數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：數(shù)學(xué)歸納法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2.3數(shù)學(xué)歸納法5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類(lèi)訓(xùn)練,可用于課前）1。用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N＊），驗(yàn)證n=1時(shí)等式的左邊為(）A.1B。1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案：C解析：當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a2.2。用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+…+>（n≥2)的過(guò)程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊（）A。增加了一項(xiàng)B。增加了兩項(xiàng)C。增加了B中的兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D。以上均不正確答案：C解析：在n=k+1時(shí)，用k+1替換n，再與n=k時(shí)比較。3。用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+++…+<n（n∈N＊且n>1）"時(shí)，由n=k（k>1)不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（)A。2k-1B.2k-1C。2k答案:C解析:增加的項(xiàng)數(shù)為(2k+1—1)—（2k—1)=2k+1—2k=2k。4。凸n邊形有f(n）條對(duì)角線,則凸n+1邊形的對(duì)角線條數(shù)f（n+1)與f（n)之間的關(guān)系為_(kāi)________.解析：設(shè)凸n+1邊形為A1A2……AnAn+1，連結(jié)A1An,則凸n+1邊形的對(duì)角線是由凸n邊形A1A2…An的對(duì)角線再加A1An,以及從A即f(n+1）=f(n）+1+n—2=f（n)+n-1.答案：f（n+1）=f(n）+n-110分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類(lèi)訓(xùn)練，可用于課中)1。若命題A(n）（n∈N＊）,n=k（k∈N*)時(shí)命題成立,則有n=k+1時(shí)命題成立?，F(xiàn)知命題對(duì)n=n0（n0∈N*)時(shí)命題成立,則有（）A.命題對(duì)所有正整數(shù)都成立B。命題對(duì)小于n0的正整數(shù)不成立,對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立C。命題對(duì)小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定,對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立D.以上說(shuō)法都不正確答案：C2。用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N＊）"的過(guò)程中,第二步n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到（）A。1+2+22+…+2k-2+2k—1=2k+1—1B。1+2+22+…+2k+2k+1=2k—1+2k+1C。1+2+22+…+2k—1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k—1+2k=2k—1+2k答案:D3.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列。（1）求和：a1-a2+a3=____________;a1-a2+a3—a4=____________。(2)由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論為_(kāi)_______________________________.解析：（1）a1-a2+a3=a1-2a1q+a1q2=a1（1—q)2，a1—a2+a3-a4=a1-3a1q+3a1q2—a1q3=a1（1-q）3.(2）歸納猜想:左邊結(jié)構(gòu)為a1-a2+a3-a4+…+(-1）nan+1,右邊為a1(1—q)n。答案：（1)a1（1—q）2a1（1—q)3（2)a1-a2+a3—a4+…+（—1）nan+1=a1(1—q）n4.使｜n2-5n+5｜=1不成立的最小的正整數(shù)是____________。解析：n=1、2、3、4代入驗(yàn)證成立，而n=5驗(yàn)證不成立。答案：55。用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除”，在驗(yàn)證n=1正確后,歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成____________.解析:第k個(gè)奇數(shù)為2k-1.答案:假設(shè)n=2k—1(k∈N+)時(shí)命題成立6.已知Sn=1+++…+(n〉1，n∈N*）,求證:〉1+(n≥2，n∈N*).證明：(1）當(dāng)n=2時(shí)，=1+++=>1+2，即n=2時(shí)命題成立。