方法技巧專題32 數(shù)形結(jié)合（解析版）

方法技巧專題32數(shù)形結(jié)合解析篇一、數(shù)形結(jié)合知識(shí)框架二、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用類型【一】函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合法1.函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合法：1.函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合法：即通過函數(shù)圖象來分析和解決函數(shù)問題的方法，對(duì)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)貫穿始終，因此這種方法是最常用的，破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①分析數(shù)理特征，一般解決問題時(shí)不能精確畫出圖象，只能通過圖象的大概性質(zhì)分析問題，因此需要確定能否用函數(shù)圖象解決問題；②畫出函數(shù)圖象，畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)、轉(zhuǎn)化的函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)的圖象；③數(shù)形轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)際是借助函數(shù)圖象將難以解決的數(shù)理關(guān)系明顯化；④得出結(jié)論，通過觀察函數(shù)圖象得出相應(yīng)的結(jié)論．2.熟練掌握函數(shù)圖像的變換：由函數(shù)圖象的變換能較快畫出函數(shù)圖象，應(yīng)該掌握平移(上下左右平移)、翻折(關(guān)于特殊直線翻折)、對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系．1.例題【例1】設(shè)定義在上的函數(shù)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0≤f(x)≤1；當(dāng)x∈(0，π)且x≠eq\f(π,2)時(shí)，.則函數(shù)y＝f(x)－sinx在[－3π，3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．8【解析】∵當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0≤f(x)≤1，f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[－3π，3π]時(shí)，0≤f(x)≤1.∵當(dāng)x∈(0，π)且x≠eq\f(π,2)時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))f′(x)>0，∴當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，f(x)為單調(diào)增函數(shù)，∵當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0≤f(x)≤1，定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y＝sinx和y＝f(x)的草圖如圖，由圖知y＝f(x)－sinx在[－3π，3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故選C.【例2】在上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且,若在區(qū)間上是減函數(shù),則Ａ．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)Ｂ．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)Ｃ．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)Ｄ．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)【解析】f（x）=f（－x）=f（2－x），故f（x）的草圖如圖：由圖可知，B正確。2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(－x－1)＝f(x－1)，當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝－x3，則關(guān)于x的方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的所有實(shí)數(shù)解之和為()A．－7 B．－6C．－3 D．－1答案A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝|cosπx|的圖象，由圖知關(guān)于x的方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的實(shí)數(shù)解有7個(gè)．不妨設(shè)7個(gè)解中x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，則由圖得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，所以方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的所有實(shí)數(shù)解的和為－4－2－1＋0＝－7，故選A.【練習(xí)2】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1x≤0，,fx－1x＞0，))若方程f(x)＝x＋a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，0] B．[0,1)C．(－∞，1) D．[0，＋∞)答案C【解析】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1x≤0，,fx－1x＞0))的圖象如圖所示，當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝x＋a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝x＋a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【二】幾何意義數(shù)形結(jié)合法—線性規(guī)劃問題1.幾何意義數(shù)形結(jié)合法：1.幾何意義數(shù)形結(jié)合法：即在解決問題的過程中對(duì)題目中的一些代數(shù)式進(jìn)行幾何意義分析，將其轉(zhuǎn)化為與幾何結(jié)構(gòu)相關(guān)的問題，通過解決幾何問題達(dá)到解決代數(shù)問題的目的．此方法適用于難以直接解決的抽象問題，可利用圖形使其直觀化，再通過圖形的性質(zhì)快速解決問題．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①分析特征，一般從圖形結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面分析代數(shù)式是否具有幾何意義．②進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把要解決的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題．③得出結(jié)論，將幾何問題得出的結(jié)論回歸到代數(shù)問題中，進(jìn)而得出結(jié)論．2.解決此類問題需熟悉幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式：一般從構(gòu)成幾何圖形的基本因素進(jìn)行分析，主要有：(1)比值——可考慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離．1.例題【例1】如果實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，則eq\f(y,x)的最大值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)【解析】方程(x－2)2＋y2＝3的幾何意義為坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，圓心為M(2,0)，半徑為r＝eq\r(3)(如圖)，而eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)則表示圓M上的點(diǎn)A(x，y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)的連線的斜率．所以該問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)A在以M(2,0)為圓心，以eq\r(3)為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA的斜率的最大值．