2024-2025學(xué)年晉城市高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中學(xué)業(yè)測試卷及答案解析

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)測試

高一數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm的黑色筆

跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合S={2,3,5,7,ll},ScT={3,5,7},則集合T可能是（）

A.{123,4,5,6,7}B.{2,3,4,5,6,7,8}

C.{3,4,5,678,9}D.{5,6,7,8,9,10,11}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算逐個選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A、B選項(xiàng)中，均有2eScT,不合題意；

D選項(xiàng)中，UeScT,不合題意；

只有C選項(xiàng)中，ScT={3,5,7},符合題意.

故選：C

2.“加>">0”是“機(jī)〃〉〃2”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若加>〃>0,則山〃〉”2,反之不成立，如：加=一2,〃=一1,滿足機(jī)〃〉〃2,

所以“加>〃>0"是"m幾>n2”的充分不必要條件.

故選：A

3.已知集合M={x|04xW2},N={N04y<2},在下列四個圖形中，能表示集合四到N的函數(shù)關(guān)系

的有()

D.3個

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)定義，結(jié)合題目條件，明確定義域與值域，可得答案.

【詳解】由函數(shù)定義可知，符合M中任意元素在N中有唯一確定的元素與之相對應(yīng)的圖象是(2)(4).

故選：C.

4.若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?—2,3),則函數(shù)g(x)=/(x-3)+JT7的定義域?yàn)?)

A.(-1,6)B.(-5,1)C.(1,5)D.(1,5]

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題目中的定義域以及根號的性質(zhì)，建立不等式組，可得答案.

【詳解】由函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?一2,3),得「—x〉。，解得1<X45,

故選：D.

5.如圖所示的直角梯形區(qū)域O48C(其中OC=8C=2,/8=1,AB//OC,BCLOC\該區(qū)域需要

通過光線掃描進(jìn)行分析.掃描光線所在的直線方程為》從0變化到2即完成一次掃描.設(shè)掃描過程中梯

形區(qū)域被光線掃過的區(qū)域(即光線/左方圖形)的面積為S.則當(dāng)1</42時，S關(guān)于/的函數(shù)可表示為

()

y/

o

A.S=t2B.S=2t-1

C.S-2t+3D.S=t2-1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖象,利用分割圖象的方法，結(jié)合面積計算，可得答案.

【詳解】由題意得,當(dāng)光線x=t在區(qū)間（1,2］移動時，面積由左側(cè)的三角形和右側(cè)的矩形組成,

左側(cè)三角形面積為1,右側(cè)矩形面積為S右=2（7-1）,左右面積相加知B正確

故選：B.

6.已知函數(shù)/（x）的圖象向左平移2個單位后關(guān)于V軸對稱，當(dāng)乙〉西〉2時,

［/（%）_/（西）］（》2_西）<°恒成立，設(shè)a=/（g）b=/（3）,c=/（4）,則久仇c的大小關(guān)系為

（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性與單調(diào)性判斷即可.

【詳解】由題意知y=/（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且當(dāng)x>2時，y=/（x）是減函數(shù)，

又a=所以/（3）〉/13〉/（4）,^b>a>c.

故選：D.

7.美國數(shù)學(xué)家柯布（C.W.Cobb）和經(jīng)濟(jì)學(xué)家保羅?道格拉斯（PaulH.Douglas）通過研究1899年至1922年

美國制造業(yè)，提出了著名的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，即y=其中y代表產(chǎn)出，上和K分別代

表資本投入和勞動投入（4K均為正數(shù)），A（可視為正值常數(shù)）代表綜合技術(shù)水平，￡（0<￡<1）是資

本投入與產(chǎn)出的彈性系數(shù)，則以下說法正確的是（）

A,若各項(xiàng)投入保持不變，則產(chǎn)出y是關(guān)于￡的減函數(shù)

B.存在￡€（0,1）,使資本投入不變而勞動投入增至原先的8倍時，產(chǎn)出僅增至原先的2倍

C.存在￡€（0,1）,使各項(xiàng)投入都增至原先的左（左＞1）倍時，產(chǎn)出增至原先的倍數(shù)超過上

D.將資本投入和勞動投入分別改變成原來的左伍〉0）倍與工倍，則產(chǎn)出不發(fā)生變化

k

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的信息，按各選項(xiàng)的條件，結(jié)合函數(shù)y=計算判斷得解.

【詳解】記產(chǎn)出、資本投入、勞動投入未改變前分別為乂Ko,改變后的產(chǎn)出為y.

