江蘇省蘇州市2023-2024學年高一上學期1月期末考試 數(shù)學

第一學期期末抽測高一年級數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知扇形的半徑為，弧長為，則該扇形的面積為（）A. B. C. D.3.若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（）A1 B.2 C.4 D.84.若，則（）A. B. C. D.5.若，則（）A.4 B.2 C. D.6.2023年12月30日，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丙運載火箭成功發(fā)射衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術試驗衛(wèi)星.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關系是（是參數(shù)）.當時，大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，若，，，則（）A. B.C D.8.已知函數(shù)，且關于的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則10.下列說法正確的是（）A.若，則為第三象限角B.函數(shù)的定義域是C.函數(shù)的圖象恒過點D.與角終邊相同角的集合可以表示為11.如圖，函數(shù)部分圖象與坐標軸分別交于點，，，且的面積為，則（）A.點的縱坐標為1B.在上單調(diào)遞增C.點是圖象的一個對稱中心D.的圖象可由的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度得到12.已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A.4為的一個周期B.C.由可知，D.函數(shù)的所有零點之和為0三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.寫出一個同時滿足下列條件①②的冪函數(shù)的解析式：______.①在上單調(diào)遞增；②.14.若在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______.15.若，，則的值為______.16.已知函數(shù)，若恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）求的真子集；（2）若______，求實數(shù)的取值集合.從以下兩個條件中任選一個補充在橫線上，并進行解答.①“”是“”的充分條件；②.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18.已知.（1）若是第一象限角，求的值；（2）求的值.19.中國茶文化博大精深，有十大名茶，如西湖龍井、黃山毛峰等.某地有一茶山，前三次采茶量分別為1000斤、1200斤、1300斤.為了估測以后每次的采茶量，以這三次的采茶量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該茶山的單次產(chǎn)量（單位：斤）與次數(shù)的關系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)（，，為常數(shù)）.已知第4次的產(chǎn)量為1360斤.問：用以上哪個函數(shù)模擬較好？為什么？20.已知函數(shù)，用“五點法”畫一個周期的圖象，列表如下：03（1）求解析式，并求當時，的值域；（2）若，求的值.21.已知函數(shù).（1）證明：是奇函數(shù)；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.22.已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使得對內(nèi)的任意，，都有，則稱是“-利普希茲條件函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)，是否為“2-利普希茲條件函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是“-利普希茲條件函數(shù)”，求的最小值；（3）設，若是“2024-利普希茲條件函數(shù)”，且的零點也是的零點，.證明：方程在區(qū)間上有解.2023~2024學年度第一學期期末抽測高一年級數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結合集合交集的定義進行求解即可.【解析】由，因此，故選：B2.已知扇形的半徑為，弧長為，則該扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形的弧長和面積公式計算即可.【解析】設扇形的弧長為弧度，則，解得，所以該扇形的面積為.故選：C.3.若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的真假性質(zhì)，結合一元二次不等式的解集的性質(zhì)進行求解即可.【解析】因為命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，因此有，所以實數(shù)的最小值為，故選：C4.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用反例或者函數(shù)單調(diào)性可得答案.【解析】對于A，例如，滿足，但是不滿足，A不正確；對于B，例如，滿足，但是不滿足，B不正確；對于C，例如，滿足，但是不滿足，C不正確；對于D，因為為增函數(shù)，所以，D正確.故選：D5.若，則（）A4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導公式可得，代入原式，化簡即可求解.【解析】由題意知，，所以.故選：A6.2023年12月30日，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丙運載火箭成功發(fā)射衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術試驗衛(wèi)星.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關系是（是參數(shù)）.當時，大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用，計算出答案.【解析】由于5000遠大于1，故，因為，所以.故選：B7.已知函數(shù)，若，，，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和在上的單調(diào)性，再根據(jù)誘導公式結合正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【解析】，定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，其在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，令在上單調(diào)遞增，當時，，當且僅當，即時，取等號，所以由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，因為，所以.故選：A.8.已知函數(shù)，且關于的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，作出函數(shù)的圖象，則化為，從而關于的方程的兩根分別位于和上，進而可得出答案.【解析】令，則，如圖，作出函數(shù)的圖象，由，得，且，則，故，即，因為關于的方程有三個不同的實數(shù)解，所以關于的方程的兩根分別位于和上，令，當，即或時，若，則，解得，不符題意，若，則，解得或，不符題意，所以，則，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.【小結】關鍵點小結：將所求轉(zhuǎn)化為關于的方程的兩根分別位于和上，是解決本題的關鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結合特例法、作差比較法逐一判斷即可.【解析】A：由，因此本選項說法正確；B：由不等式性質(zhì)可知由，，因此本選項說法正確；C：若，，顯然，成立，但是不成立，因此本選項說法不正確；D：因為，，所以，因此本選項說法正確，故選：ABD10.下列說法正確的是（）A.若，則為第三象限角B.函數(shù)的定義域是C.函數(shù)的圖象恒過點D.與角終邊相同的角的集合可以表示為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)象限角的定義即可判斷A；根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零且分母不等于零，即可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)終邊相同的角的定義即可判斷D.