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文檔簡介
第01講全等三角形的概念與性質(zhì)
學習目標
課程標準學習目標
1.理解掌握全等形的概念并能夠判斷全等圖形。
①全等形的概念
2.理解全等三角形的概念并能夠判斷全等三角形。
②全等三角形的概念
3.掌握全等三角形的性質(zhì),并根據(jù)全等三角形的性質(zhì)熟
③全等三角形的性質(zhì)
練解決相關題目。
思維導圖
全等形
全等三角形的概念
對應邊
全等三角形的性質(zhì)對應角
周長與面積
知識清單
知識點01全等形的概念
1.全等形的概念:
形狀和大小完全一樣的兩個圖形叫做全等形。即能夠完全重合的兩個圖形叫做全等
形。
題型考點:①概念理解。②全等形判斷。
【即學即練1】
i.下列選項中表示兩個全等的圖形的是()
A.形狀相同的兩個圖形
B.周長相等的兩個圖形
C.面積相等的兩個圖形
D.能夠完全重合的兩個圖形
【解答】解:A、形狀相同的兩個圖形,不一定是全等圖形,故此選項錯誤,不符合題意;
B,周長相等的兩個圖形,不一定是全等圖形,故此選項錯誤,不符合題意;
C、面積相等的兩個圖形,不一定是全等圖形,故此選項錯誤,不符合題意;
。、能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形,故此選項正確,符合題意;
故選:D.
【即學即練2】
2.下列各項中,兩個圖形屬于全等圖形的是
【解答】解:A、兩個圖形不能完全重合,
8、兩個圖形不能完全重合,不是全等圖形,不符合題意;
C、兩個圖形能夠完全重合,是全等圖形,符合題意;
。、兩個圖形不能完全重合,不是全等圖形,不符合題意;
故選:C.
知識點02全等三角形
1.全等三角形的概念:
形狀和大小完全一樣的兩個三角形叫做全等三角形。即能夠完全重合的兩個三角形
叫做全等三角形。
2.全等三角形的相關概念:
如圖,若aABC與4DEF全等。則其中:
能夠重合的點叫做全等三角形的對應點
能夠重合的邊叫做全等三角形的對應邊
能夠重合的角叫做全等三角形的」
用符號“g”連接,讀作全等于。表示AABC烏4DEF。對應點必須寫在對應的位置。
題型考點:①判斷全等三角形的對應關系。
【即學即練1】
3.如圖,已知△ABC絲△£>££點A與點。,點B與點E,點C與點尸是對應頂點.寫出這兩個三角形的
對應邊和對應角.
【解答】解:???△ABCg/XOER點A與點。,點8與點E,點C與點尸是對應頂點,
,這兩個三角形的對應邊是:BCEF,ABDE,AC和。B
對應角是:/ABC和NDER/4CB和/。FE,NBAC和/磯E
【即學即練2】
4.如圖所示,已知△ABEgZkACZ),指出它們的對應邊和對應角.
【解答】解::△ABE四△ACQ,
...AB的對應邊是AC,BE的對應邊是CO,AE的對應邊是AO,
NB的對應角是/C,NBAE的對應角是/CAO,NE的對應角是ND
知識點03全等三角形的性質(zhì)
1.全等三角形的性質(zhì):
由全等三角形的性質(zhì)及其相關概念可知:
①全等三角形的對應邊相等。對應角也相等。
②全等三角形對應邊上的中線、高線、角平分線分別對應相等
③全等的兩個三角形它們的周長和面積分別對應相等。
【即學即練1】
5.如圖,已知△ABEgZkAC。,下列選項中不能被證明的等式是()
A
B.DB=AEC.DF=EFD.DB=EC
【解答】解:
:.AB=AC,AD=AE,ZB=ZC,故A正確;
:.AB-AD=AC-AE,即BD=EC,故O正確;
在△8。尸和中
rZB=ZC
<ZBFD=ZCFE
BD=CE
:./\BDF^/\CEF(ASA),
:.DF=EF,故C正確;
故選:B.
