課時作業(yè)48 數(shù)學(xué)文化（教師版）

課時作業(yè)48數(shù)學(xué)化1．西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一，是一款非常實用的泡茶工具（如圖．西施壺的壺身可近似看成一個球體截去上下兩個相同的球缺的幾何體．球缺的體積為球缺所在球的半徑，為球缺的高）．若一個西施壺的壺身高為，壺口直徑為（如圖，則該壺壺身的容積約為（不考慮壺壁厚度，取A． B． C． D．【分析】依題意作出幾何體的軸截面圖，即可求出對應(yīng)線段的長，進(jìn)而求出球的半徑和球缺的高，再根據(jù)球的體積公式和球缺的體積求解即可．【解答】解：如圖作出幾何體的軸截面如下面所示，依題意，，為球心，為壺口所在圓的圓心，所以，因為，所以，且，，所以球的半徑，所以球缺的高，所以球缺的體積，所以該壺壺身的容積約為：．故選：．【小結(jié)】本題主要考查了球的體積公式，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題．2．《九章算術(shù)》是世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一顆璀璨明珠，書中《商功》有如下問題：今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，問積及為菽各幾何？其意思為：現(xiàn)將大豆靠墻堆放成半圓錐形，底面半圓的弧長為3丈，高7尺，問這堆大豆的體積是多少立方尺？應(yīng)有大豆是多少斛？主人欲賣掉該堆菽，已知圓周率約為3，一丈等于十尺，1斛約為2.5立方尺，1斛菽賣300錢，一兩銀子等于1000錢，則主人可得銀子兩A．40 B．42 C．44 D．45【分析】推導(dǎo)出，解得（尺，求出這堆大豆的體積（立方尺），由此能求出結(jié)果．【解答】解：現(xiàn)將大豆靠墻堆放成半圓錐形，底面半圓的弧長為3丈，高7尺，圓周率約為3，解得（尺，這堆大豆的體積（立方尺），（斛，主人欲賣掉該堆菽，則主人可得銀子：（兩．故選：．【小結(jié)】本題考查圓錐的體積的求法及應(yīng)用，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．3．如圖中陰影部分是一個美麗的螺旋線型圖案，其畫法是：取正六邊形各邊的三等分點，，，，，，作第2個正六邊形，然后再取正六邊形各邊的三等分點，、、，，，作第3個正六邊形，依此方法，如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，由△，△，構(gòu)成如圖陰影部分所示的螺旋線型圖案，則該螺旋線型圖案的面積與正六邊形的面積的比值趨近于A． B． C． D．【分析】分別計算出陰影部分面積和正六邊形的面積，即可求解．【解答】解：由外至內(nèi)設(shè)每個六邊形的邊長構(gòu)成數(shù)列，每個陰影三角形的面積構(gòu)成數(shù)列設(shè)，則，，．依此類推，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，又，所以，，．依此類推，，則數(shù)列的前項和，如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，則，此時，正六邊形的面積為，故該螺旋線型圖案的面積與正六邊形的面積的比值趨近于．故選：．【小結(jié)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．4．英國數(shù)學(xué)家亞歷山大艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數(shù)標(biāo)度單位．一個八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個等比數(shù)列．八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個音的頻率值構(gòu)成一個公比為的等比數(shù)列．已知音的頻率為，音分值為，音的頻率為，音分值為．若，則A．400 B．500 C．600 D．800【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項即可由指數(shù)運算求解．【解答】解：由題意可知，1200個音的頻率值構(gòu)成一個公比為的等比數(shù)列，設(shè)第一個音為，所以，所以，又因為，所以．故選：．【小結(jié)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．5．17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家馬林梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上，對為素數(shù)）型的數(shù)作了大量的研算，他在著作《物數(shù)學(xué)隨感》中斷言：在的素數(shù)中，當(dāng)，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時，是素數(shù)，其它都是合數(shù)．除了和兩個數(shù)被后人證明不是素數(shù)外，其余都已被證實．人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在型素數(shù)研究中所做的開創(chuàng)性工作，就把型的素數(shù)稱為“梅森素數(shù)”，記為．幾千年來，人類僅發(fā)現(xiàn)51個梅森素數(shù)，由于這種素數(shù)珍奇而迷人，因此被人們譽(yù)為“數(shù)海明珠”．已知第7個梅森素數(shù)，第8個梅森素數(shù)，則約等于（參考數(shù)據(jù)：A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【分析】根據(jù)題意可知，，，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，，．．故選：．【小結(jié)】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題．6．如圖所示，九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具，以金屬絲制成9個圓環(huán)，解開九連環(huán)共需要256步，解下或套上一個環(huán)算一步，且九連環(huán)的解下和套上是一對逆過程．九連環(huán)把玩時按照一定得程序反復(fù)操作，可以將九個環(huán)全部從框架上解下或者全部套上．將第個圓環(huán)解下最少需要移動的次數(shù)記為，已知，，按規(guī)則有，則解下第4個圓環(huán)最少需要移動的次數(shù)為A．4 B．7 C．16 D．31【分析】題意即為求出，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系和，，即可得出答案．【解答】解：由題意得，，，由解下第4個圓環(huán)可得，又，則，故選：．【小結(jié)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)列的遞推關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推能力和運算能力，屬于中檔題．