2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：解三角形（中線問(wèn)題）（學(xué)生版+解析）

專題04解三角形（中線問(wèn)題）（典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................1

方法一：向量化（三角形中線向量化）......................1

方法二：角互補(bǔ)........................................3

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................14

一、必備秘籍

1、向量化（三角形中線問(wèn)題）

如圖在AA5c中，。為CB的中點(diǎn)，2通=/+麗（此秘籍在解決三角形中線問(wèn)題時(shí),

高效便捷）

2、角互補(bǔ)

ZADC+ZADB=7r=>cosZADC+cosZADB=0

二、典型題型

方法一：向量化（三角形中線向量化）

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）記AABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

2&cosBcos2C=a-2ccosCcos2B.

⑴求/R4C.

⑵若匕+c=8,且邊BC上的中線AO=色，求AASC的面積.

2

2.(23-24高一下?云南?階段練習(xí))在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且

bcosA+y/3bsinA=a+c■

(1)求角8；

⑵若AASC的中線BD=2,求AASC面積的最大值.

3.(23-24高一下?廣西河池?階段練習(xí))如圖，在AABC中，已知

AB=2,AC=5,/BAC=60°,3C,AC邊上的兩條中線AM,8N相交于點(diǎn)P.

(1)求AM的長(zhǎng)度；

⑵求NMPB的正弦值.

4.(23-24高一下?廣東深圳■階段練習(xí))在“LBC中，滿足c+J^asin8-b-acos3=0.

⑴求A；

(2)若。=2/歷，邊BC上的中線4)=近，設(shè)點(diǎn)。為44BC的外接圓圓心.

①求AABC的周長(zhǎng)和面積：

②求而?而的值.

5.(2024?遼寧撫順?三模)在AASC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c,a=2,sinA=1-cosA.

⑴求cosA；

(2)若為AABC的中線，且求AABC的面積S.

方法二：角互補(bǔ)

1.(23-24高一?全國(guó)?隨堂練習(xí))如圖，已知AM是44BC中BC邊上的中線.求證:

AM=1^2[AB2+AC2)-BC2.

A

/\

B

MC

△ABC的面積等于.

3.（22-23高一下?河北?階段練習(xí)）已知AABC的內(nèi)角A,的C的對(duì)邊分別為mb,c,若a=8,

b=6,c=4,則中線A。的長(zhǎng)為.

4.（22-23高一下?四川攀枝花?期末）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,且

滿足a=2,Z?sinB+csinC-2sinA=Z?sinC,則/A=；AABC的中線AD的最大

值為.

5.（22-23高一下?山東淄博?期中）已知在44BC中,AO為BC邊上的中線，且現(xiàn)》=2,AD=4,

則cos/BAC的最小值為.

6.（22-23高一下?河南焦作?期中）已知在△ABC中，為3c邊上的中線，且8C=AD=4,

則cos/BAC的取值范圍為.

7.（21-22高一?全國(guó)?課后作業(yè)）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且。=2,

acosB-bcosA+b=c,則8c邊上的中線A￡）長(zhǎng)度的最大值為

8.（22-23高一下?遼寧大連?期中）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a",c,c=26,

2sinA=3sin2C.

Q）求sinC；

（2）若AABC的面積為6板，求AB邊上的中線CD的長(zhǎng).

9.(22-23高一下?湖北武漢?期中)在銳角三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為

b,c,已知qsinA+6sin3=csinC+06sinA.

(1)求角C的大??；

⑵若c=2,邊A8的中點(diǎn)為。，求中線C。長(zhǎng)的取值范圍.

10.(22-23高一下?湖南長(zhǎng)沙?期中)在銳角AASC中，角A3,C的對(duì)邊分別是。，b,c,

v2c-bcosB

>PJ=

acosA

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求中線AO長(zhǎng)的范圍(點(diǎn)。是邊3c中點(diǎn)).

專題04解三角形（中線問(wèn)題）（典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................1

方法一：向量化（三角形中線向量化）......................1

方法二：角互補(bǔ)........................................3

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................14

一、必備秘籍

1、向量化（三角形中線問(wèn)題）

如圖在AABC中，。為CB的中點(diǎn)，2通=衣+麗（此秘籍在解決三角形中線問(wèn)題時(shí)，

C

2、角互補(bǔ)

ZADC+ZADB=7r=>cosZADC+cosZADB=0

二、典型題型

方法一：向量化（三角形中線向量化）

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）記AABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

2&cosBcos2C=a-2ccosCcos2B.

