河南名校聯(lián)盟2021-2022學年高二下學期期中考試文科數(shù)學試卷

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A.59.39m B.63.00m C.68.57m D.72.74m12.設定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為,已知,且,則滿足不等式的實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.類比推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中有重要的作用,開普勒說過:我珍視類比勝過任何別的東西,它是我最可信賴的老師,它能揭示自然界的秘密.運用類比推理,人們可以從已經(jīng)掌握的事物特征,推測被研究的事物特征.比如:根據(jù)圓的簡單幾何性質(zhì),運用類比推理,可以得到橢圓的簡單幾何性質(zhì)等.已知圓有性質(zhì):過圓C上一點的圓的切線方程是.類比上述結(jié)論,過橢圓的點的切線方程為______.14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的a的值為33,則輸入的整數(shù)t的最大值為___________.15.如圖所示,已知P為拋物線上的一個動點,點,F為拋物線C的焦點,若的最小值為3,則拋物線C的標準方程為______.

16.2020年9月,中國在第75屆聯(lián)合國大會上承諾,二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值,努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和(簡稱“雙碳目標”).某地區(qū)積極響應政府的號召,大力提倡新能源汽車,某機構(gòu)為研究新能源汽車在該地區(qū)的銷售情況,對某品牌的新能源汽車在該地區(qū)近幾個月的銷售情況作了統(tǒng)計,如下表:月份2021年11月2021年12月2022年1月2022年2月2022年3月月份編號x12345新能源汽車銷售量y(輛)305070100110則y關于x的線性回歸方程為______.參考公式:回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.三、解答題:第17題10分,其余每題12分,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知正項等比數(shù)列的公比大于1,其前n項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列,滿足,,求數(shù)列前n項和.18.已知復數(shù),其中i是虛數(shù)單位,.設p:復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限;.(1)當p為真命題時,求實數(shù)m取值范圍;(2)若命題“且”為假命題,“或”為真命題,求實數(shù)的取值范圍.19.根據(jù)黨中央規(guī)劃的“精準發(fā)力,著力提高脫貧攻堅成效”的精準扶貧、精準脫貧路徑,某農(nóng)業(yè)機械上市公司為強化現(xiàn)代農(nóng)業(yè)的基礎支撐,不斷投入資金對產(chǎn)品進行研發(fā),從而提升農(nóng)機裝備的應用水平.通過對該公司近幾年的年報公布的研發(fā)費用x(億元)與產(chǎn)品的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,得到如下表:年份2015201620172018201920202021年份編號123456723468101315222740485460根據(jù)數(shù)據(jù),可建立y關于x的兩個回歸模型:模型①:;模型②:.(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),分別求出模型①,②的相關指數(shù)的大小(保留三位有效數(shù)字);(2)根據(jù)(1)選擇擬合精度更高、更可靠的模型,若2022年該公司計劃投入研發(fā)費用17億元,預測可為該公司帶來多少直接收益.附:相關指數(shù),.回歸模型模型①模型②79.1318.8620.2022年年度大劇《人世間》自1月28日在央視一套黃金檔開播以來,其收視率一路開掛,破近五年的的紀錄.某調(diào)研機構(gòu)為了解某社區(qū)居民對本劇的收看情況,隨機抽取了該社區(qū)年齡在30~60歲的600名居民進行調(diào)查,其中男性居民與女性居民的人數(shù)之比是9:11.經(jīng)統(tǒng)計,收看過本劇的居民比沒有收看過本劇的居民多300人,女性居民中僅有60人沒有收看過本劇.(1)是否有99.9%的把握認為是否收看過電視劇《人世間》與性別有關？(2)按性別用分層抽樣的方法從收看過本劇的居民中抽取5人,若要從這5人中隨機選出2人對其做進一步的觀劇感受訪談,求選出的2人中至少有一個是男性居民的概率.附:,其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82821.已知函數(shù),.(1)求的極大值;(2)若恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.22.已知,分別是橢圓的左、右焦點,點,在直線的同側(cè),且點,到直線l的距離分別為,.(1)若橢圓C的方程為,直線l的方程為,求的值,并判斷直線l與橢圓C的公共點的個數(shù);(2)若直線l與橢圓C有兩個公共點,試求所需要滿足的條件;(3)結(jié)合(1)和(2),試寫出一個能判斷直線l與橢圓C有公共點的充要條件(不需要證明).