【即學即練2】
6.如圖,AABC^ADEF,EF=lQcm,貝!JBC=cm.
BC=EF=10cm.
故答案為:10.
【即學即練3】
7.如圖,LABC當ADEF,點、B、F、C、E在同一條直線上,AC,交于點M,ZACB=30°,則/AMF
的度數(shù)是_________
:.ZDFE=ZACB=30°,
??ZAMF是AMFC的一個外角,
ZAMF=ZDFE+ZACB=60°,
故答案為:60.
【即學即練4】
8.已知△ABC的三邊長分別為3,4,5,△。跖的三邊長分別為3,3x-2,2x+l,若這兩個三角形全等,
則x的值為()
A.2B.2或工C.1或旦D.2或工或旦
33232
【解答】解::△ABC與△。所全等,
;?3+4+5=3+3x-2+2x+1,
解得:x=2,
故選:A.
題型精講
題型01利用全等三角形的性質(zhì)求線段
【典例1]
如圖,AC±BE,DELBE,若△ABC2BDE,AC=5,DE=2,則CE等于()
A.2.5B.3C.3.5D.4
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AC=5,BC=DE=2,結(jié)合圖形計算即可.
【解答】解::/\ABC經(jīng)ABDE,AC=5,DE=2,
:.BE^AC=5,BC=DE=2,
:.CE=BE-BC=5-2=3,
故選:B.
【典例2】
如圖,AABC沿ADEF,點CD,B,尸在同一條直線上,BC=4,AC=2,CF=5,則2。的長為(
E
A
CDBF
A.1B.2C.5D.6
【分析】利用全等三角形的對應邊相等即可求得答案.
【解答】解:VAABC^ADEF,BC=4,AC=2,CF=5,
:.BC=EF=4,DF=AC=2,
:.BD=CB+FD-CF=4+2-5=1,
故選:A.
【典例3】
如圖,△ABC之△DCE,若AB=6,DE=13,則AO的長為(
D.19
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CO=A5,AC=DE,根據(jù)AO=AC-CO,即可求解.
【解答】解:VAABC^ADCE,AB=6fDE=13,
:.CD=AB=6,AC=DE=13,
:.AD=AC-CD=13-6=7,
故選:B.
【典例4】
如圖,在RtZXABC中,ZC=90°,AC=Ucm,BC=6cm,一條線段尸Q=AB,P,Q兩點分別在線段AC
和AC的垂線AX上移動,若以A、B、C為頂點的三角形與以A、P、。為頂點的三角形全等,則AP的
A.8cmB.12cmC.12cm或6cMD.12cm8cm
【分析】分兩種情況,由全等三角形對應邊相等,即可解決問題.
【解答】解:當△BCA也人陰。時,
.\AP—BC=6cm9
當△3CA2△QA尸時,
.'.PA=AC=12cm,
?'?AP的值是6cm或12cm.
故選:C.
題型02利用全等三角形的性質(zhì)求角度
【典例1】
如圖,AABC^AADE,ZB=28°,ZE=95°,NEAB=20°,則為()
A.77°B.62°C.57°D.55°
【分析】根據(jù)全等三角形的對應角相等得到/。=/8=28°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NEA。,進而
求出/R4D
【解答】解:VAABC^AADE,ZB=28°,
:.ZD=ZB=28°,
Z£A£>=180°-ZE-ZD=180°-95°-28°=57°,
:.ZBAD=ZEAB+ZEAD=510+20°=77°,
故選:A.
【典例2】
【分析】根據(jù)全等三角形對應角相等可知/a是a、6邊的夾角,然后寫出即可.
【解答】解:?.?三角形內(nèi)角和是180°,
:.a,b邊的夾角度數(shù)為:180°-71°-50°=59°,
:圖中的兩個三角形全等,
;.Na等于59°,
故選:B.
