【19題結(jié)構(gòu)】 第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明一、單選題1．若直線與平行，則（

）A． B． C． D．22．若橢圓焦點(diǎn)在軸上且橢圓經(jīng)過點(diǎn)0,2，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．3．在中，已知，，，則邊上的中線長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．74．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在棱長(zhǎng)為的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．5．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，半徑為2，若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．6．在四面體中，，，，，則的值為（

）A．7 B．9 C．11 D．137．圓與圓的公共弦所在的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為2，則的值為（

）A． B．3 C．7或 D．或38．曲線，其中均為正數(shù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①當(dāng)時(shí)，曲線是軸對(duì)稱圖形②當(dāng)時(shí)，曲線關(guān)于中心對(duì)稱③當(dāng)時(shí)，曲線所圍成的面積小于④當(dāng)時(shí)，曲線上的點(diǎn)與距離的最小值等于1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題9．已知向量，，，則（

）A． B．在上的投影向量為C． D．向量共面10．已知圓，，則（

）A．在圓上存在點(diǎn)，使得B．在圓上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離為C．在圓上存在點(diǎn)．使得D．在圓上存在點(diǎn)，使得11．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為鈍角的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．若雙曲線與有相同的漸近線，且的焦距為8，則的方程為B．若，則的最小值是C．若內(nèi)切圓的半徑為1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為D．若線段的中垂線過點(diǎn)，則直線的斜率為第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，已知，，，用表示，則.13．已知圓，直線，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為.14．已知橢圓的右焦點(diǎn)是，直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為．四、解答題15．已知直線的方程為，求直線的一般式方程，滿足：(1)過點(diǎn)，且與平行；(2)過點(diǎn)，且與垂直.16．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，上的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．17．已知點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上，(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)，在上，且，證明：直線過定點(diǎn)．18．如圖甲，在平面五邊形中，∥，，，，為的中點(diǎn)，以為折痕將圖甲中的△折起，使點(diǎn)到達(dá)如圖乙中的點(diǎn)的位置，且.(1)證明：平面平面；(2)若過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，求點(diǎn)到平面的距離.19．如圖，定義：以橢圓中心為圓心、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過橢圓上一點(diǎn)作軸的垂線交其“伴隨圓”于點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”．已知橢圓上的點(diǎn)的一個(gè)“伴隨點(diǎn)”為．

(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．（?。┳C明：直線恒過定點(diǎn)；（ⅱ）記（ⅰ）中的直線所過的定點(diǎn)為，若在直線上的射影分別為（，為不同的兩點(diǎn)），記，，的面積分別為，求的取值范圍．參考答案：題號(hào)12345678910答案ABBCDBCCABDAB題號(hào)11答案BCD1．A【分析】根據(jù)直線平行列式求解，并代入檢驗(yàn)即可.【解析】由題意可得：，解得，若，則直線、，兩直線平行，綜上所述：.故選：A.2．B【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】由題意得橢圓焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過點(diǎn)0,2，所以，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．3．B【分析】需要先求出邊的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式來計(jì)算中線長(zhǎng).【解析】已知，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，中點(diǎn)的坐標(biāo)為.已知，，根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，.故選：B.4．C【分析】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，則點(diǎn)到距離的最小值即為直線與之間的距離，利用空間中點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解.【解析】如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，則點(diǎn)到距離的最小值即為直線與之間的距離，已知正方體棱長(zhǎng)為2，所以，設(shè)，所以，，設(shè)與共線的單位向量，所以點(diǎn)到的距離，令，則當(dāng)時(shí)，，所以直線與之間的距離為.故選：.5．D【分析】由題設(shè)得圓心軌跡為，且直線必過圓心，即直線與圓心軌跡有交點(diǎn)，利用點(diǎn)線距離求參數(shù)范圍即可得結(jié)果.【解析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，又圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心必在直線上，所以與有交點(diǎn)，則，解得，故的最大值為.故選：D6．B【分析】根據(jù)空間數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【解析】因?yàn)?，，所以，又，所以，即，即，所以，所?

