2024-2025學年滬教版九年級數(shù)學上學期期中必刷易錯、壓軸60題（原卷版）

期中真題必刷易錯、壓軸60題（12個考點專練）

一.比例的性質(zhì)（共2小題）

1.（2023秋?靜安區(qū)校級期中）如果a:b=4:7,那么下列四個選項中一定正確的是（）

A.7。=4bB.（b-a）:a=3:1C.4a=7bD.b-a=3

2.（2023秋?閔行區(qū)期中）若'=2=三/0,那么…-2z=_.

235x+2y

二.黃金分割（共3小題）

3.（2023秋?崇明區(qū)期中）已知M是線段池上的黃金分割點，且那么下列各項正確的是（）

AM^5-1AMA/5-1

'2'MB"2

C.些=避二1D.3M是AM與筋的比例中項

AB2

4.（2023秋?靜安區(qū)校級期中）己知點3在線段AC上，且生=空，設AC=2s,則A5的長為cm.

ABAC------

5.（2023秋?閔行區(qū)期中）已知：點P是線段AB的黃金分割點，其中AP較短，若AB=10,則AP=—.

三.平行線分線段成比例（共5小題）

6.（2023秋?金山區(qū)校級期中）在AABC中，點D、E分別在AB、AC的延長線上，下列不能判定DE//BC

的條件是（）

A.EA:AC=DA:ABB.DE:BC=DA:ABC.EA:EC=DA:DBD.AC:EC=AB■.DB

7.（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）在A/40c中，點￡＞、E分別在鉆、AC上，如果AD:BD=1:3,那么下

列條件中能夠判斷DE/ABC的是（）

DE1AD1AE1AE1

AA.——=—B.-----=—C.——=—D.——二一

BC4AB4AC4EC4

8.（2023秋?虹口區(qū)期中）如圖，在AABC中，點。、石分別在邊AB、AC的反向延長線上，下面比例式

BACABEA_DAEDEAEAAC

~BD~~CE,~EC~~DBAB-AB

9.（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）已知線段。、b,求作線段x,使了=?，正確的作法是（）

2ha

10.（2022秋?長寧區(qū)校級期中）如圖，已知ADIIBEIICF,它們依次交直線《、4于點A、B、C和點。、

E、F.

（1）如果AB=6,BC=8,DF=21,求DE的長；

（2）如果尸=2:5,AD=9,CF=14,求3E的長.

四.相似三角形的性質(zhì)（共1小題）

11.（2023秋?長寧區(qū)校級期中）已知AA5c三邊的比為2:3:4,與它相似的△A8C最小邊的長等于12,

那么△ABC最大邊的長等于—.

五.相似三角形的判定（共1小題）

12.（2023秋?靜安區(qū)校級期中）在AABC和△44G中，有下列條件：①組=空，②空=王，③

A^iB￡4GAG

ZA=ZA.④NB=NBi,⑤NC=NC1,如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷AABCs△4與⑥

的有（

A.4組B.5組C.6組D.7組

六.相似三角形的判定與性質(zhì)（共29小題）

13.（2023秋?長寧區(qū)校級期中）如圖，在AABC中，BC=120,高A￡）=60,正方形EFS一邊在3c上,

點、E,尸分別在鉆，AC上，AD交EF千點、N,則4V的長為（）

A.15B.20C.25D.30

14.（2023秋?寶山區(qū)期中）某同學對如下的問題進行探究.如圖，AABC中，AB^AC,點、E、F在邊BC

上，ZEAF=ZB.由上述條件該同學得到以下兩個結(jié)論：

①EF-CE=A￡2；?BFCE=AC2.

對于結(jié)論①和②下列說法正確的是（）

A.①錯誤，②正確B.①正確，②錯誤C.①和②都正確D.①和②都錯誤

15.（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，在AABC,CD平分ZACB,DE//BC,AD=2,BD=3,BC=5,則

CE=

16.（2023秋?靜安區(qū)校級期中）如圖，在AABC中，AB=AC,NA<90。，點￡）,E,尸分別在邊AB,

BC,C4上，連接DE,EF,FD,已知點3和點P關于直線DE對稱.設生=左，若AD=DF,則絲=

ABFA

（結(jié)果用含發(fā)的代數(shù)式表示）.

