1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用 北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)教案

九年級(jí)下1.5三角函數(shù)的應(yīng)用課題1.5三角函數(shù)的應(yīng)用單元第一單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)九年級(jí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)生活中的實(shí)際問(wèn)題體會(huì)銳角三角函數(shù)在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用；2.能夠建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．重點(diǎn)靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.難點(diǎn)靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧知識(shí)導(dǎo)入新課知識(shí)探究直角三角形就像一個(gè)萬(wàn)花筒，為我們展現(xiàn)出了一個(gè)色彩斑瀾的世界.我們?cè)谛蕾p了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實(shí)生活中不可能實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測(cè)量問(wèn)題中有著廣泛應(yīng)用，例如測(cè)旗桿的高度、樹(shù)的高度、塔高等.下面我們就來(lái)看一個(gè)問(wèn)題(多媒體演示泰坦尼克號(hào)).【思考問(wèn)題】與方向角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 如圖，海中有一個(gè)小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開(kāi)始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達(dá)該島的南偏西25°的C處.之后，貨輪繼續(xù)向東航行. 你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎? 請(qǐng)與同伴交流你是怎么想的?怎么去做? 解：要知道貨輪繼續(xù)向東航行途中有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)，只要過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如果AD>10海里，則無(wú)觸礁的危險(xiǎn). 根據(jù)題意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20海里.設(shè)AD=x海里.∵tan55°=BDX，tan25°=∴BD=xtan55°，CD=xtan25°∴xtan55°-xtan55°=20∴x=20tan答：貨輪繼續(xù)向東航行途中沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn).學(xué)生思考并回答問(wèn)題.并跟著教師的講解思路思考問(wèn)題，并探究知識(shí).導(dǎo)入新課，利用導(dǎo)入的例子引起學(xué)生的注意力.講授新課例題講解從剛剛思考問(wèn)題探究中，我們可以發(fā)現(xiàn)：利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案．【思考問(wèn)題】與仰角、俯角相關(guān)的測(cè)量與計(jì)算 如圖，小明想測(cè)量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為300,再往塔的方向前進(jìn)50m至B處，測(cè)得仰角為600，那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計(jì),結(jié)果精確到1m).現(xiàn)在你能完成這個(gè)任務(wù)嗎?要解決這問(wèn)題，我們?nèi)孕鑼⑵鋽?shù)學(xué)化.請(qǐng)與同伴交流你是怎么想的?準(zhǔn)備怎么去做?解:如圖，根據(jù)題意可知：∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m,則∠ADC=60°,∠BDC=30°,設(shè)CD=xm.∵tan∠ADC=ACX，tan∠BDC=∴AC=xtan60°，BC=xtan30°∴xtan60°-xtan30°=50∴x=20tan60°-tan答:該塔約有43m高.【思考問(wèn)題】利用傾斜角解決實(shí)際問(wèn)題 某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能,把傾角由原來(lái)的40°減至35°,已知原樓梯的長(zhǎng)度為4m,調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)多少?樓梯多占多長(zhǎng)一段地面?(結(jié)果精確到0.01m). 1.現(xiàn)在你能完成這個(gè)任務(wù)嗎? 2.請(qǐng)與同伴交流你是怎么想的?準(zhǔn)備怎么去做?可以將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再解決.轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題：如圖，根據(jù)題意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求(1)AB-BD的長(zhǎng).(2)AD的長(zhǎng).解：（1）∵sin40°=BCBD，∴BC=BD∵sin35°=BC∴AB=BCsin60°∴AB-BD≈4.48-4=0.48（m）答:調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)約0.48m.（2）∵tan40°=BCDC，∴DC=∵tan35°=BCAC，∴AC=∴AD=AC-DC=BC（1tan35°-=BDsin40°（1tan35°-1tan答:樓梯多占約0.61m長(zhǎng)的一段地面.【小結(jié)】用三角函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的一般步驟：（1）通過(guò)讀題把已知轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形；（2）找出直角三角形和已知、未知元素；（3）選擇合適的銳角三角函數(shù)求未知數(shù)；（4）解題.結(jié)合導(dǎo)入的思考和老師的講解，利用探究學(xué)會(huì)用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.老師在例題講解的時(shí)候，自己先思考，然后再聽(tīng)老師講解.講授知識(shí)，讓學(xué)生熟練利用探究會(huì)用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.鞏固加深對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用，也讓學(xué)生知道本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和重點(diǎn).隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記作a，b，c.(1)直角三角形的三邊之間的關(guān)系為a2+b2=c2(勾股定理)_；(2)直角三角形的兩個(gè)銳角之間的關(guān)系為_(kāi)∠A+∠B=90°；(3)直角三角形的邊和銳角之間的關(guān)系為sinA＝__ac__，cosA＝__bc__，tanA＝__ab__，tanB＝__2．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處與燈塔P的距離為(c) A．402海里 B．403海里 C．80海里 D．406海里 3.如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．為了測(cè)量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發(fā)，垂直上升100m到達(dá)A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則B，C兩地之間的距離為(A) A．1003m B．502m C．503m D.100334.某中學(xué)初三年級(jí)學(xué)生開(kāi)展測(cè)量物體高度實(shí)踐活動(dòng)，要測(cè)量一幢建筑物AB高度．如圖，他們先在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物AB頂點(diǎn)A的仰角為30°，然后向建筑物AB前進(jìn)20m到達(dá)點(diǎn)D處，又測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，則建筑物AB的高度是多少m？（結(jié)果用根式表示）解：設(shè)DB=xm，則在Rt△ADB中，AB=xtan60°=3xm，在Rt△ACB中，3xx+10=tan30°，即3x整理得，3x=x+10，解得，x=5，則AB=53m．故，建筑物AB的高度是53m 5.某日，一架直升飛機(jī)前往救援一艘剛在南海巡航的漁政船．當(dāng)飛機(jī)到達(dá)距離海面3000米的高空C處，測(cè)得A處漁政船的俯角為60°，測(cè)得B處發(fā)生險(xiǎn)情漁船的俯角為30°， 請(qǐng)問(wèn)：此時(shí)漁政船和漁船相距多遠(yuǎn)？(結(jié)果保留根號(hào))解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3000米，∴AD＝CDtan∠ACD＝10003

