【19題結構】 第一學期高二數(shù)學期末模擬試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第一學期高二數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明一、單選題1．若直線與平行，則（

）A． B． C． D．22．若橢圓焦點在軸上且橢圓經過點0,2，，則該橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．3．在中，已知，，，則邊上的中線長為（

）A． B．6 C． D．74．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．5．已知圓經過點，半徑為2，若圓上存在兩點關于直線對稱，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．6．在四面體中，，，，，則的值為（

）A．7 B．9 C．11 D．137．圓與圓的公共弦所在的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為2，則的值為（

）A． B．3 C．7或 D．或38．曲線，其中均為正數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)是（

）①當時，曲線是軸對稱圖形②當時，曲線關于中心對稱③當時，曲線所圍成的面積小于④當時，曲線上的點與距離的最小值等于1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、多選題9．已知向量，，，則（

）A． B．在上的投影向量為C． D．向量共面10．已知圓，，則（

）A．在圓上存在點，使得B．在圓上存在點，使得點到直線的距離為C．在圓上存在點．使得D．在圓上存在點，使得11．已知分別是雙曲線的左、右焦點，經過點且傾斜角為鈍角的直線與的兩條漸近線分別交于兩點，點為上第二象限內一點，則（

）A．若雙曲線與有相同的漸近線，且的焦距為8，則的方程為B．若，則的最小值是C．若內切圓的半徑為1，則點的坐標為D．若線段的中垂線過點，則直線的斜率為第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．在正方體中，點是的中點，已知，，，用表示，則.13．已知圓，直線，為圓上一動點，為直線上一動點，定點，則的最小值為.14．已知橢圓的右焦點是，直線交橢圓于兩點﹐直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為．四、解答題15．已知直線的方程為，求直線的一般式方程，滿足：(1)過點，且與平行；(2)過點，且與垂直.16．如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，上的中點．(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．17．已知點，，中恰有兩個點在拋物線上，(1)求的標準方程；(2)若點，在上，且，證明：直線過定點．18．如圖甲，在平面五邊形中，∥，，，，為的中點，以為折痕將圖甲中的△折起，使點到達如圖乙中的點的位置，且.(1)證明：平面平面；(2)若過點作平面的垂線，垂足為，求點到平面的距離.19．如圖，定義：以橢圓中心為圓心、長軸長為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過橢圓上一點作軸的垂線交其“伴隨圓”于點，稱點為點的“伴隨點”．已知橢圓上的點的一個“伴隨點”為．

(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，點與點關于軸對稱．（?。┳C明：直線恒過定點；（ⅱ）記（?。┲械闹本€所過的定點為，若在直線上的射影分別為（，為不同的兩點），記，，的面積分別為，求的取值范圍．參考答案：題號12345678910答案ABBCDBCCABDAB題號11答案BCD1．A【分析】根據(jù)直線平行列式求解，并代入檢驗即可.【解析】由題意可得：，解得，若，則直線、，兩直線平行，綜上所述：.故選：A.2．B【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標準方程.【解析】由題意得橢圓焦點在x軸上且經過點0,2，所以，，，橢圓的標準方程為．故選：B．3．B【分析】需要先求出邊的中點坐標，然后根據(jù)空間兩點間距離公式來計算中線長.【解析】已知，，根據(jù)中點坐標公式，中點的坐標為.已知，，根據(jù)空間兩點間距離公式，.故選：B.4．C【分析】以為原點，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設點為上一點，則點到距離的最小值即為直線與之間的距離，利用空間中點到直線的距離公式結合二次函數(shù)的最值即可求解.【解析】如圖，以為原點，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設點為上一點，則點到距離的最小值即為直線與之間的距離，已知正方體棱長為2，所以，設，所以，，設與共線的單位向量，所以點到的距離，令，則當時，，所以直線與之間的距離為.故選：.5．D【分析】由題設得圓心軌跡為，且直線必過圓心，即直線與圓心軌跡有交點，利用點線距離求參數(shù)范圍即可得結果.【解析】設圓心的坐標為，則，又圓上存在兩點關于直線對稱，則圓心必在直線上，所以與有交點，則，解得，故的最大值為.故選：D6．B【分析】根據(jù)空間數(shù)量積的運算律計算可得.【解析】因為，，所以，又，所以，即，即，所以，所以.