BEC

17.（2023秋?虹口區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，E、F、G分別是邊鉆、BC、AD上點，且NFEG=90。,

EG=6,G尸與AC交于點若空=殷=3,則MF=

BCCF4

18.（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CD±AB,垂足為

D,E為3c的中點，AE馬CD交于點、F,則DF的長為.

19.（2023秋?崇明區(qū)期中）如圖，在梯形ABCD中，AD〃3c.點P是對角線上的一點.過點P分別

作AZKCD的平行線，與交于點/，與交于點E.聯(lián)結(jié)花交班）于點G.

(2)當AD:3C=1:3,PF:AD=1:3,皮＞=10時，求尸G的長.

BEC

20.（2023秋?黃浦區(qū)期中）如圖，在AABC中，點。、石分別在邊AB、AC上，聯(lián)結(jié)DE、區(qū)石，ZABE=ZAED,

DEBD

BE-CE?

（1）求證：DE//BC；

⑵若^^=1，S四邊形。皿=8,求ABDE的面積.

21.（2023秋?金山區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點石為邊3。上一點，聯(lián)結(jié)鉆并延長AE

交。。的延長線于點交于點G,過點G作Gb//5。交。。于點尸.求證：空=2"

FCCD

B

M

22.（2023秋?松江區(qū)期中）如圖，已知在平行四邊形A5CD中，對角線AC、8Z）交于點O.點E在3c上,

且生=LDE與AC交于點尸.

BE2

(1)求AO:OF的值;

（2）設麗=萬，BC=b,試用。B表示瓦.

23.（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，點。、E分別在AABC的邊AC、AB上，延長DE、CB交于點F,且

AEAB=ADAC.

(1)求證：ZFEB=ZC;

（2）聯(lián)結(jié)AF,如果必=生，求證：EFAB=ACFB.

ABFD

B

24.(2023秋?金山區(qū)校級期中)如圖，在RtAABC中，NACB=90。，CD_LAB于。，E是AC的中點，DE

的延長線與BC的延長線交于點F.

FDBD

(1)求證:

FCBe

dzhBC5_txBD的/古

（2）右——=—,求一的值.

FC4DC

25.(2023秋?黃浦區(qū)校級期中)已知四邊形ABCD中，E,尸分別是AB,AO邊上的點，DE與CF交于

點G.

(1)如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且。石，。尸.求證：—=—；

CFCD

(2)如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形.試探究：當々與NEGC滿足什么關系時，使得匹=四成

CFCD

立？并證明你的結(jié)論.

26.(2023秋?長寧區(qū)校級期中)如圖，已知在△A8C中，ZBAC=2ZB,平分/BAC,DF//BE,點E

在線段BA的延長線上，聯(lián)結(jié)?！?交AC于點G,且NE=NC.

(1)求證：ADr^AF'AB；

(2)求證：AD?BE=DE?AB.

27.(2023秋?青浦區(qū)校級期中)如圖，在AABC中，3E平分NABC交AC于點E,過點E作a〃3C交

■于點￡).

(1)求證：AEBC=BDAC；

(2)如果S皿=3,S^DE=2,DE=6,求BC的長.

28.(2023秋?閔行區(qū)校級期中)如圖，已知在AABC中M=AC,點。為3C邊的中點，點廠在邊AB上,

點E在線段DF的延長線上，且44￡=40P，點拉在線段加上，且ZEBM=NC.

(1)求證：EB?BD=BM,AB；

(2)求證：AE±BE

A

29.(2023秋?靜安區(qū)期中)如圖，在AABC中，點。、E、尸分別在邊3C、AB.CA±,且DE〃C4,

DF//AB.

