初中數(shù)學(xué)同步九年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題15解直角三角形四類應(yīng)用舉例含答案及解析

專題15解直角三角形四類應(yīng)用舉例目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題講練 3類型一、仰角和獨(dú)俯角 3類型二、方向角 5類型三、坡角、坡度或坡比 6類型四、解直角三角形應(yīng)用舉例 8壓軸能力測評(píng) 10仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角，在水平線下方的是俯角；方向角：指北或指南的方向與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角。坡角、坡度（坡比）：坡面與水平面的夾角叫坡角，一般用字母α或β或γ表示；坡面的鉛直高度h與水平距離l的比叫坡度或坡比，一般用字母i表示，i＝?l4.解直角三角形應(yīng)用舉例模型類型一、仰角和獨(dú)俯角例．風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在一處坡角為的坡地新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖1．某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測量，圖2為測量示意圖．已知斜坡長16米，在地面點(diǎn)處測得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，利用無人機(jī)在點(diǎn)的正上方53米的點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【變式訓(xùn)練1】．某數(shù)學(xué)興趣小組想使用無人機(jī)測量寫字樓的高度，他們作出如下的測量方案：如圖，將無人機(jī)放在水平面的點(diǎn)處（無人機(jī)自身高度忽略不計(jì)），先控制無人機(jī)從點(diǎn)出發(fā)向右上方勻速飛行9.9秒到達(dá)空中點(diǎn)處，再調(diào)整飛行方向，向左上方勻速飛行13秒到達(dá)該樓頂點(diǎn)處（點(diǎn)均在同一平面），已知無人機(jī)的速度為10米/秒，且無人機(jī)在點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為，點(diǎn)的仰角為，求寫字樓的高度．（結(jié)果精確到1米）參考數(shù)據(jù)：，，，【變式訓(xùn)練2】．小杰在學(xué)習(xí)了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小區(qū)設(shè)計(jì)了如下測量方案：小杰利用小區(qū)中的一個(gè)斜坡，首先在斜坡的底端測得高樓頂端的仰角是，然后沿斜坡向上走到處，再測得高樓頂端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高樓底端的距離是米，且三點(diǎn)在一直線上(如圖所示)．假設(shè)測角儀器的高度忽略不計(jì)，請(qǐng)根據(jù)小杰的方案，完成下列問題：(1)求高樓的高度；(2)求點(diǎn)離地面的距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【變式訓(xùn)練3】．如圖所示，某人站在樓頂觀測對(duì)面筆直的旗桿．已知觀測點(diǎn)C到旗桿的距離（的長度）為，測得旗桿的仰角為，旗桿底部的俯角為，求旗桿的高度是多少米？(結(jié)果保留根號(hào))

類型二、方向角例．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，它極大地方便了航海時(shí)輪船的定位．如圖，位于東西方向海北岸線上的碼頭相距70海里，一艘供給船從碼頭出發(fā)沿北東偏東方向勻速行駛，到達(dá)處后收到信號(hào)，位于碼頭正北方向80海里的處有一漁船需要物資，故該供給船按原速沿北偏東方向行駛后到達(dá)處：求供給船行駛時(shí)的速度(結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)：，，)．【變式訓(xùn)練1】．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國自主研發(fā)的全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)，它極大的方便了航海時(shí)輪船的定位．如圖，燈塔B位于港口A的北偏東方向，且A，B之間的距離為30km，燈塔C位于燈塔B的正東方向，且B，C之間的距離為9km．一艘輪船從港口A出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)D處，測得燈塔C在北偏東37°方向上，這時(shí)，D處距離港口A有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：，，，）

【變式訓(xùn)練2】．在某張航海圖上（單位：海里），標(biāo)明了三個(gè)觀測點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖，，，，由三個(gè)觀測點(diǎn)確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護(hù)區(qū)．(1)求圓形區(qū)域的面積；(2)某時(shí)刻海面上出現(xiàn)漁船A，在觀測點(diǎn)O測得A位于北偏東，同時(shí)在觀測點(diǎn)B測得A位于北偏東，求觀測點(diǎn)B到A船的距離（結(jié)果精確到海里）．（參考數(shù)據(jù)：）．【變式訓(xùn)練3】．我國北斗導(dǎo)航裝備極大的方便了航海時(shí)輪船的定位．如圖，一貨輪由地出發(fā)，去往地，當(dāng)貨輪在地時(shí)，導(dǎo)航顯示貨輪北偏東（即）方向上有海島，貨輪由地沿正東方向航行海里到達(dá)地，此時(shí)導(dǎo)航顯示海島在貨輪的北偏東（即）方向上，求地與海島之間的距離．