對于A,Y=ALSKS=AL（—y"其單調(diào)性取決于丁與1的大小關(guān)系，而這個大小關(guān)系并不確定，A錯

L

誤；

￡

AYAI）~（SKoy8，=2,解得￡=』，B正確；

對于B,令一二一q-山二

E心K；3

Y

對于c,LUY=kl-eke=k，彳〉左不成立，C錯誤；

Yo4"可

對于D,令y（紅。廣'（；K,y1

—=k'-ek-e=k'-2e=T解得￡=5，

兄形。~&￡

即僅當(dāng)￡=工時，產(chǎn)出不變，當(dāng)￡:e（0,g）U（g,l）時，產(chǎn)出發(fā)生改變，D錯誤.

2

故選：B

，=1,使不等式工;〈機(jī)2-2機(jī)-3能成立，則實(shí)數(shù)切的取值范

8.若存在x20,yN0,且3x+j

x+1y+1

圍是（）

A.（-4,2）B.（-00,-4）U（2,+00）

C-（-23）D.（-8,-2）U（4,+oo）

【答案】D

【解析】

3434

【分析】首先將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求3+R的最小值,利用“1”的變換-----1-----

x+1y+1

1［3（'+1）+5+1）［$+54展開后利用基本不等求最小值?

342cc(341

【詳解】因?yàn)榈?"<山—2"-3能成立,所以<m2-2m-3.

(x+lJ+I；min

又因?yàn)閤20,y20,3x+y=l,所以3(x+l)+(y+l)=5.

34Or段［3（、+1）+（尹1）］［⑶3(.v+l)J2(x+1)

所以-----1----->5,

x+1y+1x+1y+l

v+14(x+l)

當(dāng)且僅當(dāng)2―=八——L,即x=0,y=l時等號成立,

x+1y+l

所以5〈加2一2加一3，即加2一2加一8>0，所以加<一2或加>4.

故選：D

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知l<x<3,則下列不等式恒成立的是（）

A.（x-l）（x-4）>0B.x2+x<3x+3

11+x4

22+xx-5

【答案】BC

【解析】

【分析】取特殊值計算可判斷AD錯誤，根據(jù)不等式性質(zhì)以及作差法計算可判斷BC正確.

【詳解】對于選項(xiàng)A,當(dāng)x=2時，（2-1）（2-4）=一2<0,故A錯誤；

對于選項(xiàng)B,由題意知x+l〉2>0,在x<3的兩邊同時乘以正數(shù)（x+1）,可得Y+X<3X+3，故B正

確；

對于選項(xiàng)C,4_3=2+x—（2x+2）=^^<0,故c正確；

22+x2x+42%+4

42

對于選項(xiàng)D,當(dāng)x=2時，-----1-2=—<9,故D錯誤；

2-53

故選：BC.

XHX-1

j+3.下列表述正確的是

()

A.m=-3

B.函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)g(x)恒過定點(diǎn)］，彳

「7"

D.當(dāng)加=〃時，函數(shù)g(x)在［-1』的值域?yàn)?,11

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)察函數(shù)定義計算可得機(jī)=2,函數(shù)/(x)=xN在(0,+8)上單調(diào)遞減，可得A錯誤，即B正

確；

由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得g(x)恒過定點(diǎn)(0,5)判斷C,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性計算可得D正確.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(》)="+掰-5卜1為幕函數(shù)，

所以加之+加—5=1，解得加=一3或加=2,

當(dāng)加=—3時，f［x)=x-\圖象不關(guān)于y軸對稱，故舍去，

當(dāng)加=2時，f(x)=x-2,圖象關(guān)于歹軸對稱，

所以加=2符合題意，故A不正確，

易知f(x)=x^2時在(0,+8)上單調(diào)遞減，即B正確；

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)g(x)=［；］+3,易知恒過定點(diǎn)(0,5),故C不正確；

易知當(dāng)〃=加時，函數(shù)g(x)=［；J+3在［T5為減函數(shù)，

-7-

所以其值域?yàn)?,H,故D正確.

2

故選：BD.

11.已知西,》2是方程掰(工一1乂%+2)-1=0的兩個根，其中西<》2，不等式加(x-l)(x+2)-l>0的解

集是(七,馬)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.陽+%+1=°B.-2<再</<1

C.xrx2+2>0D.|^-^2|>3

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系可判斷AC正確，再由根與系數(shù)關(guān)系可判斷B

正確，D錯誤.

【詳解】不等式加(x—1乂%+2)—1>0的解集是(國,％2)，其中為</，所以加<0，

且匹,％2是一元二次方程加X?+mx-2m-1=0的解，

—2m—11

所以X]+%——1,再,％=-------=-2---->-2,

一mm

所以西+》2+1=0,西,》2+2〉0，故A,C正確；

2

又因?yàn)閔—%|=+x2)~4X1X2=^9+—<3,所以D錯誤；

又方程加(x-D(x+2)=0的解是1和—2,且不等式加(x-l)(x+2)—1>0的解集為(西,工2),

所以一2<西</<1,B正確.