由圖可知當(dāng)∠OAM在第一象限，且直線OA與圓M相切時(shí)，OA的斜率最大，此時(shí)OM＝2，AM＝eq\r(3)，OA⊥AM，則OA＝eq\r(OM2－AM2)＝1，tan∠AOM＝eq\f(AM,OA)＝eq\r(3)，故eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，故選D.答案D【例2】已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，若目標(biāo)函數(shù)z=y﹣mx取得最大值時(shí)有唯一的最優(yōu)解（1，3），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．0＜m＜1 C．m＞1 D．m≥1【答案】C【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，由z=y-mx,得y=mx+z,即直線的截距最大，z也最大當(dāng)m=0,此時(shí)y=z,不滴足條件；當(dāng)m>0,直線y=mx+z的斜率k=m>0,要使目標(biāo)函數(shù)最大時(shí)有唯一的最優(yōu)解（1，3），則直線y=mx+z的斜率m>1當(dāng)m<0,目標(biāo)函數(shù)y=mx+z的斜率k=m<0,不滿足題意.綜上，m>1.故選：C. :2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】設(shè)點(diǎn)P(x，y)滿足，則eq\f(y,x)－eq\f(x,y)的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1)) D．[－1,1]答案B【解析】作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－y＋1≥0，,x≥1，,y≥1))所表示的可行域，如圖陰影部分所示(包括邊界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t＝eq\f(y,x)，f(t)＝t－eq\f(1,t)，根據(jù)t的幾何意義可知，t為可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，連接OA，OB，顯然OA的斜率eq\f(1,2)最小，OB的斜率2最大，即eq\f(1,2)≤t≤2.由于函數(shù)f(t)＝t－eq\f(1,t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上單調(diào)遞增，故－eq\f(3,2)≤f(t)≤eq\f(3,2)，即eq\f(y,x)－eq\f(x,y)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2))).【練習(xí)2】若函數(shù)f（x）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，2）【答案】D【解析】∵函數(shù)f（x）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，∴，求得，它所表示的區(qū)域?yàn)椤鰽BC內(nèi)的部分，【三】圓錐曲線數(shù)形結(jié)合法1.圓錐曲線數(shù)形結(jié)合法：1.圓錐曲線數(shù)形結(jié)合法：是根據(jù)圓錐曲線中許多對(duì)應(yīng)的長度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合思想，快速解決某些相應(yīng)的問題．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①畫出圖形，畫出滿足題設(shè)條件的圓錐曲線的圖形，以及相應(yīng)的線段、直線等；②數(shù)形求解，通過數(shù)形結(jié)合，利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓與圓錐曲線的位置關(guān)系等進(jìn)行分析與求解；③得出結(jié)論，結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，得出所要求解的結(jié)論．2.破解圓錐曲線問題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形，注意數(shù)和形的相互滲透，并從相關(guān)的圖形中挖掘?qū)?yīng)的信息進(jìn)行研究．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化有兩種：①通過數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式；②通過代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問題進(jìn)行討論．1.例題【例1】已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))C．(1,2) D．(1，－2)【解析】點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，如圖所示，設(shè)焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為S，則|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故當(dāng)S，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)P，Q的縱坐標(biāo)都是－1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，代入y2＝4x得x0＝eq\f(1,4)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1))，故選A.答案A【例2】設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為P.若以A1A2為直徑的圓與直線PF2相切，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\r(5)答案D【解析】如圖所示，設(shè)以A1A2為直徑的圓與直線PF2的切點(diǎn)為Q，連接OQ，則OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O為F1F2的中點(diǎn)，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－2,4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使△APF的周長最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))【解析】因?yàn)?－2)2<8×4，所以點(diǎn)A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部，如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，連接AQ，由拋物線的定義可知，△APF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)P，B，A三點(diǎn)共線時(shí)，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|.因?yàn)锳(－2,4)，所以不妨設(shè)△APF的周長最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq\f(1,2)，故使△APF的周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).【練習(xí)2】如圖，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn),分別在拋物線和圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則周長的取值范圍是() B． C． D．【答案】B【解析】拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為（0，1），準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，圓（y﹣1）2+x2＝4的圓心為（0，1），與拋物線的焦點(diǎn)重合，且半徑r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A+1，|AB|＝y(tǒng)B﹣yA，∴三角形ABF的周長＝2+yA+1+yB﹣yA＝y(tǒng)B+3，∵1＜yB＜3，∴三角形ABF的周長的取值范圍是（4，6）．【四】數(shù)形結(jié)合思想在解方程或函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用討論方程的解(或函數(shù)零點(diǎn))的問題一般可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).構(gòu)造函數(shù)時(shí)，要先對(duì)方程進(jìn)行變形，盡量構(gòu)造兩個(gè)比較熟悉的函數(shù).