河南名校聯(lián)盟2021—2022學年高二(下)期中考試數(shù)學(文科)第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知a,b,,,且,則下列不等式中一定成立的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷.【詳解】當時,,A不成立;時,由得,B不成立;當時,,C不成立,由不等式得性質(zhì),D正確.故選:D.2.已知,則“”是“方程表示雙曲線”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先由方程表示雙曲線解出的范圍,再由充分性、必要性的定義判斷即可.【詳解】由方程表示雙曲線可得,解得,顯然能推出,反之不能推出,故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選:A.3.已知復數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】,故z的虛部為-1.故選:B.4.已知函數(shù),.若曲線在處的切線與直線平行,則實數(shù)a的值為()A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)曲線在處的切線與直線平行得,據(jù)此即可求出a.【詳解】∵,∴,∵曲線在處的切線與直線平行,∴.故選:A﹒5.已知,且,,,則三個數(shù)()A.都小于 B.至少有一個不小于C.都大于 D.至少有一個不大于【答案】B【解析】【分析】先求出,通過反證法證得都小于不成立,即可得出結(jié)果.【詳解】,假設都小于,則,與題設矛盾,故假設不成立,即至少有一個不小于.故選:B.6.已知復數(shù),,且有,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù),,求得,,再由求解.【詳解】因為,,則,,因為,則,解得,此時,所以.故選:C.7.在2022年2月北京冬奧會短道速滑男子500米項目決賽前,某家庭中的爸爸、媽媽和孩子對進入決賽的甲、乙、丙、丁、戊五位選手誰能奪冠進行猜測,依據(jù)運動員的實力和比賽規(guī)則,這五位選手都有機會獲得冠軍.爸爸:冠軍是甲或丙;媽媽:冠軍一定不是乙和丙;孩子:冠軍是丁或戊.比賽結(jié)束,冠軍在這五人中產(chǎn)生,且爸爸、媽媽、和孩子三人之中只有一人的猜測是正確的,則冠軍是()A.甲 B.丙 C.丁 D.戊【答案】B【解析】【分析】假設孩子的猜測正確,推出不成立,再假設媽媽的猜測正確,推出不成立,進而得到爸爸的猜測正確,即可求解.【詳解】若孩子猜測是正確的,則媽媽的猜測也正確,不合題意,故孩子的猜測是錯誤的,即冠軍不是丁也不是戊;若媽媽的猜測是正確的,則冠軍是甲,爸爸的猜測也正確,不合題意,故媽媽的猜測是錯誤的,即冠軍是乙或丙;爸爸的猜測是正確的,故冠軍是丙.故選:B.8.觀察等式:,,,.若第n個等式為,則滿足不等式成立的最小正整數(shù)n的值為()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】由題意可得,代入中化簡可求出的范圍,從而可求得結(jié)果【詳解】由題意可得,因為,所以,化簡得,解得(舍去),或,因為,所以最小正整數(shù)n的值為7,故選:C9.在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,,,,則()A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】由的范圍及的值求解,利用正弦定理求解出,再利用余弦定理即可求解.【詳解】∵,且,∴.又,由正弦定理得,即,∵,∴.由余弦定理得,即,解得,.故選:D.10.隨著“雙減”政策的逐步落實,其中增加中學生體育鍛煉時間的政策引發(fā)社會的廣泛關注.某教育時報就“支持增加中學生體育鍛煉時間的政策是否與性別有關”對某校高二年級部分學生做了專題調(diào)查,被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同,其中男生支持的人數(shù)占調(diào)查男生人數(shù)的,女生支持的人數(shù)占調(diào)查女生人數(shù)的.若有99%以上的把握認為“支持增加中學生體育鍛煉時間的政策與性別有關”,則參加調(diào)查的男生可能有()附表:0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附:,其中.A.135人 B.140人 C.145人 D.150人【答案】D【解析】【分析】設參加調(diào)查的男生可能有人,則女生也為人,然后列出列聯(lián)表,計算,由題意可得,從而可求出的范圍,進而可求得答案【詳解】設參加調(diào)查的男生可能有人,則女生也為人,由題意得列聯(lián)表如下:支持不支持總計男生女生總計則,因為有99%以上的把握認為“支持增加中學生體育鍛煉時間的政策與性別有關”,所以,得,因為是15的倍數(shù),所以選項D符合題意,故選:D11.“二七紀念塔”位于河南省鄭州市二七廣場,建于1971年,鋼筋混凝土結(jié)構(gòu),是中國建筑獨特的仿古聯(lián)體雙塔,它是為紀念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀念性建筑物,2006年被列為全國重點文物保護單位.某同學為測量二七紀念塔的高度,在塔底共線的三點A,B,C處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°,45°,60°,且,則二七紀念塔的塔高約為()(參考數(shù)據(jù):,,)

A.59.39m B.63.00m C.68.57m D.72.74m【答案】B【解析】【分析】如圖,用表示塔身,設,,表示出,然后在和中應用余弦定理求得與的關系,從而求得結(jié)論.【詳解】用表示塔身,如圖,設,由題意得,,,記,由得,化簡得,所以.故選:B.