故選：B7．C【分析】先分析兩圓的圓心和半徑，列出相交需滿足的條件，再求出公共弦所在直線的方程并表示出三角形面積，由此可計算出的值，注意檢驗.【解析】圓的圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑，由題意可知兩圓相交，且，所以；兩圓方程作差可得，即為公共弦所在直線的方程，令，則，令，則，所以直線與坐標軸圍成的三角形面積為，解得或，經檢驗或滿足條件，故選：C.8．C【分析】對于①，設為曲線上的點，則將點代入驗證即可判斷；對于②，將代入驗證，即可判斷；對于③④，將曲線與單位圓進行比較即可判斷.【解析】對于①，當時，曲線即，設為曲線上的點，則將點代入，方程不變，即曲線關于直線對稱，是軸對稱圖形，①正確；對于②，當時，曲線即，設為曲線上的點，則點關于的對稱點為，將代入，即，化簡得，即方程不變，故曲線關于中心對稱，②正確；對于③，當時，曲線即，設為該曲線上任一點，設為單位圓上任一點，則，，當時，；當時，；不妨取為一定值，此時，則，即曲線所圍成的面積大于單位圓面積，③錯誤；對于④，當時，曲線即，設為該曲線上任一點，則，當時，；設為單位圓上任一點，當時，，則，當或時取等號，則，當或時即可取等號，當時，，故曲線上的點與距離的最小值等于1，④正確，故選：C【小結】難點小結：解答本題的難點在于④的判斷，解答時要注意結合單位圓進行比較，即可求解.9．ABD【分析】根據(jù)向量模長、投影向量求法、向量垂直的坐標表示、向量共面的判斷方法依次判斷各個選項即可.【解析】對于A，，，，A正確；對于B，，在上的投影向量為，B正確；對于C，，與不垂直，C錯誤；對于D，，共面，D正確.故選：ABD.10．AB【分析】求出判斷A；根據(jù)到直線的距離判斷B；轉化為兩圓的位置關系判斷C；求出垂直平分線與圓的交點判斷D.【解析】由可得，圓心，半徑，對于A.，因為，所以，，所以在圓上存在點，使得，正確；對于B，的方程為，即，到的距離為，到直線的距離，而，所以在圓上存在點，使得點到直線的距離為，正確；對于C，以為直徑端點的圓，圓心，半徑，，兩圓外離，兩圓沒有交點，所以在圓上不存在點．使得，錯誤；對于D，垂直平分線方程為，直線與圓相交，有兩個交點，但是若為，時，，所以在圓上不存在點，使得，錯誤.故選：AB.11．BCD【分析】根據(jù)共漸近線設雙曲線方程，結合雙曲線得性質即可得雙曲線方程，從而判斷A；根據(jù)雙曲線的定義轉換可得的最小值，從而判斷B；設內切圓圓心為，直線與圓的切點分別為，根據(jù)雙曲線的定義結合與三角形內切圓的幾何性質，即可得點的坐標，從而判斷C；根據(jù)線段垂直平分線結合點差法確定直線與垂線斜率關系，并檢驗直線是否符合即可確定直線斜率，從而判斷D.【解析】對于A，依題意設雙曲線（且），即，又的焦距為8，所以，，所以的方程為或，故A錯誤；對于B，因為，所以，

，當且僅當三點共線時等號成立，故B正確；對于C，設內切圓圓心為，直線與圓的切點分別為．

則，，，所以，，解得，，連接，則內切圓半徑，，，，所以軸，點在第二象限，坐標為?2,3，故C正確；對于D，設的中點為，兩漸近線可寫成，設Ax1,y1，則，且，作差可得，整理得，即（*），在中，，則，故，即，將此式代入（*）得，，解得，由直線的傾斜角為鈍角知，則，故D正確．故選：BCD．12．【分析】先求出，再求出，即得解.【解析】又是的中點,，，，.故答案為：.【小結】本題主要考查平面向量的運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.13．11【分析】先設C的對稱點根據(jù)斜率關系及中點在對稱直線上求出點,再根據(jù)數(shù)形結合得出距離和最小最后應用兩點間距離公式計算即可.【解析】設圓心關于對稱的點為，則解得即，連接，，所以，所以當三點共線時距離和最小為，故的最小值為.故答案為：11.14．/【分析】設橢圓的左焦點為，利用已知條件結合橢圓的對稱性可得四邊形為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.【解析】設橢圓的左焦點為，連接，，，，

