2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試試卷（含答案）

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試

（時間120分鐘，共150分）

一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題僅有一個正確選項.）

1.已知集合人-I},集合於崗—},則如於（）

A{T0,1,2}B{-1,0,1}c{0,2}D{-1}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)交集含義即可得到答案.

【詳解】根據(jù)交集含義即可得到/n'={—1，°，1},

故選：B.

2.命題：▼》€(wěn)凡》+|刈20的否定為（）

AmxeR,x+|x|<0B3xe7?,x+|x|<o

C3xe7?,x+|x|<0DG7?,x+|x|>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準確改寫，即可求解.

【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，

可得命題“Vxe7?,x+|x|>0"的否定為"3xe7?,x+1x|<0?

故選：C.

3,若函數(shù)"x）的定義域為[T3],則函數(shù)/（I）的定義域為（）

A.昌2]B,[-2,3]c[-1,2]D[-1,3]

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域求解即可.

【詳解】由題意，要使函數(shù)/（JX）有意義，

則一1<1-x<3,即一2WxW2,

所以函數(shù)/（I-X）的定義域為『2,2]

故選：A.

4.若0<x<4,則Jx（4-x）有（）

A.最小值°B.最大值2C.最大值班D.不能確定

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由Z4T）=J7+4X,

因為函數(shù)y=一X2+4x的對稱軸為X=2,

且在（°'2）上單調(diào)遞增，在（2,4）上單調(diào)遞減,

、?（-X2+4X）=4

當X—2時，V41ax,

當x=0或4時，—X2+4X=0

所以當0<x<4時，0<一爐+4》44,

所以0<飛-x2+4x<2,

即函數(shù)JM"x）有最大值2,無最小直

故選：B.

5,已知函數(shù)"2》+1）=41,則/G）=（）

A.1B,2c,4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】通過換元法求得了（刈的解析式，代入即可.

【詳解】因為/（2x+l）=r+l,令2x+l，x-三

所以〃3)=2.

故選：B

6.若定義在R的奇函數(shù)/（X）,若x<0時/G）=-x-2,則滿足獷GO,°的x的取值范圍是（）

A(-^-2)U[0,2](一雙-2)U(2,+“)(-CO,-2]O[0,2][-2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】求出x<°時，/0)<0、/(x)>°和〃x)=°的解，再由奇函數(shù)性質(zhì)得出x20時，

/(x)<0、/(x)>°和/(x)=°的解，然后分類討論解不等式切(%)之°可得.

x

[詳解]當x<0時，/()=-x-2,x<—2時，/(x)〉0,—2<x<0時，/(x)<0,/(-2)=0,

又〃x)是奇函數(shù)，所以0<x<2時，/(x)>0,》>2時，/0)<0,且/(0)=/(2)=0,

x>0x<0

xf(x)>0o<

不等式J(x)4?；騲=0,所以0<x<2或-2Wx<0,

綜上—2<x<2.

故選：D.

42]_

7.已知。=23,b=45,c=25\則

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【詳解】因為"23=163,6=45=165,c=253,

1

_3

因為暴函數(shù)V=x在R上單調(diào)遞增，所以a<。,

因為指數(shù)函數(shù)V=16'在R上單調(diào)遞增，所以b<a,

即以*C.

故選：A.

(1-2m)x+1-m,x<0

/(%)=<

-X2+(?-2)X,X>0滿足對任意國,“R,且92,都有

8.若函數(shù)

/(xj-/(%)<0

再

-x2成立，則實數(shù)加的取值范圍為()

【答案】A

【解析】

【分析】依題意可知，分段函數(shù)/（“）在定義域上單調(diào)遞減，分別限定各函數(shù)的單調(diào)性以及端點處的取值

即可求出實數(shù)加的取值范圍.

【詳解】根據(jù)題意可知，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，

l-2m<0

*VO

21?

mi、1中、開口（l-2m）x0+l-m>0—<m<l

所以需滿足〔I7,解z得2

即實數(shù)加的取值范圍為12」.

故選:A

二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分，每小題有多個正確選項，全部選對得5分，

部分選對得2分，有選錯或不選得0分.）

9.下列各組中屈，戶表示相同集合的是（）

A={3,-1},P={-1,3}

BM=-[x|x|=2n,neZ1,P=x=+eZ}

CM=^y\v|=x2+l,xeR1,P=x=t2+l,tER|

DM=^y\j|=x2-l,xeR},P=j=x2-l,xeR}

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)相同集合的意義，逐項分析判斷作答.