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.小王同學(xué)經(jīng)過化簡，得到恒等式亞J蛆=優(yōu)〃(a〉01〉0),則x+y=

131

【答案】一##2—

66

【解析】

【分析】將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，利用待定系數(shù)法計算即可.

【詳解】根據(jù)題意1/2遙3涓31+2工=罐*故x=12，N=53，x+>=%13.

故答案為：一

6

13.若“三》《卜2,1],/+。＞1，，是假命題，則實(shí)數(shù)a的最大值為.

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定由不等式恒成立計算可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤叭積[-2,1],爐+。＞1，，為假命題，所以它的否定“e卜2』,一+。＜1，，為真命題,

所以V41—°對xe[—1,2,亙成立，即1—。之4,所以aW—3.

即實(shí)數(shù)a的最大值為-3.

故答案為：-3

%。%＜0

14.已知a＞0,函數(shù)/（x）={2:'、n則關(guān)于％的方程/（司=0的實(shí)根的個數(shù)為___________?；若

x—2ax,x2。，

關(guān)于X的方程/（/（X））=0有7個不同的實(shí)根，則正數(shù)。的取值范圍是.

【答案】①.3②.(1,+8)

【解析】

【分析】由函數(shù)解析式作圖，結(jié)合圖象可得空一的答案；根據(jù)圖象化簡方程，分情況討論，可得答案.

x+tz,x<0

【詳解】/(%)=<2c八的大致圖象如圖所示:

x-2ax,x>0

方程/（力=0的根為一。,0,2°,共3個.

由/(/(x))=0可得/(x)=-a，或/(x)=0,或/(x)=2a,

由圖象可得，/(x)=0顯然有3個根，/(x)=2a顯然有1個根，

又/(/(x))=0有7個不同的實(shí)根，

所以/(x)=-。必有3個根，而—a<.0,y=x~—2ax=(x—G)2—2—a~.

為使/(x)=—。有3個根，只需—a>—a2>解得Q>1或。<0(舍).

故答案為：3；(1,+8).

四,解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合4={%]-2=-加+l<x<3加+4}.

(1)當(dāng)加=2時，求①/cB,②("/川8；

(2)若集合5為非空集合，且“工￡力”是“xwB”的必要條件，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】(1)?^n5={x|-l<x<8};②(qz)U8={x|x<—2或1}；

「341

⑵-----

_4'3」

【解析】

【分析】(1)利用交集、補(bǔ)集、并集的概念運(yùn)算即可；

(2)根據(jù)必要條件的概念轉(zhuǎn)化集合間的基本關(guān)系，計算參數(shù)即可.

【小問1詳解】

當(dāng)加=2時,5={%|-1<%<10},

^05={%|-1<%<8},

而4力={%|》<一2或%>8},貝！l(qZ)U8={引》<一2或》之一1}；

【小問2詳解】

由“xwZ”是“xwB”的必要條件，知

-m+l<3m+4

34

「.V-m+1>-2,解得——<m<—.

43

3m+4<8

-34~

實(shí)數(shù)加的取值范圍一二,彳.

L43J

16.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)=ax-I(a>0,a^l).

⑴若/⑶=9,求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若;</(3)<2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

-3*i,x<0,

【答案】(1)/(x)=<O,x=O,

3x-1,x>0.

(2)件,11").

I2J

【解析】

【分析】⑴代入/⑶=9到解析式/(x)=a*T求解，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解即可;

(2)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得分段函數(shù)/(x),再求解;</<2即可.

【小問1詳解】

由題意知/(3)=/T=9,所以。=±3,

又a>0,。wl,故a=3,

因此x>0時，f(x)=3'"1,

當(dāng)x<0時，-x>0,由題意得/(-x)=3*i,

又是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(力=—/(一》).

所以當(dāng)x<0時，/(%)=-3一1,

又/(—0)=-”0)，故/(0)=0，

二3*1/<0,

所以函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=<0,x=0,

3i,x〉0,

【小問2詳解】

當(dāng)x<0時，f(x)=-/(-x)=-a<0,

又;</(3)<2,所以/(3)=/，故g</<2.

a2<2,一0<a<也

B

故---<或1<Q<V2，

2

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(等

17.已知函數(shù)/(x)="2-x+1,

(1)若aeR,且函數(shù)/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a討論關(guān)于x的不等式/(x)>ax的解集.

【答案】(1)g，+，|；

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)分。=0和ak0兩種情況討論即可，當(dāng)。工0時，需滿足二次函數(shù)開口向上且對稱軸小于等

于1即可；

(2)因式分解并討論兩個根的大小即可.

