藝考生專(zhuān)題講義26 等比數(shù)列

考點(diǎn)26等比數(shù)列知識(shí)梳理1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，eq\f(an＋1,an)＝q．說(shuō)明：等比數(shù)列中沒(méi)有為0的項(xiàng)，其公比也不為0.(2)等比中項(xiàng)：如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab?G＝±eq\r(ab)．說(shuō)明：任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，但與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)．兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1．(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))3．等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,r)；(2)數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列；(3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數(shù)列(此時(shí){an}的公比q≠－1)．精講精練題型一等比數(shù)列基本運(yùn)算【例1】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，則S6＝(2)等比數(shù)列中，．記為的前項(xiàng)和.若，=________．(3)已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，又，，成等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為【答案】(1)﹣63(2)6(3)【解析】(1)設(shè)公比為，則，即，解得，所以，所以，故選:A.(2)設(shè)的公比，由可得，當(dāng)時(shí)，所以，即，此時(shí)方程沒(méi)有正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，所以，即，解得.故答案為：6.A． B． C． D．(3)由題意，設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，解?負(fù)值舍去)；又，，成等差數(shù)列，所以，即，則，解得，.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】（1）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)便可迎刃而解．(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).【舉一反三】1．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則公比______．【答案】【解析】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故由，可得，，兩式作比可得：，解得，即.故答案為：2．已知等比數(shù)列滿足且，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，所?故由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得.故答案為：3．已知在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)______.【答案】或【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，解得，所以，解得?當(dāng)時(shí)，，所以，即有；當(dāng)時(shí)，，所以，即有．故答案為：或.4．?dāng)?shù)列中，數(shù)列前項(xiàng)和為，若，，則________.【答案】1023【解析】因?yàn)?，，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：.題型二等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)【例2】(1)已知等比數(shù)列，，，則()A． B． C． D．1(2)等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)是()A． B．4 C． D．(3)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11等于()A．1 B．2 C．4 D．8【答案】(1)D(2)A(3)D【解析】(1)由題意得：，由，得，故，故選：D.(2)∵，，∴.又.∴與的等比中項(xiàng)是.故選：A.(3)因?yàn)閧an}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，由可得：．解得，所以，所以，關(guān)系存在D【舉一反三】1．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則()A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.故選：C.2．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則()A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足，則有，即，又由數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，故．故選：C．3．公差不為0的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則()A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】等差數(shù)列中,,故原式等價(jià)于解得或各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,故得到，數(shù)列是等比數(shù)列，故=16.故選：D.4．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.則()A．3 B．505 C．1010 D．2020【答案】C【解析】由，所以.故選：C5．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的值是()A．10 B．1000 C．100 D．10000【答案】D【解析】正項(xiàng)等比數(shù)列中，因?yàn)?，所以，即，，故?故選：D.6.在等比數(shù)列中，是方程的根，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意：，，故，，故，則.故選：A.7．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是()A． B． C． D．1【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，由，得，，在等比數(shù)列中，由，得，，，則．故選：D．題型三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)【例3】(1)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則t＝()A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則為()A．18 B．30 C．54 D．14(3)在等比數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．135 B．100C．95 D．80(4)已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，則().A．11 B．12 C．13 D．14【答案】(1)C(2)B(3)A(4)B【解析】(1)因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝(34+3t)﹣(33+3t)＝54，a3＝S3﹣S2＝(35+3t)﹣(34+3t)＝162，則有(27+3t)×162＝542，解得t＝﹣3，故選：C.(2)是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列，，，，則，，則.故選：B.(3)由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為40，公比為，所以a7＋a8＝.故選：A(4)由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，∴，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，∴，∵,∴解得，又前3項(xiàng)之積，解得，∴.故選:B.【舉一反三】1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則()A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【解析】，所以，解得.故選：2．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則()A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，所以，，成等比數(shù)列，所以，即，解得.故選：C3．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，則S12=A．40 B．60C．32 D．50【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6?S3，S9?S6，S12?S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9?S6，S12?S9是等比數(shù)列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，選B．4．已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則其偶數(shù)項(xiàng)為()A． B． C． D．【答案】D【解析】，設(shè)，則，所以，，故，故選D.5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6：S3=1：2，則S9：S3=()A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：3【答案】C【解析】∵{an}為等比數(shù)列則S3，S6-S3，S9-S6也成等比數(shù)列由S6：S3=1：2令S3=x，則S6=x,,則S3：S6-S3=S6-S3：S9-S6=-1：2則S9-S6=x則S9=則S9：S3=：x=3：4故選C．6．設(shè)，.若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為()A．3 B． C． D．【答案】D【解析】∵是與的等比中項(xiàng)，∴，∴.∵，.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.故選：D.7．已知等比數(shù)列中，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，對(duì)任意的，，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，可得，則.由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得.故選：A.8．已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足﹐則的值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得.故選：D.題型四等比數(shù)列的定義運(yùn)用【例4】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，.證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列與數(shù)列通項(xiàng)公式；【答案】證明見(jiàn)解析；；，【解析】，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比等比數(shù)列，所以，即，；由，解得，，所以【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】等比數(shù)列的判定方法定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列【舉一反三】1．已知數(shù)列滿足，，證明：是等比數(shù)列；【答案】見(jiàn)解析；【解析】由題意，數(shù)列滿足，所以又因?yàn)?，所以，即，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．2．在數(shù)列中，，，求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求關(guān)于的通項(xiàng)公式；【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】，∴為等比數(shù)列且首項(xiàng)為，公比為2，∴，.3．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，，判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析；【解析】∵，又是正項(xiàng)數(shù)列，可得，∴，∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，易知，故，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2.4．已知數(shù)列滿足：=1，.求證：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】設(shè)，則，∴∵，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即數(shù)列是等比數(shù)列題型五歷史中的數(shù)列【例5】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類(lèi)似問(wèn)題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的中間一層共有燈()A．3盞 B．9盞 C．27盞 D．81盞【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)塔的底層共有盞燈，則每層燈的數(shù)目構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有，解可得：，所以中間一層共有燈盞.故選：C【舉一反三】1．明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一座豐碑.其中有一段著述“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”.注：“倍加增”意為“從塔頂?shù)剿?，相比于上一層，每一層燈的盞數(shù)成倍增加”，則該塔正中間一層的燈的盞數(shù)為()A．3 B．12 C．24 D．48【答案】C【解析】根據(jù)題意，可知從塔頂?shù)剿?，每層的燈盞數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)塔頂燈盞數(shù)為，則有，解得，中間層燈盞數(shù)，故選：C.2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題(意為)：“有一個(gè)人要走里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了天后到達(dá)目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是()A．里 B．里 C．里 D．里【答案】A【解析】設(shè)這個(gè)人第天所走的路程為里，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得，.所以此人第天