由直線交橢圓于兩點﹐及，結合橢圓的對稱性可得，所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，設，則，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，將代入①得，即，所以，故答案為：15．(1)(2).【分析】（1）由與平行斜率相等，點斜式可求直線方程，再化為一般式方程；（2）由與垂直，斜率互為負倒數(shù)，點斜式可求直線方程，再化為一般式方程.【解析】（1）方法一：由題意的方程可化為，則的斜率為.由與平行，的斜率為，又過，由點斜式知方程為，即.方法二：由與平行，可設方程為，將點代入上式得，所求直線方程為.（2）方法一：由題意的方程可化為，則的斜率為.由與垂直，的斜率為，又過，由點斜式可得方程為，即.方法二:由與垂直，可設其方程為，將代入上式得，所求直線方程為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立適當空間直角坐標系后，可得和，計算其數(shù)量積即可得；（2）求出平面與平面的法向量后，借助法向量的夾角的余弦值得到面面角的余弦值.【解析】（1）由正方體性質可得兩兩垂直，則可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，則，所以，則，故；（2）設平面的法向量為n1=又，則，即，令，則可得，設平面的法向量為，又，則，即，令，則可得，設平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）將點坐標代入拋物線方程，取相同的值，得到標準方程；（2）設直線方程，聯(lián)立方程組化簡為一元二次方程，由韋達定理求得參數(shù)的值，得到直線的定點.【解析】（1）將代入拋物線方程，解得，將代入拋物線方程，解得，將代入拋物線方程，解得，根據(jù)題意可知，∴的標準方程為（2）∵，∴，∴設直線，則聯(lián)立方程組得，即，∴，∴，∴，∴直線過動點.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，再由面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求點到面的距離即可.【解析】（1）在平面五邊形中，∥，，所以四邊形是直角梯形，且，在直角中，，且，則，可得，從而是等邊三角形，平分.因為為的中點，所以，所以，又因為且平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）取的中點F，連接，過點S作垂直于點，連接，如圖，因為平面平面，平面∩平面，所以平面，又平面，則因為，F(xiàn)是的中點，所以，又且平面，所以平面，由平面，則；又因為，所以，則點O是的中點，又，所以，可得.以為原點，以所在的直線分別為軸，軸，如圖所示建立空間直角坐標系，則，可得.設平面的一個法向量為，由，令，則.由于平面，設可得，所以；由于點平面，所以，解得，即，由（1）可知，平面，所以點H到平面的距離為.19．(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）由橢圓過點，其伴隨圓過點列方程組即可求得橢圓方程；（2）（i）分直線的斜率不為0和為0兩種情況討論，直線的斜率不為0時可設直線方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合橢圓的對稱性，利用韋達定理化簡即可求得直線恒過定點；（ii）法一：設直線的方程為，分別求出，則可得，結合二次函數(shù)的性質即可得的取值范圍；法二：表示，再結合二次函數(shù)的性質即可得的取值范圍；法三：設直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理化簡可得，再結合二次函數(shù)的性質即可得的取值范圍.【解析】（1）因為橢圓E:x2a2+y2所以解得所以橢圓的方程為．（2）（?。┳C明：當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，Ax1,y1，Bx聯(lián)立整理得，則，，，所以，直線的方程為，由橢圓的對稱性知，若存在定點，則必在軸上．當時，，即直線恒過定點．當直線的斜率為0時，直線的方程為，也過．綜上，直線恒過定點．（ⅱ）解：法一：由題意知的斜率存在且不為0，，設直線的方程為，Ax1,y1，B，，，由（?。┲?，則，因為，所以，所以，所以，所以，故的取值