討論方程的解(或函數(shù)零點(diǎn))的問題一般可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).構(gòu)造函數(shù)時(shí)，要先對(duì)方程進(jìn)行變形，盡量構(gòu)造兩個(gè)比較熟悉的函數(shù).1.例題【例1】函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3答案B【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系下，作出函數(shù)y1＝2x和y2＝eq\f(1,x)的圖象，如圖所示.函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于2x＝eq\f(1,x)的根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)y1＝2x和y2＝eq\f(1,x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由圖可知只有一個(gè)交點(diǎn)，所以有一個(gè)零點(diǎn).故選B.【例2】方程lgx=sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)為 （）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】畫出y=lgx和y=sinx在同一坐標(biāo)系中的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，選C.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】若關(guān)于x的方程eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)),x＋4)＝kx2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍為________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))由圖可得0<eq\f(1,k)<4，解得k>eq\f(1,4).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).【練習(xí)2】已知函數(shù)f(x)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋1，x≤1，,lnx，x>1，))則方程f(x)＝ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,e)))【解析】畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，要使直線y＝ax與函數(shù)f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y＝ax與y＝eq\f(x,4)＋1平行時(shí)，顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)a＝eq\f(1,4).當(dāng)a>eq\f(1,4)時(shí)，只需求出當(dāng)直線y＝ax和曲線y＝lnx相切時(shí)的斜率即可.由于相切時(shí)交點(diǎn)只有1個(gè)，故結(jié)合圖象知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,e))).【五】數(shù)形結(jié)合思想在求解不等式或參數(shù)范圍中的應(yīng)用構(gòu)建函數(shù)模型，分析函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合其圖象特征研究量與量之間的大小關(guān)系、求參數(shù)的取值范圍或解不等式.構(gòu)建函數(shù)模型，分析函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合其圖象特征研究量與量之間的大小關(guān)系、求參數(shù)的取值范圍或解不等式.1.例題【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))則滿足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范圍是()A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)C.(－1，0) D.(－∞，0)答案D④當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,2x＞0，))即x＞0時(shí)，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合題意.綜上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集為(－∞，0).故選D.方法二∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))∴函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.由圖可知，當(dāng)x＋1≤0且2x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，故f(x＋1)＜f(2x)轉(zhuǎn)化為x＋1＞2x.此時(shí)x≤－1.當(dāng)2x＜0且x＋1＞0時(shí)，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，滿足f(x＋1)＜f(2x).此時(shí)－1＜x＜0.綜上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集為(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故選D.【例2】若不等式|x－2a|≥eq\f(1,2)x＋a－1對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析作出y1＝|x－2a|和y2＝eq\f(1,2)x＋a－1的簡(jiǎn)圖，如圖所示.依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≤2－2a，,a－1<0，))故a≤eq\f(1,2).2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】設(shè)A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，則使A?B成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.答案[eq\r(2)－1，＋∞)【解析】集合A是圓x2＋(y－1)2＝1上的點(diǎn)的集合，集合B是不等式x＋y＋m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合，要使A?B，則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含(如圖)，即直線x＋y＋m＝0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的左下方)，而當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有eq\f(|m＋1|,\r(2))＝1，又m>0，所以m＝eq\r(2)－1，故m的取值范圍是[eq\r(2)－1，＋∞).【練習(xí)2】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2ax，x≥1，,2ax－1，x<1，))若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.答案[0，＋∞)解析根據(jù)題意知f(x)是一個(gè)分段函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)，是一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸方程為x＝a；當(dāng)x<1時(shí)，是一個(gè)一次函數(shù).當(dāng)a>1時(shí)，如圖(1)所示，符合題意；當(dāng)0≤a≤1時(shí)，如圖(2)所示，符合題意；當(dāng)a<0時(shí)，如圖(3)所示，此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不滿足題意.綜上所述，可得a≥0.【六】數(shù)形結(jié)合思想在圓與直線問題中的應(yīng)用在解析幾何的解題過程中，通常要數(shù)形結(jié)合，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式，構(gòu)建解析幾何模型并應(yīng)用模型的幾何意義求最值或范圍；常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式主要有：在解析幾何的解題過程中，通常要數(shù)形結(jié)合，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式，構(gòu)建解析幾何模型并應(yīng)用模型的幾何意義求最值或范圍；常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；④根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離.1.