【詳解】對于A,集合"，P含有的元素相同，只是順序不同，由于集合的元素具有無序性，因此它們是

相同集合，A是；

對于B,因為〃eZ,則〃+leZ,因此集合河，P都表示所有偶數(shù)組成的集合，B是；

對于C,M={O=x2+l”R}=[l,+e）,P=*x=〃+i/eR}=[l,+”）,即兇=尸，c是;

對于D,因為集合M的元素是實數(shù)，集合尸中元素是有序?qū)崝?shù)對，因此集合M,尸是不同集合，D不是.

故選：ABC

10.下列計算正確的是（）

AV^9=V3R2=-理（X>0）

396=1

C.若3,則a+23=—1D.若。+。-1=4,則。2+。-2=14

【答案】ACD

【解析】

【分析】由分數(shù)指數(shù)塞與根式互化運算，指數(shù)與對數(shù)互化運算逐一判斷每一選項即可.

1

I—21

VV9=（32）=3三=g

【詳解】對于A,因為L」，故A正確;

1

對于B,因為爐=取6>°）,故B錯誤;

4fl2a+2b

30.9=3-(3j=3=-a+2Z)=log3-=-l

對于C,因為V3,所以一3,故c正確;

a+=a+—=4+a~2=a2-\—-={a-\—j—2=42—2=14

對于D,因為。，所以aa）,故D正確.

故選：ACD.

/（》）=/2I）

11.在實數(shù)范圍內(nèi)，使函數(shù)7ax--2ax+2的定義域為R的一個充分不必要條件可能是（）

A.0〈。<2g0<a<2Q1<a<2p0<a<2

【答案】CD

【解析】

【分析】由題意可得al-2ax+2〉0對于xeR恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得實數(shù)。的取值范圍,

進而根據(jù)充分不必要條件的定義求解即可.

/（X）72；3口

【詳解】由函數(shù)7ax-2ax+2的定義域為R,

可知。必一2ax+2>0對于xeR恒成立,

當。=0時，2>°,恒成立；

a>0

<

當q70時，［A=4礦—8<7<0,即0<。<2,

綜上所述，°〈a<2,

根據(jù)充分不必要條件的定義可知，

滿足題意的有°<a<2.

故選：CD.

12.已知正實數(shù)口力滿足=a+6+3,貝|（）

A.0+3的最小值為6

B.的最小值為3

1工12

——十———

C.ab的最小值為3

D."+2）的最小值為8

【答案】AC

【解析】

【分析】利用基本不等式，結(jié)合一元二次不等式解法判斷AB；由的范圍結(jié)合單調(diào)性判斷C；變形給定

等式，利用基本不等式求解判斷D.

［詳解］正實數(shù)°/滿足ab=a+6+3,

,,_a+b2

對于A,。+〃+3=助-（?。瑒t（a+b）2—4（a+b）_12N0,即（a+6—6）（。+6+2）20,

解得a+b?6,當且僅當。=6=3時取等號，所以6的最小值為6,A正確；

對于B,ab=a+b+3>14ab+3；貝°—3）（7^+1）20,解得23,即

當且僅當。=6=3時取等號，所以ab的最小值為9,B錯誤；

11a+bab-3332

——i——~~-----------------------?——?————

對于C,由選項B知，ab>9,abababab~93,

1+12

所以當a=b=3時，a石取得最小值3,c正確；

d-------->u,

對于D,由仍=。+6+3,得（"1）（6-1）=4,而6―1,則

。+2b=—1）+2s—1）+322yJ（a—1）-2（b—1）+3=4>/2+3當且僅當a—1—2（b—1）時取等號

由［（a—1）（'-1）=4,解得4=275+1力=應(yīng)+1,所以當a=2/+1力=亞+1時，a+2》取得最小

值4A歷+3,D錯誤.

故選：AC

【點睛】方法點睛：在運用基本不等式時，要特別注意“拆”、"拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的

“一正”、“二定”、“三相等”的條件.

三、填空題（每小題5分，共20分）

13.已知函數(shù)/（"）=（療一2"—2）""2是幕函數(shù)，且在（°，+"）上遞增，則實數(shù)加=.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)系數(shù)為1得到方程，求出機=3或-1,結(jié)合單調(diào)性舍去加=T,得到答案.

【詳解】由題意得病一2機-2=1,解得機=3或一1,

當機=3時，/O1在（°，+”）上遞增，滿足要求，

當加=T時，在（°，+"）上遞減，不合要求，

故機=3.