【典例3】
已知△AECgAADB,若/A=50°,ZABD=40°,則/I的度數(shù)為()
【分析】由全等三角形的性質(zhì)可得AB=AC,由等腰三角形的性質(zhì)可求NA8C的度數(shù),即可求解.
【解答】解:?.,△AEC絲△AD2,
:.AB=AC,
:.ZABC=NACB=&_NIA=65。,
2
:.Z1=ZABC-ZABD=65°-40°=25°,
故選:B.
【典例4】
如圖,已知△ABC絲△£>£/,CD平分NBCA,DF與BC交于點、G.若NA=26°,NCGP=83°,則NE
的度數(shù)是()
A.34°B.36°C.38°D.40°
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到NACD=NBCD=/NBCA,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到
26°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)解答即可.
【解答】解::⑺平分/BC4,
?■?ZACD=ZBCD-^ZBCA-
△ABg^DEF,
-NA=26°,
又ZCGF=ZD+/BCD,
:.ZBCD=ZCGF-ZD=Sr-26°=57°,
???N3CA=2X57°=114°,
AZB=180°-26°-114°=40°,
':AABC名ADEF,
???/£1=N5=40°,故。正確.
故選:D.
題型03全等三角形的面積與周長
【典例1】
已知△ABC之△OER且△ABC的周長為12c〃z,面積為6°優(yōu)2,則△。所的周長為cm,面積
為cm2.
【分析】利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.
【解答】解::AABC出ADEF,
...△ABC與△£>£下的面積相等,周長相等,
AABC的周長為12cm,面積為6cm2,
;.△DEF的周長為12cm,面積為6cm2,
故答案為12,6.
【典例2】
如圖,兩個全等的直角三角形重疊在一起,將其中的一個三角形沿著點B到C的方向平移到△£>£/的位置,
AB=6,DO=2,平移距離為4,則陰影部分面積為()
A.20B.24C.28D.30
【分析】根據(jù)平移性質(zhì)得到陰影部分面積等于梯形A2E。的面積,然后利用梯形面積公式求解即可.
【解答】解:由平移性質(zhì)得△ABC名△£)£/,BE=4,DE=AB=6,AB//DE,
:$ABC=SADEF,OE=DE-DO=4,ZABC=ZDEF^90°,
?''S陰影面積=SADEF-S/xOEC
=S/^ABC-S&OEC
=S梯形ABEO
=/x(6+4)X4
=20,
故選:A.
【典例3】
如圖,若LABC咨AEBD,且BQ=4,AB=8,則陰影部分的面積SMCE=
【分析】根據(jù)“全等三角形的對應邊相等"推知48=EB=8,BC=BD=4,然后結(jié)合三角形的面積公式
作答.
【解答】解:VAABC^AEBD,BD=4,A8=8,
:.AB=EB=8,BC=BD=4,
:.EC=EB-BC=8-4=4.
SAACE=-EC'AB=—x4X4=8.
22
故答案為:8.
【典例4】
如圖,在△ABC中,8O_LAC于點。,E是8。上一點,若ABAD沿4CED,AB=\Q,AC=14,則△CED
的周長為()
A.22B.23C.24D.26
【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出AB=EC,AD=ED,BD=DC,進而得出答案.
【解答】ft?:VABAD^AC£D,
:.AB=EC,AD=ED,BD=DC,
':AB=10,AC=14,
:.AD+DC=ED+DC=14,
:./\CED的周長為:ED+DC+EC=AC+EC^10+14=24.
故選:C.
【典例5】
如圖,△ABCg/VTS'C',其中4B=3,A'C=7,B'C=5,則△ABC的周長為
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.
【解答】解:?.,△ABCgZ\AB'C,,A'C=7,B'C=5,
:.AC^A'C=7,BC=B'C=5,
':AB=3,
:.AABC的周長=AB+BC+AC=15,
故答案為:15.
【典例6】
如圖,若AABC咨ADEF,AC=4,AB=3,EF=5,則△ABC的周長為
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進行解答即可.