【解析】對于A，因為，所以為第三象限角，故A正確；對于B，由函數(shù)，得，解得且，所以函數(shù)的定義域是，故B錯誤；對于C，令，得，則，所以函數(shù)的圖象恒過點，故C正確；對于D，，所以與角終邊相同的角的集合可以表示為，故D正確.故選：ACD.11.如圖，函數(shù)的部分圖象與坐標軸分別交于點，，，且的面積為，則（）A.點的縱坐標為1B.在上單調(diào)遞增C.點是圖象的一個對稱中心D.的圖象可由的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度得到【答案】AC【解析】【分析】A選項，求出的最小正周期，得到，由三角形面積公式得到，求出點的縱坐標；B選項，根據(jù)點的坐標求出，求出，整體法判斷出函數(shù)在上不單調(diào)；C選項，整體法求出為函數(shù)的對稱中心；D選項，根據(jù)伸縮變換和平移變換得到答案.【解析】A選項，由題意得的最小正周期為，即，又，故，解得，故點的縱坐標為1，A正確；B選項，中，令得，故，解得，又，求出，故，當時，，由于在上不單調(diào)遞增，故B錯誤；C選項，令，解得，當時，，故點是圖象的一個對稱中心，C正確；D選項，的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到，再將得到的圖象向左平移個單位，得到，D錯誤.故選：AC12.已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A.4為的一個周期B.C.由可知，D.函數(shù)的所有零點之和為0【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，，則，從而可判斷函數(shù)的周期性，即可判斷A；求出，再根據(jù)周期性即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的周期性即可判斷C；判斷處函數(shù)的奇偶性，即可判斷D.【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即，因為為偶函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以4為的一個周期，故A正確；因為，所以，所以，又因，所以，所以，故B正確；因為，所以，因為4為的一個周期，所以，則，所以，故C錯誤；因為，所以，，又因為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，得，令，定義域為關于原點對稱，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)得交點關于軸對稱，所以函數(shù)的所有零點之和為0，故D正確.故選：ABD.【小結】方法小結：函數(shù)的三個性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結合、周期性與抽象函數(shù)相結合，并結合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．（2）周期性與奇偶性相結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.寫出一個同時滿足下列條件①②的冪函數(shù)的解析式：______.①在上單調(diào)遞增；②.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求解.【解析】設，因為在上單調(diào)遞增，所以；因為，所以，所以的值可以為2,3,4.故答案為：（答案不唯一滿足即可）14.若在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一次函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【解析】因為在上是增函數(shù)，所以有，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：15.若，，則的值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式進行求解即可.【解析】由，因此，于是，故答案為：16.已知函數(shù)，若恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】綜合應用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得答案.【解析】若恒成立，則，所以，即，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故，，解得，令得，又，所以，令得；當時，，不合題意；綜上可得或.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）求的真子集；（2）若______，求實數(shù)的取值集合.從以下兩個條件中任選一個補充在橫線上，并進行解答.①“”是“”的充分條件；②.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）先求出集合，再根據(jù)真子集的定義即可得解；（2）選①，由“”是“”的充分條件，可得，再分兩種情況討論即可.選②，由，可得，再分兩種情況討論即可.【小問1解析】，所以集合的真子集有；【小問2解析】選①，因為“”是“”的充分條件，所以，當時，，符合題意，當時，，因為，所以或，所以或，綜上所述，實數(shù)的取值集合為.選②，因為，所以，當時，，符合題意，當時，，因為，所以或，所以或，綜上所述，實數(shù)的取值集合為.18.已知.（1）若是第一象限角，求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡，再利用平方關系和商關系可求的值；（2）先利用誘導公式化簡，再利用齊次式和正切值可得答案.【小問1解析】因為，所以，又，所以，因為是第一象限角，所以.【小問2解析】.19.中國茶文化博大精深，有十大名茶，如西湖龍井、黃山毛峰等.某地有一茶山，前三次采茶量分別為1000斤、1200斤、1300斤.為了估測以后每次的采茶量，以這三次的采茶量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該茶山的單次產(chǎn)量（單位：斤）與次數(shù)的關系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)（，，為常數(shù)）.已知第4次的產(chǎn)量為1360斤.問：用以上哪個函數(shù)模擬較好？為什么？【答案】選擇函數(shù)為好，理由見解析【解析】【分析】運用待定系數(shù)法，結合第4次的產(chǎn)量為1360斤進行比較選擇即可.【解析】若模擬函數(shù)選用二次函數(shù)，設二次函數(shù)解析式為，因為前三次采茶量分別為1000斤、1200斤、1300斤，所以有，若模擬函數(shù)選用函數(shù)，因為前三次采茶量分別為1000斤、1200斤、1300斤，所以有，因為，所以的值更接近1360，所以選用函數(shù)為好，此時函數(shù)解析式為.20.已知函數(shù)，用“五點法”畫一個周期的圖象，列表如下：03（1）求的解析式，并求當時，的值域；（2）若，求的值.【答案】20.；21.【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)結合“五點法”畫圖，求得的值，即求得解析式；再根據(jù)的范圍求出的值域.（2）由代入運算求得，利用誘導公式可求得，得解.【小問1解析】由表中數(shù)據(jù)可得，，解得，又，，，，又，，即，，又，所以，所以.當時，，，，所以的值域為.【小問2解析】由，得，即，，，.21.已知函數(shù).（1）證明：奇函數(shù)；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）增函數(shù)，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，結合對數(shù)型函數(shù)的定義域進行求解即可；（2）根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)，結合單調(diào)性定義、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行運算證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，給合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【小問1解析】函數(shù)，由，所以的定義域為，顯然關于原點對稱，因為，所以是奇函數(shù)；【小問2解析】由，因此函數(shù)的定義域為，，設，于是有，因此有，所以是上的增函數(shù)；【小問3解析】，所以由，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以由，因為函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移2個單位得到，而是上的增函數(shù)