⑴求/5AC.

⑵若b+c=8,且邊5c上的中線AZ）=?,求AABC的面積.

2

2元

【答案】（1）NBAC=1

,9J5A/3

4

【分析】（1）利用正弦定理及三角公式求cosNZMC=-;，根據(jù)角的范圍可得/BAC

（2）根據(jù)余弦定理可得6c=15,根據(jù)面積公式求解可得

【詳解】（1）由已知條件及正弦定理，得2sin5cosB?cos2C=sinABAC-2sinCcosCcos2B.

整理，得sin25cos2C+sin2Ccos2B=sinABAC,

即sin（2B+2C）=sinZBAC.

XZB+ZC=K-ZBAC,

所以—sin2NBAC=sinZBAC,

即—2sinNBACbosNBAC=sinZBAC.

因?yàn)閟inNBACwO,所以cosZBAC=--.

2

又/BACe（O,7i）,所以447=,.

（2）由題意得，2通=通+正，

=AB2+AC2+2AB-AC'

27r

BP19=c2+b2+2cbeos—=（b+c）2-3bc=64-3bc,

所以歷=15.

故S.ABC=-bcsinZBAC=-xl5xsin—=

2234

2.（23-24高一下?云南?階段練習(xí)）在AABC中，角A3,C的對(duì)邊分別是〃也。，且

bcosA+yfibsinA=a+c.

(1)求角3；

(2)若“WC的中線BD=2,求44BC面積的最大值.

【答案】(1)B=

⑵拽

3

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式即可求解;

(2)將前=；(麗+前)兩邊平方，結(jié)合基本不等式和面積公式可解.

【詳解】(1)因?yàn)?cosA+百匕sinA=a+cJ

由正弦定理可得sinBcosA+VSsinBsinA=sinA+sinC,

在AABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sinAw0,

所以sinBcosA+A/3sinBsinA=sinA+sinAcosB+cosAsinB,

整理得百sin5-cosB=2sinf

=1,

所以sin13-聿因?yàn)樨?，B-7G|

2Okoo

所以=B=g.

663

(2)因?yàn)锳ABC的中線比＞=2,B=j,

—.1—.—.

因?yàn)槿f(wàn)(BA+BC),

所以|加|2=-(BA2+BC2+2BA?BC)=-(c2+a2+2accosB)=-(a2+c2+ac),

444

即4、；(2ac+ac),可得當(dāng)且僅當(dāng)a=c=逑時(shí)取等號(hào)，

433

所以AABC的面積S=—?csinB^—x—x—=,

22323

所以AABC面積的最大值為逑.

3

3.(23-24高一下?廣西河池?階段練習(xí))如圖，在AABC中，已知

AB=2,AC=5,ABAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P.

(1)求AM的長(zhǎng)度;

（2）求NMPB的正弦值.

【答案】（1）叵

2

,、,5同

⑷---------

91

【分析】（1）根據(jù)AM是中線，由加=；（而+質(zhì)?）求解；

（2）易知4ffB為向量麗，麗的夾角成，而，然后利用平面向量的夾角公式求解.

【詳解】（1）解：因?yàn)锳M是中線,

所以痂=](南+記)，

22

所以加2=l^AB+2AB-AC+ACj=^4+2-2-5-1+25^=y,

貝阿二?

（2）由圖象知：4ff>3為向量宙,而的夾角畫(huà)7，麗,

因?yàn)楦?初-麗=超-工界,

2

22

所以防2=荏_麗="三回=AB-AB-AC+^AC,

,cl12521|―dV21

=4-2-5--+—=—,則rtl網(wǎng)=；-,

XW-TVB=1(AB+AC)^AB-1AC^=^AB2+|AB-AC-|AC2

麗?麗-3__4_

cosNMPB=cosAM,NB=

所以|AM|-|A?|A/39V21一回，

~22~

因?yàn)?MP3e(O,7i),

5>/273

所以sinNMPB=

91

4.（23-24高一下?廣東深圳?階段練習(xí)）在AABC中，滿足c+V^asin8-匕-acos8=0.

（1）求A；

（2）若。=2如，邊BC上的中線A￡）=近，設(shè)點(diǎn)。為AABC的外接圓圓心.

①求MlfiC的周長(zhǎng)和面積：

②求X5?亞的值.