【解答】解:;△ABC/ADEF,
.?.A2-3,AC=D尸=4,BC=EF=5,
:.AABC的周長=4B+AC+BC=3+4+5=12,
故答案為:12.
題型04方格中的全等
【典例11
如圖,在2X3的正方形方格中,每個正方形方格的邊長都為1,則N1和/2的關系是()
A.Z2=2Z1B.Z2-Zl=90°C.Zl+Z2=90°D.Zl+Z2=180°
【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.
【解答】解:如圖,
在△ABC與△BED中,
rAB=BE
-NABC=/BED=90°,
BC=ED
:.AABC咨ABED(SAS),
:.Z1=ZDBE.
VZDB£+Z2=90",
.,.Z1+Z2=9O°.
故選:C.
【典例2】
如圖所示的2X2的小正方形方格中,連接AB、AC、AD.則下列結(jié)論錯誤的是()
中B
A
A.Z1+Z2=Z3B.Z1+Z2=2Z3
C.Zl+Z2=90°D.Zl+Z2+Z3=135°
【分析】根據(jù)題意知,△ACT四△ABE,AACF^ABAE,所以由全等三角形的對應角相等進行推理論證
即可.
【解答】解:如圖,AACT咨AABE,AACF^ABAE,則/4=N2,Z1=Z5.
A、Z1+Z2=Z1+Z4=9O°>Z3,故符合題意.
B、Z1+Z2=2Z3=9O°,故不符合題意.
C、Z1+Z2=Z1+Z4=9O°>Z3,故不符合題意.
D、Z1+Z2+Z3=Z1+Z4+Z3=9O°+45°=135°,故不符合題意.
故選:A.
【典例3】
如圖是由4個相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖,其中N1+N2等于()
A.180°B.150°C.90°D.210°
【分析】根據(jù)SAS可證得△ABC絲△即C,可得出繼而可得出答案.
【解答】解:由題意得:AB=ED,BC=DC,ZD=ZB=90°,
:.AABC^AEDC(SAS),
:.ZBAC=Z\,
.?.Zl+Z2=180°.
故選:A.
【典例4】
如圖,是一個4X4的正方形網(wǎng)格,/1+/2+/3+/4+N5+/6+/7等于()
A.585°B.540°C.270°D.315°
【分析】根據(jù)正方形的軸對稱性得/l+N7=180°,Z2+Z6=180°,Z3+Z5=180°,Z4=45°.
【解答】解:由圖可知,CSAS),
:.Zl^ZOCD,
VZOCD+Z7=180°,
.,.Zl+Z7=180°,
同理得,Z2+Z6=180°,Z3+Z5=18O°.
又N4=45°,
所以Nl+N2+/3+N4+N5+/6+/7=585°.
故選:A.
強化訓練
1.與如圖全等的圖形是()
【分析】根據(jù)全等形的定義逐個判定即可得到答案;
【解答】解:由題意可得,
A、圖形與題干圖形形狀不一樣,故不符合題意;
8、圖形與題干圖形形狀一樣,故符合題意;
C、圖形與題干圖形形狀不一樣,故不符合題意;
。、圖形與題干圖形形狀不一樣,故不符合題意.
故選:B.
2.下列說法中,正確的有()
①形狀相同的兩個圖形是全等形;
②面積相等的兩個圖形是全等形;
③全等三角形的周長相等,面積相等;
④若AABC咨ADEF,則AB=EF.
A.1個B.2個C.3個D.4個
【分析】根據(jù)全等形的定義,全等三角形的判定與性質(zhì)判斷即可.
【解答】解:能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形,即形狀和大小相同的兩個圖形是全等形,故①②說
法錯誤;
全等三角形能夠完全重合,所以全等三角形的周長相等,面積相等,故③說法正確;
若AABC咨ADEF,/A的對應角為/£),所以A2的對應邊為所以故④說法
錯誤;
說法正確的有③,共1個.
故選:A.