例題【例1】已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2＋y2=3（），求（1），（2）b=2x+y的取值范圍?！窘馕觥浚?）將m看作半圓x2＋y2=3（）上的點(diǎn)M（x，y）和定點(diǎn)A（－3，－1）的直線的斜率。由圖1可知，（k1、k2分別表示直線AM1、AM2的斜率），且。直線AM2的方程是，有。所以，。（2）將b看作斜率為－2，過半圓x2＋y2=3（）上的點(diǎn)P（x，y）的直線在y軸上的截距。由圖2可知，（n1、n2分別表示直線BP1、CP2的截距）。直線BP1的方程是，則n1=。設(shè)直線BP2的方程是2x＋y＋c=0，有。所以，?！纠?】已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A.7B.6C.5D.4答案B【解析】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3，4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m，因?yàn)椤螦PB＝90°，連接OP，可知|OP|＝eq\f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離.因?yàn)閨OC|＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】過直線上一點(diǎn)引圓的切線，則切線長的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【練習(xí)2】已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為________.答案2eq\r(2)【解析】連接PC，由題意知圓的圓心C(1，1)，半徑為1，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，Rt△PAC的面積S△PAC＝eq\f(1,2)|PA||AC|＝eq\f(1,2)|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直于直線l時(shí)，S四邊形PACB有唯一的最小值，此時(shí)|PC|＝eq\f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3，從而|PA|＝eq\r(|PC|2－|AC|2)＝2eq\r(2)，所以(S四邊形PACB)min＝2×eq\f(1,2)×|PA|×|AC|＝2eq\r(2).課后自我檢測(cè)1.若方程的解為，則不等式的最大整數(shù)解是A.B.C.D.【答案】B2.已知，如果方程ax=logbx，bx=logax，bx=logbx的根分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系為（）A．x3＜x1＜x2 B．x3＜x2＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x1＜x2＜x3【答案】C3.若方程x2+ax+2b=0的一個(gè)根在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在（1，2）內(nèi)，則的取值范圍是【答案】（，1）；設(shè)【解析】設(shè)，據(jù)題意,作出滿足以上不等式組的可行域如圖陰影部分所示（不含邊界）其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0），設(shè)點(diǎn)E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則k=，表示點(diǎn)E（a，b）與點(diǎn)D（1，2）連線的斜率．∵KAD=，kCD=，結(jié)合圖形可知：KAD＜k＜KCD，∴k的取值范圍是（，1）4.已知圓M過兩點(diǎn)C（1，﹣1），D（﹣1，1）且圓心M在直線x+y﹣2=0上，設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，則四邊形PAMB面積的最小值為。【答案】2；【解析】設(shè)圓M的方程為：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），根據(jù)題意得，解得：a=b=1，r=2，故所求圓的方程為：；四邊形的面積為：5.已知圓C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圓C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．5﹣4B．1C．6﹣2D．【答案】A【解析】如圖圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A（2，﹣3），半徑為1，圓C2的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為3，|PM|+|PN|的最小值為圓A與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：=5﹣4．故選A．6.當(dāng)滿足條件時(shí)，變量的取值范圍是（）B.C.D.【解析】由題意在坐標(biāo)系下畫出|x|+|y|≤1的圖象如右圖陰影部分，①若x=0時(shí)，|y|≤1,此時(shí)u=0;②若x≠0時(shí)，變量可看成點(diǎn)A(0，3)與可行域內(nèi)的點(diǎn)B連線斜率k的倒數(shù),所以，k∈(-∞,-3]∪[3,+∞),7.已知A(1,1)為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求|PF1|＋|PA|的最大值和最小值．【解析】由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1可知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2，左焦點(diǎn)F1(－2，0)，右焦點(diǎn)F2(2,0)．由橢圓定義，知|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|，∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|.如圖，由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝eq\r(2－12＋0－12)＝eq\r(2)，知－eq\r(2)≤|PA|－|PF2|≤eq\r(2).當(dāng)點(diǎn)P在AF2的延長線上的點(diǎn)P2處時(shí)，取右“＝”，當(dāng)點(diǎn)P在AF2的反向延長線上的點(diǎn)P1處時(shí)，取左“＝”，即|PA|－|PF2|的最大、最小值分別為eq\r(2)，－eq\r(2).于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋eq\r(2)，最小值是6－eq\r(2).8.橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△FMN的周長最大時(shí)，△FMN的面積是()A.eq\f(\r(5),5)B．eq\f(6\r(5),5)C．eq\f(8\r(5),5)D．eq\f(4\r(5),5)答案C【解析】如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，連接MF′，NF′.因?yàn)閨MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以當(dāng)直線x＝m過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，△FMN的周長最大．此時(shí)|MN|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(8\r(5),5)，又c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5－4)＝1，所以此時(shí)△FMN的面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(8\r(5),5)＝eq\f(8\r(5),5).故選C.9.恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．答案eq\f(1,3)≤a＜1【解析】當(dāng)0＜x＜eq\f(1,3)時(shí)，函數(shù)y＝8x－1的圖象如圖中實(shí)線所示．∵?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，8x＜logax＋1恒成立，∴當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))時(shí)，y＝logax的圖象恒在y＝8x－1的圖象的上方(如圖中虛線所示)．∵y＝logax的圖象與y＝8