(1)若A￡)_L3C于點D,且a)=CD,求證：四邊形AEDF是菱形；

(2)若AE=AF=1,求」-+,的值；

ABAC

(3)設ABDE、△CDF、四邊形AS方的面積分別為S［、邑、S,求證:

30.(2022秋?楊浦區(qū)期中)如圖，梯形A5CD中，AD//BC,點E是邊相)的中點，連接跖并延長交C7)

的延長線于點尸，交AC于點G.

（1）若FD=2,-=求線段DC的長;

BC3

（2）求證：EFGB=BFGE.

31.（2022秋?青浦區(qū)校級期中）如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC,AB1BC,ZAEBZADC.

(1)求證：AADEs^DBC.

(2)連接EC,^CD2=ADBC,求證：ZDCE=ZADB.

32.（2022秋?黃浦區(qū)期中）如圖，已知在菱形ABC。，點E是AB的中點，AF_L3C于點尸，連接EF、

ED、DF,DE交AF于點、G,且DELEF.

(1)求證：AE2=EGED；

(2)求證：BC-=2DF-BF.

33.(2022秋?青浦區(qū)期中)如圖，已知AB〃跖//CD,AD與相交于點O.

(1)如果CE=3,EB=9,DF=2,求AD的長；

(2)如果80:0￡:瓦:=2:4:3,AB=3,求CD的長.

34.(2022秋?虹口區(qū)校級期中)如圖，ZABC=45。，點產(chǎn)為AABC內(nèi)的一個動點，已知ZBPA=NBPC=135°.

(1)求證：ACPBSABPA；

PC

(2)若AC，BC,試求土的值.

AC

35.(2022秋?黃浦區(qū)校級期中)如圖，已知四邊形ABCD,AD//BC,對角線AC、交于點O,DO=BO,

過點C作CELAC,交33的延長線于點E,交相＞的延長線于點尸，且滿足NDCE=N4CB.

(1)求證：四邊形ABCD是矩形;

DEAD

(2)求證:

36.(2022秋?奉賢區(qū)校級期中)如圖，在AABC中，點。在邊3c上，聯(lián)結(jié)AD,ZADB=ZCDE,DE交

邊AC于點E,DE交54延長線于點尸，且AD?=.

(1)求證：MF*ACAD；

(2)求證：BF?DE=AB?AD.

37.(2022秋?靜安區(qū)校級期中)如圖，已知AABC中，AB=4,BC=5,AC=6,把線段AB沿射線3c方

向平移至尸。，直線尸。與直線AC交于點E,又連接8Q與直線AC交于點。.

(1)若3尸=3,求肺的長；

(2)設3P=x,DE=y,試求y關于無的函數(shù)解析式；

(3)當為多少時，以。、D、E為頂點的三角形與AABC相似.

38.(2022秋?浦東新區(qū)校級期中)已知：如圖，已知AABC與AADE均為等腰三角形，BA=BC,DA=DE.

果點。在3c邊上，且NEDC=NBAD.點。為AC與DE的交點.

(1)求證：AABC^MJDE；

(2)求證：DA-OC=ODCE.

39.(2022秋?青浦區(qū)校級期中)已知：如圖，在RtAABC中，NC=90。，BC=2,AC=4,尸是斜邊鉆

上的一個動點，PDYAB,交邊AC于點。(點。與點A、C都不重合)，E是射線DC上一點，且

ZEPD=ZA.設A、P兩點的距離為x,ABEP的面積為y.

(1)求證：AE=2PE；

(2)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)當ABEP與AABC相似時，求ABEP的面積.

40.(2022秋?浦東新區(qū)校級期中)已知：梯形ABCD中，AD//BC,AD^AB,對角線AC、BD交于點、

E,點P在邊上，且NBEF=NS4C.

(1)求證：AAED^ACFE；

(2)當EF//DC時，求證：AE=DE.

41.（2022秋?靜安區(qū)校級期中）已知：如圖，梯形ABCD中，DC//AB,AD=BC=DC,AC.是對

角線，E是鉆延長線上一點，且NBCE=ZACD,聯(lián)結(jié)CE.