類型三、坡角、坡度或坡比例．某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為20米，在坡頂B處測得教學(xué)樓的樓頂C的仰角，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處測得C的仰角，的延長線交水平線于點(diǎn)D，求的長（結(jié)果保留根號(hào)）．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在建筑物的左邊有一個(gè)小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平線上，斜坡的坡比為，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達(dá)坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角為，然后小李沿斜坡走了米到達(dá)底部C點(diǎn)，已知建筑物上有一點(diǎn)E，在C處看建筑物E點(diǎn)的仰角為，（點(diǎn)A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)）建筑物頂端D到E的距離長度為米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求小李從斜坡B走到A處高度上升了多少米．(2)求建筑物的高度．【變式訓(xùn)練2】．2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為兩部分，小明同學(xué)在點(diǎn)測得雪道的坡度，在點(diǎn)測得點(diǎn)的俯角．若雪道長為，雪道長為．求該滑雪場的高度；【變式訓(xùn)練3】．為測量底部不能到達(dá)的建筑物的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在山坡的頂端C處測得建筑物頂部A的仰角為，在山腳D處測得建筑物頂部A的仰角為，若山坡的坡度，坡長米，求建筑物的高度．（精確到1米)（參考數(shù)據(jù)：，，，，）類型四、解直角三角形應(yīng)用舉例例．長嘴壺茶藝表演是一項(xiàng)深受群眾喜愛的民俗文化，所用到的長嘴壺更是歷史悠久，源遠(yuǎn)流長．如圖是長嘴壺放置在水平桌面上，是水平桌面，測得，，，且，，壺嘴與水平面的夾角為α0°<α<90°．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)如圖，當(dāng)壺嘴與水平面的夾角為時(shí)，壺嘴口F離桌面高度恰好為壺身高度的倍，求壺嘴的長度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)若長嘴壺放置在水平桌面上，為使得長嘴壺能夠裝滿茶水，求的取值范圍．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【變式訓(xùn)練1】．動(dòng)感單車是一種新型的運(yùn)動(dòng)器材，這種運(yùn)動(dòng)器材的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實(shí)線所示，底座為，C，D在同一條直線上，測得，，，，支撐桿，另一段支撐桿，求支撐桿上的點(diǎn)E到水平地面的距離是多少？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，）【變式訓(xùn)練2】．如圖1是某旅游景點(diǎn)的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測得，，．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點(diǎn)到的距離）．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【變式訓(xùn)練3】．如圖1是一個(gè)花灑實(shí)物圖，圖2和圖3是其側(cè)面示意圖．點(diǎn)B處既可以調(diào)節(jié)花灑的高度，又可以調(diào)節(jié)花灑臂與花灑桿的夾角．若打開花灑后水柱與花灑臂垂直，花灑的高度，花灑臂，小麗與花灑桿的距離．(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，水柱恰好落在小麗的頭頂上，求小麗的身高（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：(2)如圖3，調(diào)節(jié)花灑臂AB與花灑桿的角度，當(dāng)時(shí)，要使水柱恰好落在小麗的腳上，求此時(shí)小麗與花灑的距離．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）1．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組借助測角儀，根據(jù)所學(xué)知識(shí)測量某建筑物的高度，下面是小霞提出的測量方案：把測角儀放在建筑物前面的E處直立，測得建筑物低端A的俯角為，頂端B的仰角為．已知測角儀的高度為米，求建筑物的高度．（結(jié)果精確到.參考數(shù)據(jù)：，，，，，）2．“科技改變生活”，小顧是一名攝影愛好者，新入手一臺(tái)無人機(jī)用于航拍．在一次航拍時(shí)，數(shù)據(jù)顯示，從無人機(jī)A看建筑物頂部B的仰角為，看底部C的俯角為，無人機(jī)A到該建筑物的水平距離為10米，求該建筑物的高度．（結(jié)果精確到3位有效數(shù)字；參考數(shù)據(jù)：，）3．冬季是滑雪的最佳時(shí)節(jié)，亞布力滑雪場有初、中、高級(jí)各類滑雪道．如圖，其中的兩條初級(jí)滑雪道的線路為：①；②．點(diǎn)A是雪道起點(diǎn)，點(diǎn)D是雪道終點(diǎn)，點(diǎn)B、C、E是三個(gè)休息區(qū)．經(jīng)勘測，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東方向1800米處，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正南方向2000米處，點(diǎn)D在C的西南方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的西南方向1300米處，點(diǎn)E在點(diǎn)D的正北方向．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求的長度；（精確到1米）(2)小外一家周末去亞布力滑雪，小外沿滑雪道線路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途經(jīng)的每個(gè)休息區(qū)都各休息了5分鐘；小外的爸爸比小外晚出發(fā)2分鐘，以3米/秒的速度沿滑雪道線路②滑完全程，且中途沒有休息．