【答案】⑴4=亨;

（2）①周長(zhǎng)為10+2M，面積為6百；②13.

【分析】（1）由已知及正弦定理邊化角，借助和角的正弦理解即得.

（2）①由中點(diǎn)向量公式、余弦定理、三角形面積公式列式計(jì)算即得；②邊4氏AC的中點(diǎn)

分別為M,N,利用數(shù)量積的運(yùn)算律并結(jié)合圓的性質(zhì)計(jì)算即得.

【詳解】（1）在44BC中，由c+,asin2-6-acos2=0及正弦定理，得

sinC+A/3sinAsinB-sinB-sinAcosB=Q，

而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,則cosAsin2+班sinAsinB-sinB=0,

顯然sin3>0,因此1-cosA=指sinA,（1-cosA）2=3sin2A=3（1-cos2A）,

貝!JO<A<TU,得一1<COSA<1,解得cosA=-工，

2

所以A=與27r.

（2）①由邊BC上的中線=得荏+配=2而，兩邊平方得

AB2+AC2+2AB-AC=4AD'

27r

貝ijb2+c2+2bccos=28,BPb2+c2-be=28

仿2+=52

在AABC中，由余弦定理a?="+02-2bccosA,得〃+/=76,解得《，

[be=24

因此6+c=10/c=24,所以AABC的周長(zhǎng)為10+2&?,面積為:besin等=6石.

②令邊AB,AC的中點(diǎn)分別為M,N,由點(diǎn)。為445C的外接圓圓心，得

AOAB=（AM+MO）AB=AMAB=^AB=^c2,

121

AOA￡：=（AN+NdyAC=ANAC=-AC=-Z?2,

所以IS.而=而\（而+/）=J芯.屈+g荷.正=：卜2+萬(wàn)2）=]3.

5.（2024?遼寧撫順?三模）在AABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c,a=2,sinA=1-cosA?

（1）求cosA；

（2）若AO為445C的中線，且=求AABC的面積S.

2

【答案】（l）cosA=-

2

【分析】（1）根據(jù)題意，得到占cos4=sind,結(jié)合sin24+cos2g=l,求得cos2g=。，

5222226

結(jié)合余弦的倍角公式，即可求解；

（2）由（1）得到sinA=@，根據(jù)荏+正=2而，求得廿+。2+（歷=12,再由由余弦

33

定理得至[]^+。2-：慶=4,求得a=3,結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】（1）解：由S^sinA=1-cosA,可得^后sinAcosa=2sin??■,

55222

因?yàn)?<A<TT,可知sing*。，所以@cos4=sind,

2522

AAA5

又因?yàn)閟in?—Feos2—=1,聯(lián)立方程組得cos?—=—,

2226

A2

所以cosA=2cos21=—.

23

（2）解：由（1）知cosA=|,可得sinA=Jl-cos2A二手,

因?yàn)锳O為AA3C的中線，且4。=石，所以:W+衣=2布，

4

兩邊平方得k+，+耳歷=12,

又由余弦定理得b2+c2-2bccosA="=4,BPb2+c2-^bc=4,

兩式相減，可得bc=3,所以S=」bcsinA=，x3x.

2232

方法二：角互補(bǔ)

1.（23-24高一?全國(guó)?隨堂練習(xí)）如圖，已知AM是AABC中BC邊上的中線.求證：

AM=-^2（AB2+AC2）-BC2.

A

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)NAMB+NAMC=7t這一等式，利用余弦定理進(jìn)行證明即可.

【詳解】因?yàn)锳M是AABC中邊上的中線，

所以3M=MC=；3C,

因?yàn)镹AMB+NAMC=7i,所以

ZAMB=7i-ZAMCncosZAMB=COS(TI-ZAMC)=>cosZAMB=-cosZAMC

AM2+BM2-AB2AM2+CM2-AC2

ncosZAMB+cosZAMC=0n--------------------------------1---------------------------------=0,

2AMBM2AMCM

22

1

AM2+\-BCI-AB2AM-+\-BC|-AC2

<2)(2

=>+------二0

2AM-BM2AMBM

-AB2+AM2-AC2=0

n2AM2=AB2+AC2--BC2^>4AM2=2AB2+2AC2-BC2

2

=>AM=|^AB2+AC2）-BC2.

2.（23-24高三上?北京西城?階段練習(xí)）在AABC中，a=l,5iABC=6^3,cosB———.

