2024-2025學(xué)年滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)復(fù)習(xí)：銳角的三角比

專題04銳角的三角比（考點(diǎn)清單，知識(shí)導(dǎo)圖+4個(gè)考點(diǎn)清單

+6種題型解讀）

考點(diǎn)儕單

【清單01】銳角的三角比定義

一個(gè)銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個(gè)銳角的三角比.

/岫對(duì)邊

正切：把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫這個(gè)銳角的正切.即tanA=

/凰鄰邊

NA的鄰邊

余切：把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫這個(gè)銳角的余切.即cotA

NA的對(duì)邊

NA的對(duì)邊

正弦：把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫這個(gè)銳角的正弦.即sinA=

斜邊

/岫鄰邊

余弦：把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫這個(gè)銳角的余弦.即cosA=

斜邊

【清單02】銳角的三角比性質(zhì)

①當(dāng)銳角增大時(shí)，這個(gè)銳角的正切與正弦值都增大，這個(gè)銳角的余切與余弦值都減小;

②若NA+/B=90°,貝I]tanA=cot5;sinA=cosB；

③tanAcotA=1.

【清單03】特殊角的三角比

a=30°a=60°a=45°

tanaV31

3

cotaV31

~T

sina￡且叵

222

cosa￡V2

222

【清單04】銳角的三角比

:已知銳角，求三角比；

〔已知銳角的三角比，求銳角.

盛型儕單

【考點(diǎn)題型一】銳角三角比的意義

【例1】在VABC中，ZC=90°,ZB=a,BC=m,那么邊AC的長為（

A.msinaB.mcosaC.tanaD.mcota

【變式1-1]在RtZXABC中，?B90?,BC=a,那么A3等于（）

a

A.atanAB.acotAC.D.

sinAcosA

【變式1-2].在Rt^ABC中，?B90?,AB=4,BC=3,那么下列結(jié)論正確的是（）

44

A.tanC=—B.cotC=—C.sinC=—D.cosC=-

3343

【變式1-3］如圖，在VABC中，ZACB=90°,CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，下列結(jié)論不一定

成立的是（）

CD

A.ZA=ZDCBB.tanZECB=——C.CD2=ADDBD.BC2=2DB-EC

AD

【變式1-4］已知/A是銳角，化簡：“cosA-1?+cosA=

【變式1-5]如圖，已知在VABC中，cosA=1,BE、CF分別是AC、AB邊上的高，連接取，那么

△AEF和VABC的周長比為

A

【變式1-5].若定義等腰三角形頂角的值為等腰三角形底邊和底邊上高的比值，即2勿頂角

=+斗；,一，若等腰VABC,AB=AC,且地必=彳，則cosB=______.

底邊上的IWJ2

【變式1-6].如圖，在△4BC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)A。，AB^AD,BD=4,tanC=J.

(1)求AB的長;

(2)求點(diǎn)C到直線A8的距離.

【考點(diǎn)題型二】求角的三角比

【例2】(24-25九年級(jí)上?上海?期中)在Rt^ABC中，NC=90。，NB=2ZA,那么cosA的值等于()

A.立B.3C.-D.73

232

【變式2-1(23-24九年級(jí)上?上海?期中)在直角坐標(biāo)系中，已知尸(-2,3),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。尸與x軸負(fù)

半軸的夾角為。，則a的正切為.

【變式2-2］（24-25九年級(jí)上?上海?期中）ABC中，AB=AC=13,BC=^,那么頂角NA的正弦值

等于.

【變式2-3］（21-22九年級(jí)下?上海?期中）在正方形網(wǎng)格中，VABC的位置如圖所示，貝pos/B的值為

【變式2-4］（24-25九年級(jí)上?上海?期中）如圖，VABC中，ZC=90°,將VA3C沿圖中的虛線翻折，使點(diǎn)

4n5

C落在邊BC上的點(diǎn)。處，如果===，那么cosNABC=________.