請(qǐng)計(jì)算說明小外和爸爸誰先到達(dá)終點(diǎn)D．4．某景區(qū)A、B兩個(gè)景點(diǎn)位于湖泊兩側(cè)，游客從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B必須經(jīng)過C處才能到達(dá)．觀測得景點(diǎn)B在景點(diǎn)A的北偏東，從景點(diǎn)A出發(fā)向正北方向步行米到達(dá)C處，測得景點(diǎn)B在C的北偏東方向．(1)求景點(diǎn)B和C處之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)當(dāng)?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B的筆直的跨湖大橋．大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）5．如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，兩名同學(xué)要測量小河對(duì)岸大樹的高度，甲同學(xué)在點(diǎn)測得大樹頂端的仰角為，乙同學(xué)從點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走米到達(dá)斜坡上點(diǎn)，在此處測得樹頂端點(diǎn)的仰角為，且斜坡的坡度為．(1)求乙同學(xué)從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中上升的高度；(2)依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)求出大樹的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）6．為了方便市民出行，市政府決定對(duì)某街道一條斜坡進(jìn)行改造，計(jì)劃將原斜坡坡角為的改造為坡角為的，已知，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)．(1)求的距離(結(jié)果保留根號(hào))．(2)一輛貨車沿斜坡從C處行駛到F處，貨車的高為，，若，求此時(shí)貨車頂端E到水平線的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，)．7．我校新買了一批折疊桌.如圖所示，將其中一張折疊桌平穩(wěn)放置地面，此時(shí)桌腳與相交于點(diǎn)O．，，，，．(1)求點(diǎn)O至的距離；(2)《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》中指出，桌椅高度差應(yīng)控制在至范圍內(nèi)（包括與），現(xiàn)有兩種規(guī)格的椅子可供挑選，甲種椅子高度為，乙種椅子高度為，請(qǐng)問挑選哪種椅子比較合適，為什么?（參考數(shù)據(jù)：，，）8．云梯，又稱飛梯、竹飛梯，最早出現(xiàn)于商周，春秋時(shí)期魯國公輸盤加以改進(jìn)，在古代屬于戰(zhàn)爭器械，用于攀越城墻攻城的用具．《武經(jīng)總要·攻城法》記載：“云梯以大木為床，下施六輪，上立二梯，各長丈余，中施轉(zhuǎn)軸，四面以生牛皮為屏蔽，內(nèi)以人推進(jìn)，及城則起飛梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”圖1是某款云梯，忽略其梯身等器件的寬度，支架與座板均用線段表示，得到它的側(cè)面簡化結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，已知，，，．(1)求的長；(2)如圖3，某次應(yīng)用云梯時(shí)，云梯的頂端D搭在與AB垂直的城墻上，，且，求此時(shí)點(diǎn)B距離城墻的距離．結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）9．桔槔俗稱“吊桿”“稱桿”（如圖1），是我國古代農(nóng)用工具，始見于《墨子?備城門》，是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械．如圖2所示的是桔槔示意圖，是垂直于水平地面的支撐桿，米，AB是杠桿，且米，．當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)，．(1)求點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)到地面的距離；(2)當(dāng)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)水桶B上升的高度．（參考數(shù)據(jù)：）10．如圖1是一手機(jī)直搖專用支架，為立桿，其高為，為支桿，它可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，其中長為，為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)的長度．(1)如圖2，當(dāng)支桿與地面垂直，懸桿與支桿之間的夾角且的長為時(shí)，求手機(jī)懸掛點(diǎn)D距離地面的高度．(2)在圖2，所示的狀態(tài)下，將支桿繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，將懸桿繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得，同時(shí)調(diào)節(jié)的長（如圖3），此時(shí)測得手機(jī)懸掛點(diǎn)D到地面的距離為，求的長（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．

