，設(shè)且，則，于是，得，即所以故，化簡(jiǎn)得令，則時(shí)，，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以從而整數(shù)【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題的關(guān)鍵是第一問(wèn)理解題意，理解與的關(guān)系，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，后面的問(wèn)題迎刃而解.22.拋