⑴求b;

⑵求AC邊上的中線.

【答案】⑴8

⑵舊

【分析】（1）計(jì)算sinB=tm,根據(jù)面積公式得到c=3,再利用余弦定理計(jì)算得到答案.

7

（2）。是AC中點(diǎn)，連接50,根據(jù)余弦定理結(jié)合加出+/85=兀計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)樨＃?，cos3=—故sin5=W，

所以=；acsin5=^x^^=6\/§\解得c=3,

22

故/=a+c_26/ccosB=49+9-2x3x7xf-yj=64,故Z?=8.

(2)如圖所示，。是AC中點(diǎn)，連接

42+BD2-3242+BD2-72

cosZADB=---------------,cosZCDB=------------------,NADB+NCDB=冗,

2x4x5。2x4x3。

故不+必一3、/+即y,解得8。=屈，即AC邊上的中線為相.

2x4x3。2x4x3。

3.(2024?湖南益陽(yáng)?一模)在①吧4+吧0+1=幺；②(a+2Z?)cosC+ccosA=0；③

sinBsinAab

島sin4?=csinA,這三個(gè)條作中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在AABC中，

角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且一.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若c=4,求AB的中線8長(zhǎng)度的最小值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)這

3

【分析】(1)若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用余弦定理即可求得答案；若選

②，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，求得答案；若選③，則根

據(jù)正弦定理，邊化角，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式化簡(jiǎn)，求得答案；

(2)根據(jù)/AZ)C+/3Z)C=萬(wàn)可得cosNADC+cosNJ3L>C=0,利用余弦定理得到

2CD2=a2+b2-S,在三角形ABC中，由余弦定理求得/+尸,即可求得答案.

【詳解】(1)選擇條件①：由電工+包包+1=且及正弦定理，得：-+-+1=—,

sinBsinAabbaab

^a2+b2-c2=-ab，由余弦定理，得cosC/「+"一￡=衛(wèi)」,

2ablab2

27r

因?yàn)?<C<〃，所以c=7；

選擇條件②：由(。+233$。+*054=。及正弦定理，

得：(sinA+2sinB)cosC+sinCcosA=0,

即sinAcosC+cosAsinC=—2sinBcosC.

即sin(A+C)=-2sinBcosC.

在AABC中，A+B+C=71,所以5皿(4+。)=5111(〃-3)二5m5,

即sin5=-2cosCsinB,因?yàn)?<J5<?,所以sin3wO,所以cosC=-;,

因?yàn)?<C<?,所以C=號(hào)2TC；

選擇條件③：由6公由4竿=八皿4及正弦定理，

得：出sinAsin土辿=sinCsinA,

2

因?yàn)镺vAv?,sinAwO,所以百sin*；，=sinO.

A+5C

在AABC中，A+B+C=TI,貝！Jsin-------=cos—,

22

故GcosC=2sin—cos—.

222

因?yàn)?。vC<?,所以cosCwO,貝！JsinC=正，

222

故c=g；

(2)因?yàn)閆A￡)C+N3r)C=),所以4+8—2+4+0-—=0,

2x2xCD2x2xCD

整理得2cQz.+by，

O■rr

在三角形ABC中，由余弦定理得4?=〃+〃一2。6cos'=〃+〃+.

3

因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)取等號(hào)，

2

所以16=〃+"+a64a2+匕2+g(q2+62)='(。2+/)，即“2+/2,,

所以2c￡>2=/+從-82%一8=§,即C0>氈，

33一3

即。長(zhǎng)度的最小值為拽.

3

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（23-24高一下?山東煙臺(tái)?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，已知AB=2AC=4,Zfl4C=60°,

AB,BC邊上的中線CE,AB交于點(diǎn)，則cos/皮歷'=

c

F

a

A-------E---------B

【答案】立

14

【分析】由題意知，以衣和血作為基底來(lái)表示淳和屈，NEZ*即為看和近的夾角,

再結(jié)合平面向量數(shù)量積運(yùn)算及向量的夾角的求法求解即可.

【詳解】因?yàn)?C、邊上的兩條中線CE,A尸交于點(diǎn)。，

所以質(zhì)」由+確，CE=CA+AE=-AC+-AB,

22

又AB=4,AC=2,ZBAC=60°,

則苑.血=2x4x；=4,|AF|=17AC2+AB2+2AC-AB=5/7,

|CE|=AC2AB2-AC-AB=2,

貝用在=」/2+工箱」正.通=1,

244

AFCE_1—不

cos/EDF=

網(wǎng)詞一夕x2一14.