DB8

【變式2-5］（2024?上海青浦?模擬預(yù)測(cè)）如圖是一張矩形紙片ABCD,點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在3C邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接。EEF.若

MF=AB,則"AF的正弦值為

【變式2-6］（2024?上海奉賢?二模）如圖，正方形ABC￡＞的邊長為1,點(diǎn)尸在AO延長線上（尸口＜8）,

連接P&PC,如果△（?/）尸與一PLB相似，那么tan/8K4=

［變式2-7）（2024九年級(jí)上?上海校題練習(xí)）如圖，在RtAA5C中，NC=90。,=10,3C=6,求sinAcosA

的值.

【變式2-8］（2024?上海普陀?二模）如圖，在VA3C中，ZB=2NC,點(diǎn)。在邊3C上，AB=AD=13,

BC=23

（1）求的長；

⑵求tanC的值.

【變式2-9］（2024九年級(jí)上?上海?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系尤2y中，反比例函數(shù)>=勺（左為常數(shù)且

尤

人/0）上有一點(diǎn)A（-3,加），且與直線y=-2x+4交于另一點(diǎn)B（%6）.

⑴求％與機(jī)的值；

⑵過點(diǎn)A作直線/〃x軸與直線y=-2x+4交于點(diǎn)C,求sin/OC4的值.

【變式2T0]（2024?上海長寧?三模）如圖，在直角梯形ABCD中,ABDC,ZDAB=9Q°,

AB=16,CD=10,BC=6y/5

DC

(1)求梯形ABC。的面積；

(2)連接3D,求/ZJ3C的正切值.

【變式2-11](23-24九年級(jí)上.上海.階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知8,A分別是y=-x+4與

無軸，y軸的交點(diǎn).

(2)在第一問的條件下，求tanNOCB的值；

(3)若O在直線4B上，tan/O￡)B=g,求。的坐標(biāo).

【考點(diǎn)題型三】已知三角比求邊長

【例3】(2023?上海虹口?一模)如圖，在Rt^ABC中，已知NC=90。，cosA=-,AC=3,那么的

4

長為()

A.幣B.2幣c.4D.5

【變式3-1】（23-24九年級(jí)上?上海奉賢?期末）在Rt^ASC中，ZC=90°,AC=5,NA=a,那么BC

的長是（）

A.5tanaB.5cotaC.5sincrD.5cosa

【變式3-2］（23-24九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（3,4）和3（0,。），滿足

tanZABO=-（。為原點(diǎn)），那么。的值為.

2

【變式3-3］（23-24九年級(jí)下?上海寶山?期中）如圖，菱形A2C。的邊長為5,CosB=->E是邊CD上

5

一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、。重合），把△ADE沿著直線AE翻折，如果點(diǎn)。落在菱形一條邊的延長線上，那么”的

【變式3-4】（23-24九年級(jí)上?上海靜安?期末）如圖，Rt^ABC中，NACB=90。，BC=a,cosB=l.

4

點(diǎn)。、E分別在邊AB、BC上，ZCDE=ZEDB=ZB,那么AD的長為.（用含。的代數(shù)式表

示）

【變式3-5］（23-24九年級(jí)上?上海浦東新?階段練習(xí)）如圖，已知VABC是等邊三角形，AB=4,D是

AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C點(diǎn)重合），族垂直平分B。，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F,設(shè)8=無，AE=y.

A

D

(1)求證：AAED^ACDF；

(2)求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域;

(3)過點(diǎn)。作垂足為點(diǎn)當(dāng)切=1時(shí)，求線段CD的長.

【考點(diǎn)題型四】特殊角三角比混合運(yùn)算

【例4】(22-23九年級(jí)上?上海青浦?期中)計(jì)算：tan60°+(V3-l)°出+小

22

【變式4-1](23-24九年級(jí)上?上海閔行?期中)計(jì)算:2sin30°+cos45°-(tan30。廠+^(1-cot300)

tan45°

【變式4-2](2024九年級(jí)下?上海?專題練習(xí))計(jì)算:2cos60°-|l-cot30°|H-------------------

sin600-1

c“otan45°

【變式4-3](21-22九年級(jí)上?上海青浦?期中)計(jì)算:3cot600-----------------------

cot30°-cot45°

-1

2（兀）°-

【變式4-4］（23-24九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）計(jì)算:-2sin45°+2-

2—A/2I

【變式4-5］（23-24九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）計(jì)算：tan30xcos245+sin60xsin30xcot30.