(米)在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CDtan∠BCD＝30003

(米)∴AB＝BD－AD＝20003

(米)答：此時(shí)漁政船和漁船相距20003米. 6.如圖4-21，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東30°方向上.已知在燈塔C的四周30km內(nèi)有暗礁．問(wèn)這艘船繼續(xù)向東航行是否安全？解：作CD⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．設(shè)CD=x.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CDAD，∴AD=CDtan同理，在Rt△BCD中，AD=CDtan∵AB=AD-BD，∴xtan30°-xtan又203≈34.64>30.因此，該船能繼續(xù)安全地向東航行．學(xué)生自主完課堂練習(xí)中的練習(xí)，然后在做完之后根據(jù)老師的講解進(jìn)一步鞏固知識(shí).學(xué)生自主完課堂練習(xí)中的練習(xí)，然后在做完之后根據(jù)老師的講解進(jìn)一步鞏固知識(shí).借助練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生的知識(shí)掌握程度，同時(shí)便于學(xué)生鞏固知識(shí).借助練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生的知識(shí)掌握程度，同時(shí)便于學(xué)生鞏固知識(shí).中考鏈接 1.某小區(qū)為了安全起見(jiàn)，決定將小區(qū)內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45°調(diào)為30°，如圖，已知原滑滑板AB的長(zhǎng)為4米，點(diǎn)D，B，C在同一水平地面上，調(diào)整后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)多少米？（結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449） 解：在Rt△ABC中，AC＝AB?sin45°＝4×22=2，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝22，在Rt△ADC中，AD＝2AC＝42，AD﹣AB＝42-4≈1.66．答：改善后滑板會(huì)加長(zhǎng)1.66米． 2.如圖，億隆小區(qū)內(nèi)有一條南北方向的小路MN，某快遞員從小路旁的A處出發(fā)沿南偏東53°方向行走258m將快遞送至B樓，又繼續(xù)從B樓沿南偏西30°方向行走172m將快遞送至C樓，求此時(shí)快遞員到小路MN的距離．（計(jì)算結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√3≈1.73） 解：過(guò)B作BD⊥MN于D，過(guò)C作CE⊥MN于E，過(guò)B作BF⊥EC于F， 則四邊形DEFB是矩形，∴BD＝EF，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠DAB＝53°，AB＝258m， ∴BD＝AB?sin53°＝258×0.8＝206.4，在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠CBF＝30°，BC＝172， ∴CF=12BC＝86 ∴CE＝EF﹣CF＝BD﹣CF＝206.4﹣86＝120.4m，答：快遞員到小路MN的距離是120.4m．學(xué)生自主完課堂練習(xí)中的練習(xí)，然后在做完之后根據(jù)老師的講解進(jìn)一步鞏固知識(shí).借助練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生的知識(shí)掌握程度，同時(shí)便于學(xué)生鞏固知識(shí).課堂小結(jié)在課堂的最后，我們一起來(lái)回憶總結(jié)我們這節(jié)課所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)：1.用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）通過(guò)讀題把已知轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形；（2）找出直角三角形和已知、未知元素；（3）選擇合適的銳角三角函數(shù)求未知數(shù)；（4）解題.2.三角函數(shù)的應(yīng)用：（1）與方向角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；（2）與仰角、俯角相關(guān)的測(cè)量與計(jì)算；（3）利用坡角解決實(shí)際問(wèn)題.跟著老師回憶知識(shí)，并