專題15解直角三角形四類應(yīng)用舉例目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類型一、仰角和獨(dú)俯角 3類型二、方向角 8類型三、坡角、坡度或坡比 12類型四、解直角三角形應(yīng)用舉例 17壓軸能力測評(píng) 23仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角，在水平線下方的是俯角；方向角：指北或指南的方向與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角。坡角、坡度（坡比）：坡面與水平面的夾角叫坡角，一般用字母α或β或γ表示；坡面的鉛直高度h與水平距離l的比叫坡度或坡比，一般用字母i表示，i＝?l4.解直角三角形應(yīng)用舉例模型類型一、仰角和獨(dú)俯角例．風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在一處坡角為的坡地新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖1．某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測量，圖2為測量示意圖．已知斜坡長16米，在地面點(diǎn)處測得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，利用無人機(jī)在點(diǎn)的正上方53米的點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度約為32米．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題．延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，，米，，然后設(shè)米，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，進(jìn)而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，由題意得：，，米，，設(shè)米，在中，，米，米，在中，，米，在中，，米，（米），，解得：，米，（米），該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度約為32米．【變式訓(xùn)練1】．某數(shù)學(xué)興趣小組想使用無人機(jī)測量寫字樓的高度，他們作出如下的測量方案：如圖，將無人機(jī)放在水平面的點(diǎn)處（無人機(jī)自身高度忽略不計(jì)），先控制無人機(jī)從點(diǎn)出發(fā)向右上方勻速飛行9.9秒到達(dá)空中點(diǎn)處，再調(diào)整飛行方向，向左上方勻速飛行13秒到達(dá)該樓頂點(diǎn)處（點(diǎn)均在同一平面），已知無人機(jī)的速度為10米/秒，且無人機(jī)在點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為，點(diǎn)的仰角為，求寫字樓的高度．（結(jié)果精確到1米）參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】高度約為148米【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明四邊形為矩形，易得，由題意得（米），（米），利用三角函數(shù)解得，的值，即可獲得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴四邊形為矩形，∴，由題意得（米），（米），∵，，∴，∵，，∴，∴（米）．答：寫字樓AB的高度約為148米．【變式訓(xùn)練2】．小杰在學(xué)習(xí)了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小區(qū)設(shè)計(jì)了如下測量方案：小杰利用小區(qū)中的一個(gè)斜坡，首先在斜坡的底端測得高樓頂端的仰角是，然后沿斜坡向上走到處，再測得高樓頂端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高樓底端的距離是米，且三點(diǎn)在一直線上(如圖所示)．假設(shè)測角儀器的高度忽略不計(jì)，請(qǐng)根據(jù)小杰的方案，完成下列問題：(1)求高樓的高度；(2)求點(diǎn)離地面的距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)高樓的高度為米(2)點(diǎn)離地面的距離為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．（1）在中，解直角三角形即可得出答案；（2）作于，于，則四邊形是矩形，得出，，設(shè)米，則米，米，在中，解直角三角形即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：在中，米，，∴（米），∴高樓的高度為米；（2）解：如圖，作于，于，，則，∴四邊形是矩形，∴，，設(shè)米，∴米，∵斜坡的坡比是，∴米，∴米，在中，，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴點(diǎn)離地面的距離為米．【變式訓(xùn)練3】．如圖所示，某人站在樓頂觀測對(duì)面筆直的旗桿．已知觀測點(diǎn)C到旗桿的距離（的長度）為，測得旗桿的仰角為，旗桿底部的俯角為，求旗桿的高度是多少米？(結(jié)果保留根號(hào))

【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分別在和中，利用正切的定義求出，，即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，在中，，，∴，∴，即旗桿的高度是．類型二、方向角例．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，它極大地方便了航海時(shí)輪船的定位．如圖，位于東西方向海北岸線上的碼頭相距70海里，一艘供給船從碼頭出發(fā)沿北東偏東方向勻速行駛，到達(dá)處后收到信號(hào)，位于碼頭正北方向80海里的處有一漁船需要物資，故該供給船按原速沿北偏東方向行駛后到達(dá)處：求供給船行駛時(shí)的速度(結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)：，，)．【答案】供給船行駛時(shí)的速度約為60海里/時(shí)【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及矩形判定與性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)、三角函數(shù)求線段長、勾股定理等知識(shí)，過點(diǎn)分別作，垂足為點(diǎn)，如圖所示，由等腰直角三角形性質(zhì)及三角函數(shù)得到相關(guān)邊的關(guān)系，設(shè)，則，由列方程求解即可得到答案，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的解決實(shí)際問題．