藝考生專題講義13 冪函數(shù)

考點(diǎn)13冪函數(shù)知識(shí)梳理一．冪函數(shù)的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，α為常數(shù)．冪函數(shù)的特征(1)自變量x處在冪底數(shù)的位置，冪指數(shù)α為常數(shù)(2)xα的系數(shù)為1(3)只有一項(xiàng)二．五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1圖象定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(－∞，0)減，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)減公共點(diǎn)(1，1)精講精練題型一冪函數(shù)的概念例1下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是________．y＝2x ②y＝2x ③y＝x2 ④y＝答案③解析根據(jù)冪函數(shù)的定義y＝xα，α是常數(shù)，得出y＝x2是冪函數(shù)，y＝2x、y＝2x、y＝不是冪函數(shù)．舉一反三下列函數(shù)：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中冪函數(shù)是________．答案②④解析根據(jù)冪函數(shù)的定義y＝xα，α是常數(shù)，得出②④是冪函數(shù)，例2已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(9，3)，則f(2)－f(1)＝________．答案解析設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xa，它的圖象經(jīng)過(9，3)，所以3＝9a，∴a＝，冪函數(shù)為f(x)＝，所以f(2)－f(1)＝舉一反三函數(shù)y＝(m2－m+1)是冪函數(shù)，且f(－x)＝f(x)，則實(shí)數(shù)m的值為________．答案1解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2－m+1)是冪函數(shù)，所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．因?yàn)閒(－x)＝f(x)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)m＝0時(shí)，冪函數(shù)為y＝x－3．函數(shù)表示奇函數(shù)，當(dāng)m＝1時(shí)y＝x－4．函數(shù)是偶函數(shù)．方法總結(jié)(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．(2)若冪函數(shù)y＝xα(α∈R)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù)．當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷．題型二冪函數(shù)的圖象例3下圖給出4個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)的大致對(duì)應(yīng)是()答案①②③④解析圖①說明函數(shù)定義域?yàn)镽，有，且觀察圖象可知圖②為，則圖①為；又圖③中函數(shù)定義域?yàn)?，所以其?duì)應(yīng)，綜上可知：①②③④.舉一反三下列命題中正確的是________．冪函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)(0，0)和點(diǎn)(1，1)若函數(shù)f(x)＝xn是奇函數(shù)，則它在定義域上單調(diào)遞增冪函數(shù)的圖象上的點(diǎn)一定不在第四象限冪函數(shù)的圖象不可能是直線答案③解析冪函數(shù)y＝x－1的圖象不過點(diǎn)(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，于是①，②都不正確．冪函數(shù)y＝x的圖象是直線，④不正確．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝xα>0必成立，所以，冪函數(shù)的圖象上的點(diǎn)一定不在第四象限，答案為③．方法總結(jié)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α>0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α<0.熟記5個(gè)簡單冪函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．題型三冪函數(shù)有關(guān)的大小比較問題例4已知，則a，b，c從小到大用“﹤”號(hào)排列為．答案解析因?yàn)閮绾瘮?shù)在單調(diào)遞增，且，所以，即.又，又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，因此.舉一反三設(shè)，則的大小關(guān)系是________．答案a>c>b解析因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以.方法總結(jié)同底數(shù)的兩個(gè)數(shù)比較大小，考慮用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．同指數(shù)的兩個(gè)數(shù)比較大小，