7．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學(xué)思想方法，對時代的進(jìn)步起到了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，即（1）（2），，，此數(shù)列在現(xiàn)代物、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列，則的值為A．2698 B．2699 C．2696 D．2697【分析】首先求出數(shù)列的周期數(shù)，進(jìn)一步利用求和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由題意知：數(shù)列為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，，故該數(shù)列的周期為6，所以．故選：．【小結(jié)】本題考查的知識要點：數(shù)列的周期，數(shù)列的求和，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．8．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)化中的太極衍生原，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．已知該數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，記，，則數(shù)列的前20項和是A．110 B．100 C．90 D．80【分析】根據(jù)所給數(shù)列的項歸納出通項公式，利用分組求和法求和即可．【解答】解：觀察此數(shù)列可知，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，因為，所以數(shù)列的前20項和為：，故選：．【小結(jié)】本題考查數(shù)列的綜合運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9．中國古代數(shù)學(xué)家很早就對空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式．例如在推導(dǎo)正四棱臺（古人稱方臺）體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進(jìn)行求解．如圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．對應(yīng)的是正四棱臺中間位置的長方體；、、、對應(yīng)四個三棱柱，、、、對應(yīng)四個四棱錐．若這四個三棱柱的體積之和為12，四個四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺的體積為A．24 B．28 C．32 D．36【分析】根據(jù)給定條件，利用四棱錐、三棱柱的體積公式結(jié)合給定數(shù)據(jù)建立關(guān)系式，求出長方體的體積作答．【解答】解：如圖，令四棱錐的底面邊長為，高為，三棱柱的高為，依題意，四棱錐的體積，即，所以三棱柱的體積，即有，因此，于是長方體的體積，所以該正四棱臺的體積為．故選：．【小結(jié)】本題考查正四棱臺的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．10．我國歷史化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件物，其蓋似四阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底、長方形足、器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字．通高，口長，口寬，底長，底寬．現(xiàn)估算其體積，上部分可以看作四棱錐，高約，下部分看作臺體．則其體積約為2774.9（精確到．（參考數(shù)據(jù)：，【分析】根據(jù)題意，利用臺體、錐體的體積公式運算求解，即可得出答案．【解答】解：由題意得，，幾何體的體積．故答案為：2774.9．【小結(jié)】本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推能力和運算能力，屬于中檔題．11．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容．例如，用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）．步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標(biāo)記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好經(jīng)過點；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和步驟3，就能得到越來越多的折痕．圓面上所有這些折痕圍成一條曲線，記為．現(xiàn)有半徑為4的圓形紙片，定點到圓心的距離為2，按上述方法折紙，在上任取一點，為線段的中點，則的最小值為．【分析】分析可知曲線是以、為焦點，長軸長為4，焦距為2的橢圓，以所在直線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，求出曲線的方程，結(jié)合橢圓的有界性可求得的最小值．【解答】解：設(shè)點關(guān)于折痕的對稱點為點，由對稱性可知，且、、三點共線，如圖，以所在直線為軸，的中點為原點建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以，，所以，曲線是以、為焦點，長軸長為4，焦距為2的橢圓，則，可得，，則，所以，曲線的方程為，設(shè)點，，則，所以且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為．故答案為：．【小結(jié)】本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于中檔題．12．歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但在數(shù)學(xué)上作出做大的貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)用到了幾乎整個物領(lǐng)域．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)．在數(shù)論中，對于正整數(shù)，是不大于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，例如：（9），則．【分析】推導(dǎo)出與互質(zhì)的數(shù)有個，從而，由此能求出．【解答】解：與互質(zhì)的數(shù)為：1，2，4，5，7，8，10，11，13，，，，共有個，，．故答案為：．【小結(jié)】本題考查互質(zhì)的數(shù)、對數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．13．，，，，，是函數(shù)的圖