專題課件：練素養(yǎng) 等腰三角形中作輔助線的六種常用方法

等腰三角形中作輔助線的六種常用方法

蘇科版八年級上第2章軸對稱圖形練素養(yǎng)123456溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，且BE＝AF，連接ED，EF，DF.1求證：(1)ED＝DF；(2)ED⊥DF.證明∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF.∴∠EDF＝∠ADF＋∠EDA＝∠BDE＋∠EDA＝90°.∴ED⊥DF.【2021·鼓樓區(qū)校級期中】如圖，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，D是AB邊上一點(diǎn)，且CD＝CB，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F.2解：△BCF是等腰三角形．理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，∴∠ACG＝45°.∵∠BCF＝∠ACG＋∠BCG，∠BFC＝∠A＋∠ABF，∴∠BCF＝45°＋∠BCG，∠BFC＝45°＋∠ABF.∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，∴∠BCF＝∠BFC，∴BC＝BF，∴△BCF是等腰三角形．(2)判斷△BCF的形狀，并說明理由．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合)，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點(diǎn)P，Q移動的速度相同，開始移動后，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.3證明：如圖，過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，且移動的速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.(1)求證：PD＝QD；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝PF.∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝QC，∴△PFD≌△QCD(AAS)．∴PD＝QD.(2)過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E.點(diǎn)P，Q在移動的過程中，線段BE，DE，CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由.如圖，已知等邊三角形ABC，點(diǎn)D在AC的延長線上，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝AD，DG⊥BE，垂足為G，連接BD，DE.求證：BG＝EG.4證明：如圖，過點(diǎn)D作DF∥BE，交AB的延長線于點(diǎn)F.

∴∠AFD＝∠ABC，∠ADF＝∠ACB.∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.∴△ADF是等邊三角形．∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF.∵AD＝CE，∴FD＝CE.如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.求證：5(1)BE＝CE；證明：如圖，延長AB，DE交于點(diǎn)F.∵AB∥CD，∴∠2＝∠F.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F.∴AD＝AF.又∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴CD＝BF.在△DCE和△FBE中，∠2＝∠F，CD＝BF，∠DEC＝∠FEB，∴△DCE≌△FBE(AAS)．∴BE＝CE.(2)AE⊥DE；(3)AE平分∠DAB.證明：由(1)知△DCE≌△FBE，∴DE＝EF.又∵AD＝AF，∴AE⊥DE.證明：∵AD＝AF，DE＝EF，∴AE平分∠DAB.6如圖，在△ABC中，AD是中線，點(diǎn)E在AB上，AD，CE交于點(diǎn)F，且AE＝EF.求證：AB＝CF.證明：如圖，延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG.∵AD是中線，∴BD＝DC.又∵∠ADB＝∠GDC，AD＝DG，∴△ABD≌△GCD(SAS)．∴