故答案為：3

14.函數(shù)/（x）=2-6'”的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【答案】（一叫3）（或（一叫3］）

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】因為了=/—6x+5在（-叫3）上單調(diào)遞減，在（3，+°°）上單調(diào)遞增，

y=在定義域R上單調(diào)遞增，

所以，（x）=2-在（-叫3）上單調(diào)遞減，在（3，+°°）上單調(diào)遞增，

即函數(shù)，（x）=2,-6"的單調(diào)遞減區(qū)間為（一°°，3）.

故答案為：（一口㈤（或（一叫3]）

15.已知命題尸：三%>°,必一4%一加=0.若命題尸為假命題，則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】（一叫一寸

【解析】

【分析】寫出命題的否定，則為真命題，從而得到八<°,即可求出參數(shù)的取值范圍.

[詳解]命題尸：Ex>0,x2-4x-m=0,

則一LP.Vx>0,一—4、一加。o,

因為命題P為假命題，所以命題「0為真命題，

所以A=G4）一4x（-機）解得也<—4,

即實數(shù)切的取值范圍是G叫一4）.

故答案為：（一叫一牛

16.定義區(qū)間（“）），（見%,卜力]的長度均為d=6一°,多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例

如（1,2）Up,5）的長度.=（2T）+（5—3）=3,設(shè)/（x）=[x>{x},g（x）=l,其中舊表示不

超過x的最大整數(shù)，例如[1.3]=1,口.4]=-2；[3]=3,{X}=x_[x].若用d表示不等式“x”g（x）解集區(qū)

間的長度，則當xe『2021,2021]時，d=；

【答案】2023

【解析】

【分析】根據(jù)M_X<[小1將/（X）士g（%）化為MT）'之團T,對[x]T按三種情況進行分類

討論求得不等式的解集，從而可求得

【詳解】因為㈤表示不超過x的最大整數(shù)，所以—兇<1,即IX|Wx<IXI+l,

不等式/（X）2g（X）即H-（X-M）-XT等價于[小-[x^>x-l

即（IX|T）x4]2T=（同+1）（卜]-1）（*）

①當國T〉°,即x22時，不等式（*）化為x"IXI+l,即%—國、不成立.

②當［x］T=°,即l4x<2時，不等式（*）恒成立.

③當國T<°,即x<l時，不等式（*）化為“<國+1恒成立.

所以不等式/（x）2g（x）在區(qū)間［—2021,2021］上的解集為［-2021,2）,

67=2-（-2021）=2023

故答案為：2023

【點睛】

函數(shù)新定義的題目，解題關(guān)鍵點是圍繞著新定義的概念和運算進行分析.

四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

0=RN=_4x+3<o}B=-（r||x-3|<1jC=<x<a+l,aeR|

⑴分別求/cB,"DQB）；

（2）若8nc=c,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴{xl2<x-3},{依3或.4}

【解析】

【分析】（1）先求出集合48,進而根據(jù)交集、并集及補集的定義計算即可；

（2）由題意可得0口8,進而結(jié)合包含關(guān)系求解即可.

【小問1詳解】

因為/二g,一41+3Vo}=<x?3}5=卜］,一3］<1}二9口<%<4}

所以"八閔2<心3},

又阜八卜屋2或24},

所以入&5）={43或x"}.

【小問2詳解】

因為8nc=c,所以o,

a>2

<

所以即2<a<3,

所以實數(shù)。的取值范圍為(2,3).

18.求證：=ab+ac+，c是ANBC是等邊三角形的充要條件.(這里a,b,c是A48C的三

邊邊長).

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】根據(jù)充分性與必要性定義證明即可.

【詳解】先證明充分性：

由。2+/+。2=處+ac+bc,

彳氏2(a2+Z?2+c2)=lab+lac+2bc

整理得，(a-^y+g—cy+p-c)2=o,

所以q=b=c,即A4SC是等邊三角形.

然后證明必要性：

由AABC是等邊三角形，則a=6=c,

所以/+Z>2+，=ab+ac+bc

綜上所述，=ab+ac+bc是△48C是等邊三角形的充要條件.

19.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的增函數(shù)，并且滿足/(x+y)=/(x)+/8),〃l)=4.

(1)求/(°)的值.

(2)判斷函數(shù)/(X)的奇偶性.

(3)若/'(2X+3)-/(X)08,求x的取值范圍.

【答案】(1)0;(2)奇函數(shù)；

(3){小<4}.

【解析】

【分析】(1)令x=J=°,即可得答案；

(2)令尸一x,結(jié)合⑴的結(jié)論即可判斷；

(3)由題意可得/Q)=8,/(2X+3)-/(X)=/(X+3),則原不等式等價于〃x+3)<〃2),由/(%)是定義

在R上的增函數(shù)求解即可.

