藝考生專題講義28 數(shù)列求和

考點(diǎn)28數(shù)列求和知識(shí)梳理一．公式法1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2).2.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))二．裂項(xiàng)相消求和1.通項(xiàng)特征：通項(xiàng)一般是分式，分母為偶數(shù)個(gè)因式相乘，且滿足a是常數(shù)，2.解題思路錯(cuò)位相減法通項(xiàng)特征：一次函數(shù)*指數(shù)型函數(shù)解題思路分組轉(zhuǎn)化求和1.通項(xiàng)特征：或2.解題思路精講精練題型一裂項(xiàng)相消求和【例1】已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，∴，解得，當(dāng)時(shí)，由①可得，②，①－②：，∵，∴，∴，即∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴綜上所述，結(jié)論是：.(2)由(1)可得∴，綜上所述，.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見(jiàn)類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無(wú)理型；（3）指數(shù)型；（4）對(duì)數(shù)型.【舉一反三】1．已知，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和______.【答案】【解析】由，，所以數(shù)列{}前項(xiàng)和為.故答案為：.2．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)_____．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減，得，又，適合，所以所以所以．故答案為：3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列體的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為，∵，，∴，，解得，.∴.(2)由(1)得，，∴.題型二錯(cuò)位相減求和【例2】設(shè)數(shù)列?的前項(xiàng)和分別為?，且，，(1)求數(shù)列?的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合，故.由得，得，當(dāng)時(shí)，，得，又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.綜上所述：，.(2)，所以，所以，所以，所以，所以.【舉一反三】1．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，①得，②①②，得，所以，又，，所以，，，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.(2)由(1)得，，所以，③，④③④得，，所以.2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，且，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得，，，故，，故，即是為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故；(2)由(1)知，，設(shè)的前項(xiàng)和，，，作差得，，即，，化簡(jiǎn)得，故的前項(xiàng)和為.3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2).【解析】(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且①，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，②，①-②得：，故：(常數(shù))，所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.所以，(首項(xiàng)符合通項(xiàng))，故：.(2)所以，，兩式相減得，，因此.4．已知遞增數(shù)列滿足，，且是方程的兩根，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)因?yàn)榉匠虄筛鶠榛?，又?是方程的兩根，數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，，設(shè)公差為，則，解得，..對(duì)于數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，整理得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，(2)，數(shù)列的前項(xiàng)和，，......兩式相減可得......，.題型三分組求和【例3】已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；；(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴.又，∴，∵數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，∴，∴；(2)由題意得，.【舉一反三】1．設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，，，即，的通項(xiàng)公式.(2)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，，數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．已知等比數(shù)列中，且是和的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足求的前n項(xiàng)和【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，又則由于是和的等差中項(xiàng)，得，即，解得所以，(2)3．在公差不為0的等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為65，、、成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為()，因?yàn)榍?0項(xiàng)和為65，所以，因?yàn)?、、成等比?shù)列，所以，即，聯(lián)立，解得，，故.(2)因?yàn)?，，所以，則，故.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，由，①得，②①-②，得，又，∴，∴，∴是等比數(shù)列，∴(2)由，則，則．題型四倒序相加求和【例4】已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為()A． B．33 C． D．34【答案】A【解析】函數(shù)滿足，①，②，由①②可得，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前10項(xiàng)和為.故選：A.【舉一反三】1．已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為()A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【解析】函數(shù)滿足，①，②，由①②可得，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為．故選：D．2．已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為()A．100 B．105 C．110 D．115【答