故選：B7．C【分析】先分析兩圓的圓心和半徑，列出相交需滿足的條件，再求出公共弦所在直線的方程并表示出三角形面積，由此可計(jì)算出的值，注意檢驗(yàn).【解析】圓的圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑，由題意可知兩圓相交，且，所以；兩圓方程作差可得，即為公共弦所在直線的方程，令，則，令，則，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或滿足條件，故選：C.8．C【分析】對(duì)于①，設(shè)為曲線上的點(diǎn)，則將點(diǎn)代入驗(yàn)證即可判斷；對(duì)于②，將代入驗(yàn)證，即可判斷；對(duì)于③④，將曲線與單位圓進(jìn)行比較即可判斷.【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，曲線即，設(shè)為曲線上的點(diǎn)，則將點(diǎn)代入，方程不變，即曲線關(guān)于直線對(duì)稱，是軸對(duì)稱圖形，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，曲線即，設(shè)為曲線上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，將代入，即，化簡(jiǎn)得，即方程不變，故曲線關(guān)于中心對(duì)稱，②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，曲線即，設(shè)為該曲線上任一點(diǎn)，設(shè)為單位圓上任一點(diǎn)，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；不妨取為一定值，此時(shí)，則，即曲線所圍成的面積大于單位圓面積，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，曲線即，設(shè)為該曲線上任一點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，；設(shè)為單位圓上任一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，則，當(dāng)或時(shí)即可取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，故曲線上的點(diǎn)與距離的最小值等于1，④正確，故選：C【小結(jié)】難點(diǎn)小結(jié)：解答本題的難點(diǎn)在于④的判斷，解答時(shí)要注意結(jié)合單位圓進(jìn)行比較，即可求解.9．ABD【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)、投影向量求法、向量垂直的坐標(biāo)表示、向量共面的判斷方法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解析】對(duì)于A，，，，A正確；對(duì)于B，，在上的投影向量為，B正確；對(duì)于C，，與不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，共面，D正確.故選：ABD.10．AB【分析】求出判斷A；根據(jù)到直線的距離判斷B；轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系判斷C；求出垂直平分線與圓的交點(diǎn)判斷D.【解析】由可得，圓心，半徑，對(duì)于A.，因?yàn)?，所以，，所以在圓上存在點(diǎn)，使得，正確；對(duì)于B，的方程為，即，到的距離為，到直線的距離，而，所以在圓上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離為，正確；對(duì)于C，以為直徑端點(diǎn)的圓，圓心，半徑，，兩圓外離，兩圓沒有交點(diǎn)，所以在圓上不存在點(diǎn)．使得，錯(cuò)誤；對(duì)于D，垂直平分線方程為，直線與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，但是若為，時(shí)，，所以在圓上不存在點(diǎn)，使得，錯(cuò)誤.故選：AB.11．BCD【分析】根據(jù)共漸近線設(shè)雙曲線方程，結(jié)合雙曲線得性質(zhì)即可得雙曲線方程，從而判斷A；根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)換可得的最小值，從而判斷B；設(shè)內(nèi)切圓圓心為，直線與圓的切點(diǎn)分別為，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合與三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而判斷C；根據(jù)線段垂直平分線結(jié)合點(diǎn)差法確定直線與垂線斜率關(guān)系，并檢驗(yàn)直線是否符合即可確定直線斜率，從而判斷D.【解析】對(duì)于A，依題意設(shè)雙曲線（且），即，又的焦距為8，所以，，所以的方程為或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋裕?/p>