【考點(diǎn)題型五】根據(jù)特殊角三角比求角度

【例5】.（2024九年級(jí)上?上海?專題練習(xí)）已知a為銳角，cos（a-20°）=^,則a等于（）

A.30°B.50°C.60°D.80°

【變式5-1］（22-23九年級(jí)上?上海松江?期中）在VABC中，2A與—3是銳角，且tanA=走，

3

cosB=，那么Z.C=度.

2

【變式5-2］（23-24九年級(jí)上.上海浦東新?期中）如果銳角1的正切值為走，那么銳角。為度

3

【變式5-3］（22-23九年級(jí)上?上海浦東新?階段練習(xí)）已知a為銳角，tana=2cos60。，那么&=

度.

【變式5-4］（22-23九年級(jí)?上海?假期作業(yè)）求滿足下列條件的銳角a：

（1）coscc-=0；（2）—y/3tana+'S/3=0.

【變式5-5］（22-23九年級(jí)上?上海青浦?階段練習(xí)）如圖，已知NBAC=N3￡>C=90。,

SEBC=16,SA°E=8,問：-3EC的大小確定嗎？若確定，求其度數(shù)；若不確定，請(qǐng)說明理由

D

【考點(diǎn)題型六】根據(jù)特殊角三角比求角度

【例6】（23-24九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）如圖，在Rt^ABC中，NCAB=90。,A3=AC,點(diǎn)。為斜邊2C

上一點(diǎn)，且8D=3CD,將△AB。沿直線AO翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為"，貝Usin/CBZ>=.

【變式6-1］（21-22九年級(jí)上.上海閔行?期中）如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水

平地面所成角為a時(shí)，梯子頂端靠在墻面上的點(diǎn)B處，底端落在水平地面的點(diǎn)A處，如果將梯子底端向墻

3

面靠近，使梯子與地面所成角為夕，且sina=cos尸=彳，則梯子頂端上升了一米.

【變式6-2］（2023?上海普陀?三模）如圖，已知VABC是等邊三角形，點(diǎn)2、C、D、￡在同一直線上，且

CG=CD,DF=DE,貝|tanE=

G

【變式6-3］（21-22九年級(jí)上.上海長寧?期末）如圖，某種路燈燈柱BC垂直于地面，與燈桿AB相連.

已知直線AB與直線BC的夾角是76.在地面點(diǎn)D處測(cè)得點(diǎn)A的仰角是53,點(diǎn)B仰角是45,

點(diǎn)A與點(diǎn)。之間的距離為3.5米.

求：（1）點(diǎn)A到地面的距離；

（2）AB的長度.（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sin53?0.8,cos53?0.6,sin76?0.97,cos76?0.24）

【變式6-4］（21-22九年級(jí)上.上海虹口?期末）如圖，在梯形ABCD中，ZABC=90°,AD//BC,

BC=2AD,對(duì)角線AC與交于點(diǎn)E.點(diǎn)歹是線段EC上一點(diǎn)，^.ZBDF=ZBAC.

D

⑴求證：EB?=EF?EC;

2

(2)如果3C=6,sinZBAC=-,求PC的長.

【變式6-5］（21-22九年級(jí)上?上海閔行?期中）如圖，已知點(diǎn)E分別在VABC中的邊54、G4的延長

線上，且DE〃BC.

(1)如果AD=3,BD=9,DE=4,求BC的長;

（2）如果與=3，AD=4,sinB=—,過點(diǎn)D作B尸，BC,垂足為點(diǎn)尸，求的長.

CE55

【變式6-6］（21-22九年級(jí)上.上海嘉定?期末）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與邊CD垂直,

AR&

就=1，四邊形A3CO的周長是16,點(diǎn)E是在AD延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)b是在射線A3上的一點(diǎn),

ZCED=ZCDF.

E