【詳解】解：過點(diǎn)分別作，垂足為點(diǎn)，如圖所示：四邊形是矩形，∴，根據(jù)題意，得，在中，，∴，在中，，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴，，答：供給船行駛時(shí)的速度約為60海里/時(shí)．【變式訓(xùn)練1】．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國自主研發(fā)的全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)，它極大的方便了航海時(shí)輪船的定位．如圖，燈塔B位于港口A的北偏東方向，且A，B之間的距離為30km，燈塔C位于燈塔B的正東方向，且B，C之間的距離為9km．一艘輪船從港口A出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)D處，測得燈塔C在北偏東37°方向上，這時(shí)，D處距離港口A有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】32km【分析】延長交直線于點(diǎn)E，則，解直角三角形，求出，可得，解直角三角形，求出，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：延長交直線于點(diǎn)E，則，在直角三角形中，，∴，，∵，∴，則在直角三角形中，∵，∴，∴km；答：D處距離港口A32km．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于?？碱}型，熟練掌握銳角三角函數(shù)的知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．在某張航海圖上（單位：海里），標(biāo)明了三個(gè)觀測點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖，，，，由三個(gè)觀測點(diǎn)確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護(hù)區(qū)．(1)求圓形區(qū)域的面積；(2)某時(shí)刻海面上出現(xiàn)漁船A，在觀測點(diǎn)O測得A位于北偏東，同時(shí)在觀測點(diǎn)B測得A位于北偏東，求觀測點(diǎn)B到A船的距離（結(jié)果精確到海里）．（參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)圓形區(qū)域的面積為平方海里(2)觀測點(diǎn)B到A船的距離為海里【分析】（1）連接連接、，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)得到，，，即OC為圓形區(qū)域的直徑．由勾股定理求得即可求解；（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)，則，由題意得到，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)求解、即可．【詳解】（1）解：連接、，因?yàn)椋?，，所以，，，所以O(shè)C為圓形區(qū)域的直徑．所以．所以圓形區(qū)域的半徑為50海里．所以圓形區(qū)域的面積為平方海里．（2）解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)，則，由題意可得，所以因?yàn)?，所以在中，因?yàn)椋裕栽谥?，（海里）答：觀測點(diǎn)B到A船的距離為海里．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及銳角三角函數(shù)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形，理解題意，構(gòu)造直角三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．我國北斗導(dǎo)航裝備極大的方便了航海時(shí)輪船的定位．如圖，一貨輪由地出發(fā)，去往地，當(dāng)貨輪在地時(shí)，導(dǎo)航顯示貨輪北偏東（即）方向上有海島，貨輪由地沿正東方向航行海里到達(dá)地，此時(shí)導(dǎo)航顯示海島在貨輪的北偏東（即）方向上，求地與海島之間的距離．

【答案】地與海島之間的距離為海里【分析】根據(jù)題意，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是等腰直角三角形，則求出的長度，中，，三角函數(shù)的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，，∴，是等腰直角三角形，，∴，，即，∵，，，，∴，在中，，∴，∴地與海島之間的距離為海里．【點(diǎn)睛】本題主要考查方位角與直角三角形的綜合，掌握方位角的特點(diǎn)，直角三角形，三角函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類型三、坡角、坡度或坡比例．某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為20米，在坡頂B處測得教學(xué)樓的樓頂C的仰角，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處測得C的仰角，的延長線交水平線于點(diǎn)D，求的長（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，設(shè)點(diǎn)到的距離為，在中，求出的長，設(shè)米，在，利用銳角三角函數(shù)求出的值，進(jìn)而求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)到的距離為，由題意可知，，在中，米，∴米，設(shè)米，則米．在中，，∴米，在中，，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意，米．