湖南省常德市沅澧共同體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)

高三第二次聯(lián)考（試題卷）數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，可求出集合，進(jìn)而與集合取交集即可.【詳解】由題意，，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法，考查集合的交集，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，命題“，”的否定“，”.故選：A.3.設(shè)，則的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】由函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，可得，.因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則.故，即.故選：A4.已知，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，利用復(fù)數(shù)的模公式可得解.【詳解】，則，所以.故選：B.5.若，向量與向量的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量定義計(jì)算即可.【詳解】由投影向量定義可知，在上的投影向量為.故選：C6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.7.關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出的草圖，由解出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】函數(shù)圖象如圖所示．若關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則即解得.故選：A．8.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)后求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式得到切線方程，然后求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，最后求出三角形面積即可；【詳解】由題意可得，所以，所以切線方程為，令，則，令，則，則三角形的面積為，故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少兩項(xiàng)是符合題目要求的．若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯(cuò)或不選得0分．9.若滿足對定義域內(nèi)任意的，都有，則稱為“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)不是“優(yōu)美函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用“優(yōu)美函數(shù)”的定義，舉例說明判斷A,C,D不是“優(yōu)美函數(shù)”，通過對數(shù)的運(yùn)算判斷B.【詳解】對于A，函數(shù)定義域?yàn)镽，取，則，則存在，使得，故A滿足題意；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ诙x域內(nèi)任意的，故B不滿足題意；對于C，函數(shù)定義域?yàn)镽，取，則，則存在，使得故C滿足題意；對于D，函數(shù)定義域R，取，則，則存在，使得故D滿足題意.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.是偶函數(shù)D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由最值求，由周期求，結(jié)合特殊點(diǎn)的三角函數(shù)值求，進(jìn)而可求函數(shù)解析式；將代入計(jì)算，得到最小值就可判斷；利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷為奇函數(shù)即可判斷；直接進(jìn)行伸縮變化即可判斷．【詳解】A．由圖可得，，，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，因?yàn)椋?，解得，故，故A正確；B．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最小值，的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；C．是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，故D正確，故選：ABD．11.已知函數(shù)是奇函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.，且，恒有C.函數(shù)在上的值域?yàn)镈.若，恒有的一個(gè)充分不必要條件是【答案】AD【解析】【分析】對A：根據(jù)奇函數(shù)定義運(yùn)算求解；對B：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)分析運(yùn)算；對C：根據(jù)單調(diào)性求值域；對D：根據(jù)單調(diào)性整理可得：，恒成立，結(jié)合一元二次不等式的恒成立問題分析運(yùn)算.【詳解】對于A：∵函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)?，則，解得，故A正確；對于B：由選項(xiàng)A可得：，對，且，則，可得，故，可得，則，即，故在上單調(diào)遞增，∴，且，恒有，故B錯(cuò)誤；對于C：∵，，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對于D：∵，恒有，且在上單調(diào)遞增，∴，恒成立，即，恒成立，當(dāng)時(shí)，則不恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.∵，∴，恒有的一個(gè)充分不必要條件是，故D正確；故選：AD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小值是__________．【答案】##【解析】【分析】由題知，進(jìn)而直接利用基本不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．所以，最小值為．故答案為：13.用半徑為的半圓形紙片卷成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的體積為__________．【答案】【解析】【分析】由題意知圓錐筒的母線長為2，設(shè)圓錐筒的底面半徑等于，則可計(jì)算圓錐筒的高，代入體積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知圓錐筒的母線長為2，設(shè)圓錐筒的底面半徑等于,則，，圓錐筒的高為：，這個(gè)圓錐筒的體積為;.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的體積公式，半圓的弧長與圓錐的底面周長之間的關(guān)系，屬于容易題.14.函數(shù)，已知在區(qū)間恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，然后由函數(shù)的零點(diǎn)列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，令，即恰有三個(gè)實(shí)根，三根為：①，k，∵，∴，∴無解；或，當(dāng)時(shí)，解得的范圍為，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的正弦值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出關(guān)于的二次方程，可解出的值，進(jìn)而可求得的面積；（2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，進(jìn)而可求得的正弦值.小問1詳解】由余弦定理得，整理得，即，因?yàn)?，解得，所?【小問2詳解】由正弦定理得：，所以，在三角形中，因?yàn)?，則，所以.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足．（1）求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）已知求，利用公式求解，進(jìn)而利用已知關(guān)系求即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和.【小問1詳解】由，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，也適合.綜上可得，.由，所以.【小問2詳解】由（1）知①②①②得，所以．17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，，，，，是棱的中點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線和平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在；或【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積為0即可證明線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；（2）求出直線與的方向向量，利用空間向量求異面直線的夾角即可；（3）求出平面的法向量，假設(shè)通過空間向量的線性運(yùn)算求得，利用已知條件列出等式求解即可得到的值，進(jìn)而可求的值.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，,,，且平面平面【小問2詳解】由（1）得，，異面直線與所成角的余弦值為．【小問3詳解】由（1）得，．設(shè)平面的法向量n=x,y,z由得，，令，則，設(shè)，．整理得，，解得或存在點(diǎn)或．18.如圖，已知橢圓過點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的方程；（3）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由弦長公式求得的方程；（3）將韋達(dá)定理代入中計(jì)算結(jié)果為定值.【小問1詳解】由題意得解得，故橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，由得，由，得，則.，解得或當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線方程為.【小問3詳解】直線，均不與軸垂直，所以，則且，所以為定值.19.已知是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：．【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類討論導(dǎo)數(shù)值正負(fù)即得.（2）把的根轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)求解.（3）由（1）的信息可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性即可推理得證.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒有，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.【小問2詳解】方程，當(dāng)時(shí)，方程不成立，則，令，依題意，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，作出函數(shù)的圖象，如圖：觀察圖象，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，由（1）