故答案為：

2.（23-24高一下?重慶渝中?階段練習(xí)）在44BC中，角A,氏C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知

c=1,2sinAcosB=asinA-bsinB+—Z?sinC,若AD為8C邊上的中線，且cos/BAD='，則

48

AASC的面積等于

【答案】乎//

【分析】將條件式2sinAcosB=asinA-加inB+與sinC,利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦

4

定理求得人以A仇AC為鄰邊做平行四邊形ABEC,在44BE中，利用余弦定理求得AE,

所以S.ABCUSAABE，得解；方法二，設(shè)40='80=0。=丫，在中由余弦定理得

y2=l+x2-^-x,XZADB+ZADC=n,由余弦定理可得廠:KT+x一+）-T6,解得

42xy2xy

AD,后面同解法一.

11

【詳解】由2sinAcosB=asinA—bsinB+—bsinC,^2acosB=a2-b2+—bc,

44

.a2+c2-b2

=a2-b2+—bc，

4

注意c=l,^a1+c2-b1-b1+—bc,得b=4c=4,

4

記ZBAD=8,由cos6=』，知sin。=9,

88

如圖，以A8,AC為鄰邊做平行四邊形WC,

在AABE中：16=3￡2=E+AE2-2X1XAEX、，gp4AE2-AE-60=0,

8

得AE=4,所以5..=久的￡=；4叢4石。畝6=平，

故答案為：迎.

4

法⑵：設(shè)?=x"SC=y,在中：①

因?yàn)镹AZ)3+NADC=7i:,則COS/AD8+COSNADC=0,

由余弦定理可得廠一1+廠+>-T6=0,得②

2xy2xy2

i17

聯(lián)立①②知：X2——x+l=——X2,即8x2—%—30=0,解得了=2,后面同上.

故答案為：近

4

3.(22-23高一下?河北?階段練習(xí))已知AABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=8,

b=6,c=4,則中線AD的長(zhǎng)為.

【答案】M

【分析】在和AACD中利用余弦定理建立方程求解即可.

【詳解】如圖，由余弦定理得AB。uADjoB?_2A￡).￡)BCOSNAD3,

AC2AD2+DC2-2AD-DCcosZADC,XcosZADB=-cosZADC,

兩式相加得AB2+AC2=2AD2+DB-+DC2，即4?+6?=2AD2+42+42,化簡(jiǎn)得2A。?=20,

所以A￡>=癡.

A

故答案為：VW

4.（22-23高一下?四川攀枝花?期末）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且

滿足a=2,/?sinB+csinC-2sinA=Z?sinC,則NA=；AABC的中線AD的最大

值為.

TT

【答案】1/60°g

【分析】空1：根據(jù)題意結(jié)合正、余弦定理運(yùn)算求解；空2：根據(jù)基本不等式可得反W4,

結(jié)合向量的運(yùn)算求解.

【詳解】空1：因?yàn)?sin3+csinC-2sinB=6sinC,由正弦定理可得因+c>-q2=加,

Z,2,_nbe_1

由余弦定理可得cosA=

2bc2bc~2

且4?（0,兀），所以A=全

空2：因?yàn)閆?2+。2_[2=Oc,可得〃++4,

由/+02=歷+4>2尻，當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2時(shí)，等號(hào)成立，所以從《4,

又因?yàn)锳D為AABC的中線，則茄=1（通+41）,

uu?i21/Ulinuumx2i/uimuunuumug

可得AT>+=2+2ABAC+ACc2+2hccosA+〃)

=：[2卜2+/）-4]=*。+2）<3'

Iuun?

所以只。卜,，即中線A。的最大值為Q.

故答案為：y幣.

5.（22-23高一下?山東淄博?期中）已知在AABC中,AD為邊上的中線，且班>=2,AD=4,

則cosN54c的最小值為.

【答案】13/0.6

【分析】在和AACD中，分別用余弦定理建立關(guān)系，并求得44+402=40,再在

△ABC中利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解作答.

