數(shù)學(xué)-章末測試：第二章推理與證明A

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章測評A（基礎(chǔ)過關(guān)卷）(時(shí)間：90分鐘滿分：100分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．觀察下圖:12343456745678910……則第10行的各數(shù)之和等于(）A．92B．102C．192D2．否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說法中，正確的是()A．有一個(gè)解 B．有兩個(gè)解 C．至少有三個(gè)解 D．至少有兩個(gè)解3．有如下一段演繹推理:“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”，這個(gè)推理的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)椋?A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤4．證明命題：“f(x）＝ex＋eq\f（1,ex）在(0,＋∞）上是增函數(shù)”．現(xiàn)給出的證法如下:因?yàn)閒（x）＝ex＋eq\f(1,ex），所以f′(x)＝ex－eq\f(1,ex）。因?yàn)閤＞0,所以ex＞1，0＜eq\f（1,ex）＜1，所以ex－eq\f(1,ex)＞0即f′（x)＞0，所以f(x)在（0，＋∞)上是增函數(shù)，使用的證明方法是（）A．綜合法 B．分析法 C．反證法 D．以上都不是5．由“在平面內(nèi)三角形的內(nèi)切圓的圓心到三邊的距離相等”聯(lián)想到“在空間中內(nèi)切于三棱錐的球的球心到三棱錐四個(gè)面的距離相等"這一推理過程是（)A．歸納推理 B．類比推理 C．演繹推理 D．非上述答案6．設(shè)m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，則x與y的大小關(guān)系為A．x＞yB．x＝y(tǒng) C．x＜yD．無法確定7．觀察(x2)′＝2x,(x4)′＝4x3，（cosx)′＝－sinx,由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x）滿足f（－x）＝f（x），記g（x)為f(x）的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝（)A．f（x）B．－f（x） C．g（x）D．－g(x)8．已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1－eq\f（1，2）＋eq\f(1，3)－eq\f（1,4)＋…＋eq\f（1,n－1)＝2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,n＋2）＋\f（1,n＋4)＋…＋\f(1，2n)))時(shí)，若已假設(shè)n＝k（k≥2為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需利用歸納假設(shè)再證（)A．n＝k＋1時(shí)等式成立 B．n＝k＋2時(shí)等式成立C．n＝2k＋2時(shí)等式成立 D．n＝2(k＋2）時(shí)等式成立9．已知函數(shù)y＝tanx的最小正周期為π，且滿足taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，4））)＝eq\f（1＋tanx，1－tanx).類比這一結(jié)論,若函數(shù)f(x）滿足f(x＋m)＝eq\f(1＋fx,1－fx）（其中m∈R,且m≠0），那么f（x）的一個(gè)周期是(）A.eq\f(m,4)B．mC．2mD．4m10．若a＞b＞c,n∈N＋，且eq\f（1，a－b）＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(n，a－c)恒成立，則n的最大值為(）A．2B．3 C．4D．二、填空題(本大題共5小題,每小題4分，共20分．把答案填在題中的橫線上)11．若Sn＝eq\f（1,n)＋eq\f(1，n＋1）＋eq\f(1,n＋2）＋…＋eq\f(1,n2)，則S4的表達(dá)式中共有__________項(xiàng)．12．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角"的過程歸納為以下三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾,∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角;③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號(hào)排列為________．13．已知△ABC中，A＝30°,B＝60°，求證a＜b。證明：∵A＝30°,B＝60°,∴A＜B，∴a＜b。畫線部分是演繹推理三段論中的________．(填大前提、小前提或結(jié)論)14．已知m＞1，則a＝eq\r（m＋1）－eq\r（m)，b＝eq\r（m）－eq\r(m－1），則a與b的大小關(guān)系是__________．15．對于平面幾何中的命題“如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)垂直,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題:“________________________”．這個(gè)類比命題的真假性是__________．三、解答題(本大題共4小題，共30分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．（本小題6分）已知a是正整數(shù),且a3是偶數(shù),求證:a也是偶數(shù)．17．(本小題6分)用分析法和綜合法證明eq\f（1，log519)＋eq\f(1,log319）＋eq\f（1,log219)＜2。18．(本小題8分）觀察:①tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1,②tan5°·tan10°＋tan10°·tan75°＋tan75°·tan5°＝1，由以上兩式成立能得到一個(gè)從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣．19．(本小題10分）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，3Sn＝（n＋2）an，則是否存在實(shí)數(shù)a，b，c,使得an＝an2＋bn＋c對一切n∈N＋都成立？若存在，求出a，b，c；若不存在，說明理由．