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在建筑物的左邊有一個(gè)小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平線上，斜坡的坡比為，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達(dá)坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角為，然后小李沿斜坡走了米到達(dá)底部C點(diǎn)，已知建筑物上有一點(diǎn)E，在C處看建筑物E點(diǎn)的仰角為，（點(diǎn)A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)）建筑物頂端D到E的距離長度為米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求小李從斜坡B走到A處高度上升了多少米．(2)求建筑物的高度．【答案】(1)10米(2)約為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，也考查了勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．（1）過作，根據(jù)比例設(shè)，結(jié)合勾股定理求出，即可得到答案；（2）延長角的水平邊交于則，由勾股定理求出，設(shè)，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案．【詳解】（1）解：過作，∵的坡比，設(shè)，∴在中，，∴，∴；答：小李從斜坡走到處高度上升了10米．（2）解：延長角的水平邊交于則，在中，，設(shè)，在中，，，∵四邊形是矩形，，又∵，在中，，，，，答：建筑物的高度為米．【變式訓(xùn)練2】．2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為兩部分，小明同學(xué)在點(diǎn)測得雪道的坡度，在點(diǎn)測得點(diǎn)的俯角．若雪道長為，雪道長為．求該滑雪場的高度；【答案】該滑雪場的高度h為【分析】本題考查解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和列出分式方程．過B作，過A過，兩直線交于F，過B作垂直地面交地面于E，根據(jù)題知，可得，由的坡度，設(shè)，則，，即可得；【詳解】解：過B作，過A過，兩直線交于F，過B作垂直地面交地面于E，如圖：根據(jù)題知，∴，∵的坡度，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，（負(fù)值已舍去），∴，答：該滑雪場的高度h為；【變式訓(xùn)練3】．為測量底部不能到達(dá)的建筑物的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在山坡的頂端C處測得建筑物頂部A的仰角為，在山腳D處測得建筑物頂部A的仰角為，若山坡的坡度，坡長米，求建筑物的高度．（精確到1米)（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】約21米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意得：，根據(jù)山坡的坡度，可得，從而利用平行線的性質(zhì)，以及平角定義可得，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，山坡的坡度，，在中，，，，，，，，，在中，米，（米），在中，（米，答：建筑物的高度約為21米．類型四、解直角三角形應(yīng)用舉例例．長嘴壺茶藝表演是一項(xiàng)深受群眾喜愛的民俗文化，所用到的長嘴壺更是歷史悠久，源遠(yuǎn)流長．如圖是長嘴壺放置在水平桌面上，是水平桌面，測得，，，且，，壺嘴與水平面的夾角為α0°<α<90°．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)如圖，當(dāng)壺嘴與水平面的夾角為時(shí)，壺嘴口F離桌面高度恰好為壺身高度的倍，求壺嘴的長度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)若長嘴壺放置在水平桌面上，為使得長嘴壺能夠裝滿茶水，求的取值范圍．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰梯形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過作于，先根據(jù)四邊形是等腰梯形求出的長度，在求出，過作于，交過的水平線于，求出的長度，最后在中，求出的長度即可；（2）只需要，故，解得，所以即可求解．【詳解】（1）解：過作于，，，四邊形是等腰梯形，，在中，，過作于，交過的水平線于，由題意得：，，根據(jù)，，，在中，，所以，壺嘴的長度為；（2）解：壺嘴與水平面夾角為α0°<α<90°，則，故，依題意即可成立，故，當(dāng)時(shí)，取最小值為，即，所以，的取值范圍為：．【變式訓(xùn)練1】．動(dòng)感單車是一種新型的運(yùn)動(dòng)器材，這種運(yùn)動(dòng)器材的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實(shí)線所示，底座為，C，D在同一條直線上，測得，，，，支撐桿，另一段支撐桿，求支撐桿上的點(diǎn)E到水平地面的距離是多少？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，在和中，解直角三角形即可求解．【詳解】解：作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，在中，，即，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴．【變式訓(xùn)練2】．如圖1是某旅游景點(diǎn)的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測得，，．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點(diǎn)到的距離）．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【答案】(1)見解析(2)雕塑的高為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，可證明，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形為平行四邊形．得出．