（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形；

七.相似三角形的應用（共1小題）

42.（2023秋?寶山區(qū)期中）某社區(qū)兩條平行的小道之間有一塊三角形空地.如圖，這兩條小道、〃之間

的距離為9米，AA5c表示這塊空地，3C=36米.現(xiàn)要在空地內(nèi)劃出一個矩形區(qū)域建造花壇，使它

的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊4?、AC上.

（1）如果矩形花壇的邊「6:止=1:2,求出這時矩形花壇的兩條鄰邊的長;

（2）矩形花壇的面積能否占空地面積的工？請作出判斷并說明理由.

9

八.銳角三角函數(shù)的定義（共2小題）

43.（2023秋?黃浦區(qū)校級期中）在RtAABC中，NC=90。，AB=2,AC=1,那么cosB的值是（）

A.—B.—C.-D.2

222

44.（2022秋?青浦區(qū)校級期中）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC=6,點。為AC中點，點E為

邊AB上一動點，點尸為射線3c上一動點，且NFDE=90。.

（1）當Z）尸//AB時，連接￡F,求NDEF的余切值；

（2）當點F在線段上時，設鉆=x,BF=y,求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍;

（3）連接CE,若ACDE為等腰三角形，求3b的長.

九.特殊角的三角函數(shù)值（共5小題）

45.（2023秋?寶山區(qū)期中）tan45。的值等于（）

A.2B.1C.—D.—

23

req

46.（2023秋?閔行區(qū)期中）計算：——tan60°-cot45°.

1-sin30°

（秋?黃浦區(qū)校級期中）計算：一回空——（）22

47.2023Jsin300-l+2cos45°.

sin600-cot300n

（秋?長寧區(qū)校級期中）計算：（咄蘭----

48.20232|l-sin6F|+-------

cot300-2cos45°

（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）計算：sm45°+cos30o_30°（cos45°-sin60°）

49.sin

3-2cos60°

一十.解直角三角形（共7小題）

50.（2023秋嚼安區(qū)校級期中）在RtAABC中，ZB=90°,如果=BC=a,那么AC的長是（）

A.atanaB.a-colaC.---D.a

cosasina

4

51.（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在AABC中，AD1.BC,BD=5,CD=3,tanZBAC=-,則線

3

段AD的長

A

52.(2023秋?靜安區(qū)校級期中)如圖，是AABC的高，。是邊Afi上一點，CD與AH交于點E.已知

2

AB=AC=6,cosB=—,AD:DB=1:2.

3

(1)求AABC的面積；

一4

53.(2023秋?金山區(qū)校級期中)在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,sinZCAB=-,O是斜邊AB上一

5

點，過點A作AELCE),垂足為￡,AE交直線于點尸.

(1)當tanZBCD='時，求線段5方的長；

2

(2)當點尸在邊6C上時，設AZ>=x,BF=y,求y關于x的函數(shù)解析式，及其定義域；

(3)當=?時，求線段AD的長.

4

54.(2022秋?奉賢區(qū)期中)已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=3,3c=4,AD!IBC,ZADB=90°,

cosA=-

3

求：（1）DC的長；

（2）如果點E為CD的中點，聯(lián)結(jié)BE,求NEBC的正切值.

3

55.（2022秋?青浦區(qū)期中）如圖，己知AABC中，AB=BC=5,tanNABC=-.

4

（1）求邊AC的長;

（2）設邊3c的垂直平分線與邊腦的交點為求老的值?

56.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,點。是BC邊上的一點，CD=6,

32

cosZADC=—,tanB=—.

53

（1）求AC和的長；

（2）求sinN3AD的值.

一十一.解直角三角形的應用（共1小題）

57.（2023秋?靜安區(qū)期中）圖1是一種折疊式晾衣架.晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2

所示，兩支腳OC=OD=10分米，展開角NCOD=60。，晾衣臂（M=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6

分米，且H0=H?=4分米.（參考數(shù)據(jù)：括a1.73）

（1）當NAOC=90。時，求點A離地面的距離AM約為多少分米；（結(jié)果精確到0.1）

（2）當從水