【小問1詳解】

當(dāng)a=0時，/(x)=-x+l,不滿足函數(shù)/(x)在(1,+8)單調(diào)遞增；

a〉0,

當(dāng)awO時，若/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則需滿足｛1解得—,

2

綜上故所求實(shí)數(shù)。的取值范圍為I；

2L2)

【小問2詳解】

不等式/(x)>ax可化為af一(a+i)x+i>0,即——1)>0,

①當(dāng)a=0時，一(工—1)>0,不等式的解集為｛Nx<l｝；

②當(dāng)!>1,即0<。<1時，不等式的解集為Mx<l或X〉4｝；

aa

③當(dāng)!<1,即—l<a<0時，不等式的解集為>

a[a

綜上所述，當(dāng)—1<。<0時，不等式的解集為Qx,<x<"；

a

當(dāng)。=0時，不等式的解集為｛xl無<1｝；

當(dāng)0<。<1時，不等式的解集為｛x|x<l或x〉L｝.

a

18.已知指數(shù)函數(shù)/(x)=(蘇一2機(jī)+1)2皿與二次函數(shù)g(x)=/+2ax.

(I)求函數(shù)/(x)；

(2)當(dāng)a=l時，求函數(shù)y=/(g(x))(—2WxVl)的值域；

(3)設(shè)函數(shù)"(x)=<］：；；；；：，若血>0,且人(力的最小值為孝，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=4v

「1,J

(2)-,64

_4

(3)V2.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得出關(guān)于冽的等式或不等式，解出切的值，即可得出函數(shù)/(x)的解

析式；

(2)當(dāng)a=l時，/(g(x))=4?+2\求出函數(shù)M=/+2X在區(qū)間［―2,1］上的值域，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性可求得函數(shù)y=/(g(x))(-2<x<l)的值域；

(3)分a>0、a<0兩種情況討論，分析函數(shù)九(%)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)h(x)的最小值為手，求出b的

值，根據(jù)最值的定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，即可解得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=(機(jī)2—2機(jī)+1)2f為指數(shù)函數(shù)，所以1機(jī)—m+—,解得機(jī)=2,

［加w0

所以函數(shù)/(x)=2?x=41

【小問2詳解】

當(dāng)a=l時，/(g(x))=4?+2x

因?yàn)楹瘮?shù)M=Y+2X在［-2,-1］上單調(diào)遞減，在［-1,1］上單調(diào)遞增,

所以，當(dāng)—時，?min=1-2=-1,

當(dāng)x=-2時，u=0；當(dāng)x=l時，"=1+2=3,則一

所以當(dāng)—時，—14/+2》(3，

又函數(shù)/(x)=4、是增函數(shù)，則4T<4?+2X4甲，

所以函數(shù)y=/(g(x))(—2<x<l)的值域是1,64.

【小問3詳解】

/、(4x,x>b

因?yàn)椤?x)=，

x+2ax,x<b

當(dāng)Q>0時，有b>0,函數(shù)〃(X)=X2+2QX在(―8,—Q)上單調(diào)遞減，在(一凡與上單調(diào)遞增,

貝I〃(—Q)=g(_Q)——Q2<0,

這與以%)的最小值為半矛盾，故Q>0不成立；

當(dāng)Q<0時，有b<0,

當(dāng)時，〃(%)=12+2Q單調(diào)遞減，故九(%)在(―叫/?)不可能有最小值，

當(dāng)工￡也+8)時，力(x)=4”單調(diào)遞增,故九(%)的最小值為/伍)=4),

/y11

令4b=出，即解得6=-二，

22=24

又x<6時，A(x)=g(x)>g(Z))=gf-1K^-|>^

解得a<—V2.

8

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是-oo^-----

8

19.空集或非空有限集合A所含的元素個數(shù)通常被稱為集合A的基數(shù)或勢，記作］.如5=0,同=2.非

空集合8滿足，若實(shí)數(shù)xeB,則必有"eB.

x+1

(1)求豆的最小值并給出證明;

（2）若定義在3上的函數(shù)/（x）對任何xeB都有/（X）+/[E1]=3X,求〃x）的解析式；

（3）若（2,+。）78,對于（2）中的函數(shù)/（x）,判斷并證明/（司卜?2,+8））的單調(diào)性.

【答案】（1）3,證明見解析

312

，1X

（3）/（x）在（2,+co）上單調(diào)遞增，證明見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)xeB,逐步推導(dǎo)出集合2中可能存在的元素，再根據(jù)元素的互異性判斷合理性，由此可求

B；

（2）將（1）中集合3的三個元素代入可得三個方程，通過對三個方程聯(lián)立計算可得/（x）的解析式；

（3）先表示出/（玉）-/（/），對其結(jié)果進(jìn)行因式分解，代入毛,起的范圍判斷出/（苞）一/（%）的正負(fù)，

由此可知/（x）的單調(diào)性.

【小問1詳解】

由于2是非空集合，設(shè)實(shí)數(shù)xeB,

x-3。

2--------§2-1-

根據(jù)題意，—eB,進(jìn)而上4—=--eB,

x+11