參考答案1．解析：第1行、第2行、第3行、第4行各數(shù)之和分別等于12，32，52，72,…，故第10行的各數(shù)之和等于（2×10－1）2＝192。答案：C2．解析:“至多有兩個(gè)解”的否定應(yīng)該是“至少有三個(gè)解"．答案：C3．解析：這個(gè)推理的形式不符合三段論的推理形式，故結(jié)論錯(cuò)誤．答案：C4．解析:從已知條件出發(fā)進(jìn)行推證，為綜合法．答案：A5．答案：B6．解析：x－y＝m4－m3n－n3m＋n4＝m(m3－n3）－n（m3－n3）＝(m－n）2（m2＋mn＋n2）＝(m－n)2eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（m＋\f(1，2)n)）2＋\f（3,4）n2）)＞0，故x＞y.答案:A7．解析：由歸納可知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都是奇函數(shù)，故g（x)應(yīng)滿足g（－x）＝－g(x）．答案：D8．解析：由于k是偶數(shù)，故k＋2是k后面的第一個(gè)偶數(shù)．答案：B9．解析：類比y＝tanx，可猜想f(x）的周期應(yīng)為4m由題意得：f(x＋2m）＝f(x＋m＋m）＝eq\f（1＋fx＋m,1－fx＋m）＝eq\f（1＋\f(1＋fx，1－fx），1－\f（1＋fx,1－fx)）＝－eq\f（1，fx），即f(x＋2m)＝－eq\f（1，fx)，所以f(x＋4m）＝－eq\f（1,fx＋2m）＝－eq\f（1，－\f（1,fx))＝f（x）,由此可得f(x）是周期函數(shù)，它的一個(gè)周期為4m答案：D10．解析：要使eq\f(1,a－b)＋eq\f(1，b－c)≥eq\f（n,a－c）恒成立，即有n≤eq\f(a－c,a－b)＋eq\f(a－c，b－c),而eq\f（a－c，a－b）＋eq\f(a－c，b－c)＝1＋eq\f（b－c,a－b)＋eq\f（a－b，b－c)＋1≥2＋2eq\r（\f(b－c,a－b）·\f（a－b,b－c）)＝4，所以n≤4，即n的最大值為4.答案:C11．解析：S4＝eq\f（1,4)＋eq\f（1，5）＋eq\f（1，6)＋…＋eq\f（1，16),共有16－4＋1＝13項(xiàng)．答案:1312．答案:③①②13．解析：在三角形中大角對大邊是大前提；題目中橫線部分為小前提．答案：小前提14．解析:a＝eq\r（m＋1）－eq\r（m）＝eq\f(1,\r(m＋1)＋\r（m）)，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)＝eq\f(1，\r（m）＋\r(m－1））.因?yàn)閑q\r（m＋1)＋eq\r(m）＞eq\r（m)＋eq\r（m－1），所以a＜b.答案：a＜b15．答案:如果兩個(gè)二面角的兩個(gè)面分別對應(yīng)垂直，那么這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)假命題16．證明：假設(shè)a不是偶數(shù),則a必為奇數(shù),設(shè)a＝2k＋1（k∈N），則a3＝（2k＋1）3＝8k3＋12k2＋6k＋1＝2（4k3＋6k2＋3k)＋1。因?yàn)閗∈N，所以4k3＋6k2＋3k∈N，故2（4k3＋6k2＋3k）是偶數(shù),2(4k3＋6k2＋3k）＋1為奇數(shù),即a3為奇數(shù)，這與a3是偶數(shù)相矛盾．故假設(shè)不正確，即a也是偶數(shù)．17．證法一:(分析法)要證eq\f(1，log519）＋eq\f（1，log319)＋eq\f(1,log219)＜2，只需證log1930＜log19192,即證30＜192.又∵30＜192恒成立，∴原不等式成立．證法二:（綜合法）eq\f（1，log519）＋eq\f(1，log319)＋eq\f（1，log219）＝log195＋log193＋log192＝log1930＜log19192＝2。18．解：觀察得到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，猜測推廣式子為：若α＋β＋γ＝eq\f(π，2)，且α，β，γ均不為kπ＋eq\f(π，2）（k∈Z），則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.證明：由α＋β＋γ＝eq\f(π,2），得α＋β＝eq\f(π,2）－γ?！遲an（α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，2）－γ）)＝cotγ，tan（α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，∴tanα＋tanβ＝tan（α＋β)(1－tanαtanβ）＝cotγ（1－tanαtanβ)，∴tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝tanγ(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝tanγ（1－tanαtanβ）cotγ＋tanαtanβ＝1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝1.19．解：假設(shè)存在滿足條件的a，b，c，將n＝2，3代入3Sn＝（n＋2）an中，可得a2＝3,a3＝6，代入an＝an2＋bn＋c，可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＋b＋c＝1，，4a＋2b＋c＝3，，9a＋3b＋c＝6,）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f（1,2），，b＝\f(1，2),,c＝0,））∴an＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2）n。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\f（1，2)×12＋eq\f（1,2)×1＝1，與已知符合．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí),結(jié)論成立,即ak＝eq\f（1,2)k2＋eq\f(1，2）k，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq\f(1，3）(k＋3)ak＋1－eq\f（1，3）（k＋2）ak，∴3ak＋1＝(k＋3