【小問1詳解】

解：令尸產(chǎn)0,得/(0)=/(0)+/(0),解得“0戶0；

【小問2詳解】

解：因為函數(shù)/(X)的定義域為R,

令尸一X,

則有f(x-x)=f(x)+/(-x),即/(x)+/(-x)=0,

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

二/a)為奇函數(shù)；

【小問3詳解】

解：因為/(D=4,

所以/(2)=/。+1)=4+4=8,

又因為/(2X+3)-/(X)D8,

即有/(2X+3-X)</(2),

即/(x+3)<〃2),

又因為/(x)為增函數(shù)，

1+3<2,

解得X<—1,

故X的取值范圍為{Rx<-1}.

20.已知函數(shù)歹=+(2—a)x—2a+6,a,bGR

⑴若函數(shù)值”。時，其解集為仲<x<2},求〃與6的值；

(2)若關(guān)于x的不等式歹<6的解集中恰有兩個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

a=5

<

【答案】⑴['=12；

⑵{4-5Wa<-4或0<立1}.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解法及韋達定理即得；

（2）分。<-2,a>-2,。=-2討論，然后結(jié)合條件即得.

【小問1詳解】

由題意可知一+（2—?X—2。+A<0的解集為種<%<2},

1+2=。-2

所以11x2=—2a+b,

Q=5

即\b=n.

【小問2詳解】

由+（2-q）x-2。+6<6可得（￥+2）（1-。）<0

①當。<一2時，不等式的解集為崗"<”<—2},

若y〈”的解集中恰有兩個整數(shù)解，則-5Wa<-4；

②當a>一2時，不等式的解集為崗―2<“<"},

若的解集中恰有兩個整數(shù)解，0<?<1,

③當。=-2時，不等式的解集為0,不合題意；

綜上所述，實數(shù)〃的取值范圍是M-5<a<-4或°<°<1}.

21.使太陽光射到硅材料上產(chǎn)生電流直接發(fā)電，以硅材料的應(yīng)用開發(fā)形成的光電轉(zhuǎn)換產(chǎn)業(yè)鏈條稱之為“光伏

產(chǎn)業(yè)”.某農(nóng)產(chǎn)品加工合作社每年消耗電費24萬元.為了節(jié)約成本，計劃修建一個可使用16年的光伏電站，

并入該合作社的電網(wǎng).修建光伏電站的費用（單位：萬元）是關(guān)于面積X（單位：m~）的正比例函數(shù)，比

例系數(shù)為°12.為了保證正常用電，修建后采用光伏電能和常規(guī)電能互補的供電模式用電.設(shè)在此模式下，

k

當光伏電站的太陽能面板的面積為X（單位：m2）時，該合作社每年消耗的電費為X+50（單位：萬元,

無為常數(shù)）.記該合作社修建光伏電站的費用與16年所消耗的電費之和為廠（單位：萬元）.

（1）求常數(shù)后的值，并用x表示少；

（2）該合作社應(yīng)修建多大面積的太陽能面板，可使廠最小?并求出最小值.

「19200八，.

F=------+0.12%

【答案】⑴左=1200,x+50,x>0

（2）修建350m2的太陽能面板可使少最小，咒的最小值為90萬元

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意求出后的值，進而建立函數(shù)模型運算即可得解；

（2）利用函數(shù)模型、基本不等式運算即可得解.

【小問1詳解】

由題意，當x=0時，0+50,解得左=1200,

120019200

F=16x+0.12x=+0.12x

所以x+50x+50x>0

【小問2詳解】

八鬻+°?-鬻+?！?（'+5。）-6。鬻x0』2（x+50）—6=90

因為

^^=0.12（x+50）

當且僅當x+50,即x=350時，等號成立，

所以該合作社應(yīng)修建35°m2的太陽能面板，可使少最小，F(xiàn)的最小值為90萬元.

22.已知函數(shù)8（"）=根“2鵬+1+〃，儂>0）在區(qū)間［1,2］上有最大值o,最小值一

（1）求實數(shù)冽，〃的值；

（2）存在xe［0」］,使得g（2、）+一'2'”^°成立，求實數(shù)后的取值范圍；

（3）若〃G）=（"l*+3x,且/（x）=g（x）+〃（x）,如果對任意向。1］都有1/（小1,試求實數(shù)

a的取值范圍.

【答案】（1）加=""=T

（11

②I4」

（3）卜2,0］

【解析】

[g（l）=T

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)gO的單調(diào)性可得[gQ）=°,進而求解即可；

（2）令2'='（y2）,由題意轉(zhuǎn)為問題為