，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，直線與圓的切點(diǎn)分別為．

則，，，所以，，解得，，連接，則內(nèi)切圓半徑，，，，所以軸，點(diǎn)在第二象限，坐標(biāo)為?2,3，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，兩漸近線可寫成，設(shè)Ax1,y1，則，且，作差可得，整理得，即（*），在中，，則，故，即，將此式代入（*）得，，解得，由直線的傾斜角為鈍角知，則，故D正確．故選：BCD．12．【分析】先求出，再求出，即得解.【解析】又是的中點(diǎn),，，，.故答案為：.【小結(jié)】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.13．11【分析】先設(shè)C的對(duì)稱點(diǎn)根據(jù)斜率關(guān)系及中點(diǎn)在對(duì)稱直線上求出點(diǎn),再根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出距離和最小最后應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可.【解析】設(shè)圓心關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得即，連接，，所以，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)距離和最小為，故的最小值為.故答案為：11.14．/【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，利用已知條件結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，，，

由直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐及，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得，所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，將代入①得，即，所以，故答案為：15．(1)(2).【分析】（1）由與平行斜率相等，點(diǎn)斜式可求直線方程，再化為一般式方程；（2）由與垂直，斜率互為負(fù)倒數(shù)，點(diǎn)斜式可求直線方程，再化為一般式方程.【解析】（1）方法一：由題意的方程可化為，則的斜率為.由與平行，的斜率為，又過，由點(diǎn)斜式知方程為，即.方法二：由與平行，可設(shè)方程為，將點(diǎn)代入上式得，所求直線方程為.（2）方法一：由題意的方程可化為，則的斜率為.由與垂直，的斜率為，又過，由點(diǎn)斜式可得方程為，即.方法二:由與垂直，可設(shè)其方程為，將代入上式得，所求直線方程為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，可得和，計(jì)算其數(shù)量積即可得；（2）求出平面與平面的法向量后，借助法向量的夾角的余弦值得到面面角的余弦值.【解析】（1）由正方體性質(zhì)可得兩兩垂直，則可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，則，故；（2）設(shè)平面的法向量為n1=又，則，即，令，則可得，設(shè)平面的法向量為，又，則，即，令，則可得，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，取相同的值，得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)為一元二次方程，由韋達(dá)定理求得參數(shù)的值，得到直線的定點(diǎn).【解析】（1）將代入拋物線方程，解得，將代入拋物線方程，解得，將代入拋物線方程，解得，根據(jù)題意可知，∴的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）∵，∴，∴設(shè)直線，則聯(lián)立方程組得，即，∴，∴，∴，∴直線過動(dòng)點(diǎn).18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，再由面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到面的距離即可.【解析】（1）在平面五邊形中，∥，，所以四邊形是直角梯形，且，在直角中，，且，則，可得，從而是等邊三角形，平分.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)榍移矫妫云矫?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）取的中點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)S作垂直于點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妗善矫?，所以平面，又平面，則因?yàn)?，F(xiàn)是的中點(diǎn)，所以，又且平面，所以平面，由平面，則；又因?yàn)?，所以，則點(diǎn)O是的中點(diǎn)，又，所以，可得.以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，軸，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，則.由于平面，設(shè)可得，所以；由于點(diǎn)平面，所以，解得，即，由（1）可知，平面，所以點(diǎn)H到平面的距離為.19．(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）由橢圓過點(diǎn)，其伴隨圓過點(diǎn)列方程組即可求得橢圓方程；（2）（i）分直線的斜率不為0和為0兩種情況討論，直線的斜率不為0時(shí)可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求得直線恒過定點(diǎn)；（ii）法一：設(shè)直線的方程為，分別求出，則可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得的取值范圍；法二：表示，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得的取值范圍；法三：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)闄E圓E:x2a2+y2所以解得所以橢圓的方程為．（2）（?。┳C明：當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx聯(lián)立整理得，則，，，所以，直線的方程為，由橢圓的對(duì)稱性知，若存在定點(diǎn)，則必在軸上．當(dāng)時(shí)，，即直線恒過定點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，也過．綜上，直線恒過定點(diǎn)．（ⅱ）解：法一：由題意知的斜率存在且不為0，，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，B，，，由（?。┲?，則，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故的取?/p>