（2）設(shè)n=k時(shí)命題成立,即=1+++…+〉1+，當(dāng)n=k+1時(shí)，=1+++…+++…+〉1++>1++=1++=1+,故當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由（1)(2)知,對(duì)n∈N*,n≥2,〉1+都成立.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類(lèi)訓(xùn)練,可用于課后）1。設(shè)f（n）=1++++…+12n—1，則f（k+1)-f（k）等于（）A.B。++C.+D.+++…+答案：D解析：n=k時(shí)，f(k)=1+++…+。n=k+1時(shí),f（k+1)=1+++…+++…+?！鄁（k+1）—f（k)=++…+.2.如果命題p（n）對(duì)n=k成立，則它對(duì)n=k+2也成立.若p(n)對(duì)n=2也成立,則下列結(jié)論正確的是(）A.p(n）對(duì)所有正整數(shù)n都成立B。p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立C.p（n）對(duì)所有正奇數(shù)n都成立D.p（n）對(duì)所有自然數(shù)n都成立答案：B3。用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1)（n+2)·…·(n+n）=2n·1·3·…·（2n—1）（n∈N＊）,從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為()A.2k+1B.2（2k+1）C。D。答案：B4.若f（n)=1+++…+（n∈N*),則n=1時(shí)，f(n）是(）A。1B。C.1++D.非以上答案答案：C5.數(shù)列｛an｝中，a1=2，an+1=(n∈N*）.依次計(jì)算a2、a3、a4后歸納、猜想出an的表達(dá)式為_(kāi)_____________.解析:容易求得a2=，a3=，a4=.∴an=。答案:an=6。證明1++…+〉（n∈N*）,假設(shè)n=k時(shí)成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，左端增加的項(xiàng)有______________項(xiàng)。解析:2k+1—1-2k+1=2k答案：2k7。數(shù)列{an}滿足Sn=2n—an,先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，后猜想an并證明之。解：由a1=2-a1,得a1=1，由a1+a2=2×2—a2,得a2=.由a1+a2+a3=2×3—a3，得a3=.由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=.猜想an=.下面證明猜想正確。（1)當(dāng)n=1時(shí),由上面的計(jì)算可知猜想是成立的。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，那么ak=,此時(shí)Sk=2k—ak=2k。當(dāng)n=k+1時(shí),由Sk+1=2（k+1）—ak+1得Sk+ak+1=2（k+1)-ak+1.∴ak+1=［2（k+1)—Sk］=k+1(2k)=。這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。由(1）（2)可以斷定,an=對(duì)任意正整數(shù)n都成立。8。已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?,1],且滿足下列條件：①對(duì)于任意x∈［0，1],總有f（x）≥3,且f(1）=4；②若x1≥0,x2≥0，x1+x2≤2，則有f(x1+x2)≥f（x1)+f(x2)—3.(1)求f（0)的值。(2)求證：f（x）≤4.（3）當(dāng)x∈（,］（n=1，2，3,…）時(shí)，試證明f（x)<3x+3。解析：（1）令x1=x2=0,由①對(duì)于任意x∈［0，1］，總有f（x)≥3，∴f(0）≥3.又由②得f(0)≥2f(0)-3，即f（0)≤3；∴f(0)=3。（2）任取x1,x2∈[0，1］,且設(shè)x1〈x2.則f(x2)=f［x1+(x2-x1)］≥f（x1）+f(x2—x1)—3，∵0〈x2—x1≤1,∴f(x2-x1）≥3,即f(x2—x1）-3≥0.∴f（x1)≤f（x2）.∴當(dāng)x∈［0，1]時(shí)，f（x）≤f（1)=4.（3)先用數(shù)學(xué)歸納法證明:f（）≤+3（n∈N＊）.①當(dāng)n=1時(shí)，f(）=f(1)=4=1+3=+3，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，f（)≤+3(k∈N＊）。由f()=f［+(+)］≥f()+f(+）—3≥f（）+f()+f（）-6，得3f()≤f（）+6≤+9。∴f（)≤+3,即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由①②可知，不等式f（）≤+3對(duì)一切正整數(shù)都成立.于是，當(dāng)x∈(，］（n=1,2,3，…）時(shí)，3x+3>3×+3=+3≥f(），而x∈［0，1］，f（x)單調(diào)遞增，∴f(x)〈f(）?！鄁（x）<f（)<3x+3。9。已知an=1+++…+（n∈N＊），是否存在n的整式q（n),使得等式a1+a2+…+an—1=q（n）（an-1)對(duì)于大于1的一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論.解:假設(shè)存在q（n)，去探索q(n)等于多少.當(dāng)n=2時(shí)，由a1=q(2)（a2-1),即1=q（2)（1+-1)，