，在中，，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，．∴四邊形為平行四邊形．（2）過點(diǎn)作于，∵四邊形為平行四邊形，∴．∵，∴．在中，，即，∴．答：雕塑的高為．【變式訓(xùn)練3】．如圖1是一個(gè)花灑實(shí)物圖，圖2和圖3是其側(cè)面示意圖．點(diǎn)B處既可以調(diào)節(jié)花灑的高度，又可以調(diào)節(jié)花灑臂與花灑桿的夾角．若打開花灑后水柱與花灑臂垂直，花灑的高度，花灑臂，小麗與花灑桿的距離．(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，水柱恰好落在小麗的頭頂上，求小麗的身高（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：(2)如圖3，調(diào)節(jié)花灑臂AB與花灑桿的角度，當(dāng)時(shí)，要使水柱恰好落在小麗的腳上，求此時(shí)小麗與花灑的距離．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)163cm(2)63cm【分析】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確理解題意以及靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，先得出，求出，在求出，最后根據(jù)即可得出答案；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)求出即可．【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)．，四邊形是矩形，，在中，，，，由勾股定理，得，，，，，，，，，，．答：小麗的身高約是163cm．（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．，四邊形是矩形，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，．答：此時(shí)小麗與花灑的距離約是63cm．1．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組借助測角儀，根據(jù)所學(xué)知識(shí)測量某建筑物的高度，下面是小霞提出的測量方案：把測角儀放在建筑物前面的E處直立，測得建筑物低端A的俯角為，頂端B的仰角為．已知測角儀的高度為米，求建筑物的高度．（結(jié)果精確到.參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】建筑物的高度約為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題的應(yīng)用，利用題干條件結(jié)合解直角三角形即可求得、的長，從而求得建筑物的高度．【詳解】解：根據(jù)題意可知：米，，，在中，，，（米），在中，，（米），（米），答：建筑物的高度約為米．2．“科技改變生活”，小顧是一名攝影愛好者，新入手一臺(tái)無人機(jī)用于航拍．在一次航拍時(shí)，數(shù)據(jù)顯示，從無人機(jī)A看建筑物頂部B的仰角為，看底部C的俯角為，無人機(jī)A到該建筑物的水平距離為10米，求該建筑物的高度．（結(jié)果精確到3位有效數(shù)字；參考數(shù)據(jù)：，）【答案】米【分析】本題考查解直角三角形的的實(shí)際應(yīng)用，利用三角函數(shù)分別解和即可．【詳解】解：中，，，（米），中，，，（米），（米），即該建筑物的高度為米．3．冬季是滑雪的最佳時(shí)節(jié)，亞布力滑雪場有初、中、高級(jí)各類滑雪道．如圖，其中的兩條初級(jí)滑雪道的線路為：①；②．點(diǎn)A是雪道起點(diǎn)，點(diǎn)D是雪道終點(diǎn)，點(diǎn)B、C、E是三個(gè)休息區(qū)．經(jīng)勘測，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東方向1800米處，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正南方向2000米處，點(diǎn)D在C的西南方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的西南方向1300米處，點(diǎn)E在點(diǎn)D的正北方向．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求的長度；（精確到1米）(2)小外一家周末去亞布力滑雪，小外沿滑雪道線路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途經(jīng)的每個(gè)休息區(qū)都各休息了5分鐘；小外的爸爸比小外晚出發(fā)2分鐘，以3米/秒的速度沿滑雪道線路②滑完全程，且中途沒有休息．請(qǐng)計(jì)算說明小外和爸爸誰先到達(dá)終點(diǎn)D．【答案】(1)約2573米(2)小外先到達(dá)終點(diǎn)D【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用方向角的問題，關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，由三角函數(shù)定義求出、的長．（1）過作于交于，過作于，過作于，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出米，由，，得到米，由矩形的性質(zhì)，，，，求出米，得到米，由等腰直角三角形的性質(zhì)米；（2）求出滑雪道線路①②的路程，求出兩人所滑行的時(shí)間，即可解決問題．【詳解】（1）解：過作于交于，過作于，過作于，點(diǎn)在點(diǎn)的西南方向，，是等腰直角三角形，（米），，，（米），，，，，，四邊形，是矩形，，，，，（米），米，，是等腰直角三角形，（米）；（2）解：滑雪道線路①全程（米），小外滑行的時(shí)間是（秒）（分鐘），小外途經(jīng)的每個(gè)休息區(qū)都各休息了5分鐘，小外在滑雪道線路①共用時(shí)（分鐘），（米），（米），米，（米），是等腰直角三角形，米，滑雪道線路②全程（米），小外的爸爸滑行的時(shí)間是（秒）（分鐘），小外的把爸爸比小外又晚出發(fā)2分鐘，小外先到達(dá)終點(diǎn)．4．