12.設定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為,已知,且,則滿足不等式的實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】引入函數(shù),由導數(shù)確定它的單調(diào)性,待解不等式化為關于的不等式,然后由單調(diào)性得解.【詳解】設,則,因為,,所以,是減函數(shù),,不等式化為,即,所以.故選:C.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.類比推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中有重要的作用,開普勒說過:我珍視類比勝過任何別的東西,它是我最可信賴的老師,它能揭示自然界的秘密.運用類比推理,人們可以從已經(jīng)掌握的事物特征,推測被研究的事物特征.比如:根據(jù)圓的簡單幾何性質(zhì),運用類比推理,可以得到橢圓的簡單幾何性質(zhì)等.已知圓有性質(zhì):過圓C上一點的圓的切線方程是.類比上述結(jié)論,過橢圓的點的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】通過類比可得類似結(jié)論:過橢圓上一點的橢圓的切線方程為,然后可得.【詳解】通過類比可得類似結(jié)論:過橢圓上一點的橢圓的切線方程為.所以,,過橢圓上的點的切線方程為,即.將代入得:,解得所以直線和橢圓有唯一交點,即直線與橢圓相切.故答案為:14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的a的值為33,則輸入的整數(shù)t的最大值為___________.【答案】32【解析】【分析】利用程序框圖的功能一一循環(huán),直至終止循環(huán)求解.【詳解】第一次循環(huán),,不成立;第二次循環(huán),,不成立;第三次循環(huán),,不成立;第四次循環(huán),,,不成立;第五次循環(huán),,,成立;所以,則輸入的整數(shù)t的最大值為32.故答案為:32.15.如圖所示,已知P為拋物線上的一個動點,點,F為拋物線C的焦點,若的最小值為3,則拋物線C的標準方程為______.

【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義將轉(zhuǎn)化為點P到點Q和準線的距離之和,由最小值為3可得p,然后可得拋物線標準方程.【詳解】過點P、Q分別作準線的垂線,垂直分別為M、N,由拋物線定義可知,當P,M,Q三點共線時等號成立所以,解得所以拋物線C的標準方程為.故答案為:16.2020年9月,中國在第75屆聯(lián)合國大會上承諾,二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值,努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和(簡稱“雙碳目標”).某地區(qū)積極響應政府的號召,大力提倡新能源汽車,某機構(gòu)為研究新能源汽車在該地區(qū)的銷售情況,對某品牌的新能源汽車在該地區(qū)近幾個月的銷售情況作了統(tǒng)計,如下表:月份2021年11月2021年12月2022年1月2022年2月2022年3月月份編號x12345新能源汽車銷售量y(輛)305070100110則y關于x的線性回歸方程為______.參考公式:回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.【答案】【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)和最小二乘估計公式計算出和即可.【詳解】,,,,∴,,∴y關于x的線性回歸方程為.故答案為:.三、解答題:第17題10分,其余每題12分,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知正項等比數(shù)列的公比大于1,其前n項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列,滿足,,求數(shù)列的前n項和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由等比數(shù)列的基本量法和前項和定義列出關于公比和首項的方程組求得和,得通項公式;(2)求出,用裂項相消法求和.【小問1詳解】設公比為,則題意得,因為,故解得,所以;【小問2詳解】由(1),,所以.18.已知復數(shù),其中i是虛數(shù)單位,.