【詳解】依題意，CD=BD=2,AD=4,如圖，

A

在△ABO中，由余弦定理得AB?=AD2+BD22AD.BDCOSZADB=20-16COSZADB,

在AACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDCOSZADC=20-16cosZADC,

ffi]ZADB+ZADC=7i,KPcosZADB+cosZADC=0,

兩式相力口得43?+Ac?=40,2AB-AC<AB2+AC2=40,當(dāng)且僅當(dāng)A3=AC=2岔時(shí)

取等號(hào)，

AB2+AC2-BC240-42243

在AABC中,cosABAC=-------------2-----——

2ABAC2AB-AC_405

3

所以cosABAC的最小值為亍

一,3

故答案為：—

6.（22-23高一下?河南焦作?期中）已知在△ABC中，AD為3c邊上的中線，且BC=AT>=4,

則cos/BAC的取值范圍為.

【答案】［1,D

【分析】分別在△ABD和AACD中，禾U用余弦定理得至UAB?=20—8-os/4D3,AC2

=20-8-cos/ADC,根據(jù)/ADB+NADC=7T,兩式相加得到AB?+AC?=40,然后利用余

弦定理結(jié)合基本不等式求解.

【詳解】解：如圖所示：

在△ABO中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB,

=20-8-cosZADB,

在AACD中，由余弦定理得AC-=AD2+CD2-2ADCD-cosZADC,

=20-8-cosZADC,

因?yàn)镹AD3+NADC=7I,所以COSNAD3+COS/ADC=0,

兩式相力口得AB2+AC2=40,貝l|2ABAC<AB2+AC2=40,

當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=2退時(shí)，等號(hào)成立,

■十人仁一叱40-163

所以cosA=>------=-

2ABAC405

因?yàn)锳w（0,7l）,

3

所以COSAE1/),

3

故答案為：1』)

7.(21-22高一?全國(guó)?課后作業(yè))在“BC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,且Q=2,

acosB-bcosA-^-b=c9則邊上的中線A。長(zhǎng)度的最大值為

【答案】73

【分析】利用正弦定理將條件進(jìn)行變形，結(jié)合三角形內(nèi)角之和為兀，可求得cosA,設(shè)AD=

x,由cosNAOB+cosNA￡)C=0,由余弦定理建立方程可得2/+2=。2+/,,利用基本不等式

可得〃+。2的取值范圍，從而求得工的取值范圍.

【詳解】因?yàn)閍cos5->cosA+b=c,

由正弦定理可知：sinAcosB-sinBcosA+sinB=sinC,

又因?yàn)锳+B+C=n,所以sinC=sin(A+5)=sinAcos3+cosAsin3,

則2cosAsinB=sinB,又由于B^(0,n),所以sinB>0,

1_-TT

所以COSA=5，因?yàn)锳￡(O,TI),所以A=],

設(shè)AO=x,又DB=DC=1,

2222

rii_rri_z,

在AADB,△AOC中分別有：COSZADB=--------,cosZADC=---------,

2x2x

又由于cosZADB+cosZADC=0,所以2/+2=b2+c2,

在△ABC中，a2=b2+c2—2Z?ccosA?即4=〃+/-be,

方2「2

因?yàn)?2+c222bc,所以4=/+/-be2-----,從而厲+448,

2

所以2N+248,解之得xwg,（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）,

所以5c邊上的中線長(zhǎng)度的最大值為6，

故答案為：石.

8.(22-23高一下?遼寧大連?期中)在AASC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,c=2b,

2sinA=3sin2C.

⑴求sinC；

⑵若AABC的面積為6-，求AB邊上的中線C￡>的長(zhǎng).

【答案】⑴恒

4

（2）2A/7

【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出

結(jié)果；

（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關(guān)結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量

的線性表示出麗，最后利用求模公式即可求邊上的中線8的長(zhǎng).

【詳解】（1）因?yàn)?sinA=3sin2C,

所以2sinA=6sinCeosC,

所以2a=6ccosC,

即a=3ccosC,

所以cosC=—,

3c

由余弦定理及c=?得:

22222

cose*1a+b-4ba-3b

2ab2ab2ab

a

又cosC=-=一,

3c6b

a2-3b2

所以=-n2〃2=9b2,

lab6b

即〃=逑》,

2

3V2.

所以-a

cosC=——

6b6b

_V14

所以sinC=A/1-COS2C=

一丁’

恒=66,

（2）由S.”=—absinC=［倉(cāng)必b

AADC224

所以浦=24夜,

、3A/2

由（1）a=-----h,

2

所以6=4,a=