某景區(qū)A、B兩個(gè)景點(diǎn)位于湖泊兩側(cè)，游客從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B必須經(jīng)過C處才能到達(dá)．觀測得景點(diǎn)B在景點(diǎn)A的北偏東，從景點(diǎn)A出發(fā)向正北方向步行米到達(dá)C處，測得景點(diǎn)B在C的北偏東方向．(1)求景點(diǎn)B和C處之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)當(dāng)?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B的筆直的跨湖大橋．大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)【分析】本題是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵理解方位角，并通過作輔助線把非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形是解題的關(guān)鍵．對(duì)于非直角三角形問題，常常作垂線轉(zhuǎn)化為直角三角形問題解決．（1）過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，分別在和中，解直角三角形即可求得的長；（2）由題意可得及的長，則計(jì)算即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，由題意得，，在中，，∴，，∵，∴，∴，，故景點(diǎn)B和C處之間的距離為；（2）由題意得：，，，即大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來少走約．5．如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，兩名同學(xué)要測量小河對(duì)岸大樹的高度，甲同學(xué)在點(diǎn)測得大樹頂端的仰角為，乙同學(xué)從點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走米到達(dá)斜坡上點(diǎn)，在此處測得樹頂端點(diǎn)的仰角為，且斜坡的坡度為．(1)求乙同學(xué)從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中上升的高度；(2)依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)求出大樹的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)上升的高度為6米(2)大樹的高度約為24米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形函數(shù)的相關(guān)定義和運(yùn)算是解題關(guān)鍵．（1）作于，根據(jù)題意可得，然后利用勾股定理求解即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明四邊形為矩形，易得，；設(shè)米，證明為等腰直角三角形，可得，進(jìn)一步可得，，然后利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：作于，如圖所示，在中，∵，∴，∵，∴，∴（米）．答：乙同學(xué)從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中，他上升的高度為6米；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴四邊形為矩形，∴，，設(shè)米，在中，，∴，∴，由（1）得，∴在矩形中，，，在中，，∵，∴，解得，答：大樹的高度約為24米．6．為了方便市民出行，市政府決定對(duì)某街道一條斜坡進(jìn)行改造，計(jì)劃將原斜坡坡角為的改造為坡角為的，已知，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)．(1)求的距離(結(jié)果保留根號(hào))．(2)一輛貨車沿斜坡從C處行駛到F處，貨車的高為，，若，求此時(shí)貨車頂端E到水平線的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題；（1）過點(diǎn)作，交AB的延長線于點(diǎn)，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）延長DE交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，，從而可得，，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，再根據(jù)垂直定義可得，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，進(jìn)而求出的長，最后在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，交AB的延長線于點(diǎn)，在中，，，，，在中，，，，的距離為；（2）解：延長DE交于點(diǎn)，由題意得：，，，，，，，，在中，，，，，，在中，，，(米)，此時(shí)貨車頂端到水平線CD的距離DE約為．7．我校新買了一批折疊桌.如圖所示，將其中一張折疊桌平穩(wěn)放置地面，此時(shí)桌腳與相交于點(diǎn)O．，，，，．(1)求點(diǎn)O至的距離；(2)《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》中指出，桌椅高度差應(yīng)控制在至范圍內(nèi)（包括與），現(xiàn)有兩種規(guī)格的椅子可供挑選，甲種椅子高度為，乙種椅子高度為，請(qǐng)問挑選哪種椅子比較合適，為什么?（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)甲種椅子，理由見詳解【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)已知條件和銳角三角函數(shù)即可求點(diǎn)至的距離；（2）延長與交于點(diǎn)，結(jié)合（1）可得的長，再根據(jù)桌椅高度差應(yīng)控制在至范圍內(nèi)，進(jìn)行計(jì)算即可判斷．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形．【詳解】（1）解：如圖，過