設p:復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限;.(1)當p為真命題時,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若命題“且”為假命題,“或”為真命題,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限,求出的取值范圍;(2)根據(jù)“且”為假命題,“或”為真命題可以判斷命題、一真一假,由此求出的取值范圍.【小問1詳解】在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限解得:即的取值范圍為.【小問2詳解】由為真命題得:由命題“且”為假命題,“或”為真命題,得真假或假真當真假時,即當假真時,即實數(shù)的取值范圍為.19.根據(jù)黨中央規(guī)劃的“精準發(fā)力,著力提高脫貧攻堅成效”的精準扶貧、精準脫貧路徑,某農(nóng)業(yè)機械上市公司為強化現(xiàn)代農(nóng)業(yè)的基礎支撐,不斷投入資金對產(chǎn)品進行研發(fā),從而提升農(nóng)機裝備的應用水平.通過對該公司近幾年的年報公布的研發(fā)費用x(億元)與產(chǎn)品的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,得到如下表:年份2015201620172018201920202021年份編號123456723468101315222740485460根據(jù)數(shù)據(jù),可建立y關于x的兩個回歸模型:模型①:;模型②:.(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),分別求出模型①,②的相關指數(shù)的大小(保留三位有效數(shù)字);(2)根據(jù)(1)選擇擬合精度更高、更可靠的模型,若2022年該公司計劃投入研發(fā)費用17億元,預測可為該公司帶來多少直接收益.附:相關指數(shù),.回歸模型模型①模型②79.131886【答案】(1),(2)72.93億元【解析】【分析】(1)先計算,再求,然后由公式直接計算可得;(2)比較相關系數(shù),選擇擬合精度更高、更可靠的模型計算可得.【小問1詳解】因為所以則模型①的相關指數(shù)模型②的相關指數(shù)【小問2詳解】由(1)知,所以模型②的擬合精度更高、更可靠,由回歸方程可得,當時,所以若2022年該公司計劃投入研發(fā)費用17億元,大約可為該公司帶來72.93億元直接收益.20.2022年年度大劇《人世間》自1月28日在央視一套黃金檔開播以來,其收視率一路開掛,破近五年的的紀錄.某調(diào)研機構(gòu)為了解某社區(qū)居民對本劇的收看情況,隨機抽取了該社區(qū)年齡在30~60歲的600名居民進行調(diào)查,其中男性居民與女性居民的人數(shù)之比是9:11.經(jīng)統(tǒng)計,收看過本劇的居民比沒有收看過本劇的居民多300人,女性居民中僅有60人沒有收看過本劇.(1)是否有99.9%的把握認為是否收看過電視劇《人世間》與性別有關？(2)按性別用分層抽樣的方法從收看過本劇的居民中抽取5人,若要從這5人中隨機選出2人對其做進一步的觀劇感受訪談,求選出的2人中至少有一個是男性居民的概率.附:,其中.0.1000.0500.0250.010000127063.8415.0246.63510.828【答案】(1)有99.9%的把握認為收看過電視劇《人世間》與性別有關;(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)題目信息求出各項數(shù)據(jù),得到22列聯(lián)表,進而計算出,對比臨界值即可得出結(jié)論.(2)根據(jù)古典概型的計算公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由題意,調(diào)查的600名居民中,男性與女性居民的人數(shù)之比是9:11,故男性有人,女性有人,因為收看過本劇的居民比沒有收看過的居民多300人,所以收看過本劇的居民有450人,沒有收看過本劇的居民有150人,因為沒有收看過本劇的女性有60人,所以收看過本劇的女性居民有270人,沒收看過本劇的男性有90人,收看過本劇的男性有180人.完成22列聯(lián)表,如下:觀看過沒有觀看過合計男性18090270女性27060330合計450150600所以,所以有99.9%的把握認為收看過電視劇《人世間》與性別有關.【小問2詳解】收看過電視劇《人世間》的共有450人,從中抽取5人,抽到的男性人數(shù)、女性人數(shù)分別為:人,人,記2名男性分別a,b,3名女性分別是A,B,C,則從5人中選出2人的基本事件是:ab,aA,aB,aC