3.如圖,已知方格紙中是4個相同的正方形,則/1+N2+N3的度數(shù)為()
A.90°B.105°C.120°D.135°
【分析】根據(jù)對稱性可得Nl+/3=90°,Z2=45°.
【解答】解:觀察圖形可知,N1所在的三角形與/3所在的三角形全等,
?,.Zl+Z3=90°,
又N2=45°,
/.Zl+Z2+Z3=135s,
故選:D.
4.如圖,LABC絲AEFD,則下列說法錯誤的是()
A.FC=BDB.EF平行且等于AB
C.AC平行且等于。ED.CD=ED
【分析】利用全等三角形的性質(zhì)進行推理即可.
【解答】解:A、:LABC出AEFD,
:.FD=CB,
:.FD-CD=BC-CD,
即FC=BD,故此選項不合題意;
B、VAABC^AEFD,
:.ZF=ZB,EF=AB,
:.EF//AB,故此選項不合題意;
C、,:△ABC”^EFD,
:./FDE=NBCA,
:.AC//DE,AC=DE,故此選項不合題意;
D、不能證明CD—ED,故此選項符合題意;
故選:D.
5.如圖,在△ABC中,在邊8c上取一點Q,連接A。,在邊上取一點E,連接CE.若△ADB-CDE,
ZBAD=a,則NACE的度數(shù)為()
A.aB.a-45°C.45°-aD.90°-a
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=CD,ZDCE=ZBAD,進一步可得/COE
=90°,ZACD=45°,即可求出NACE的度數(shù).
【解答】解:;AADB咨ACDE,
:.ZADB=ZCDE,AD=CD,/DCE=NBAD,
VZADB+ZC£)E=180°,
:.ZCDE=9Q°,
ZACD=ZCAD=45°,
VZBAD=a,
NDCE=a,
:.ZACE=45°-a,
故選:C.
6.如圖,N,C,A三點在同一直線上,N,B,M三點在同一直線上,在△ABC中,ZA:ZABC:ZACB
=3:5:10,又AMNC咨AABC,則/BCM的度數(shù)等于()
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NA=30°,ZBCA=100°,/ABC=50°,根據(jù)全等三角形的
性質(zhì)得出NNCM=NACB=100°,/N=NABC=50°,BC=NC,求出NNBC=/N=5Q°,求出NBCN
的度數(shù)即可.
【解答】解:,在△ABC中,ZA:ZABC:ZACB=3:5:10,ZA+ZABC+ZACB=180°,
;.NA=30°,ZBCA=100°,ZABC=50°,
':△MN8AABC,
:.ZNCM=ZACB=100°,ZN=ZABC=50°,BC=NC,
AZNBC=ZN=50°,
:.ZBCN=18O°-ZN-ZNBC=80°,
AZBCM=ZACB-ZBCN=100°-80°=20°,
故選:B.
7.如圖,AABC^AADE,且AE〃5£),ZBAD=96°,則NB4C的度數(shù)的值為()
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出A8=A0,/BAC=NDAE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NABO=N
AOB=96°,求出NAB£)=/A£)B=L(18(r-ZBAD)=42°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NZME=NA£)B,
2
求出/BAC=ZADB即可.
【解答】解::△ABC/△ADE,
:.AB=AD,ZBAC=ZDAE,
:.ZABD=ZADB,
\"ZBAD=96°,
ZABD=ZADB=^-(180°-ZBAD)=42°,
2
':AE//BD,
:./DAE=ADB,
,/ZBAC=ZDAE,
;.N8AC=NA£)8=42°,
故選:B.
8.如圖,AABC^AADE,。在BC上,連接CE,則以下結(jié)論:①A。平分/BOE;?ZCDE=ZBAD;
③NDAC=NDEC;@AD=DC.其中正確的個數(shù)有()
C.3個D.4個
【分析】由△ABCg/XADE,推出AB=AD,AC^AE,ZADE=ZB,ZBAC=ZDAE,再由等腰三角形
的性質(zhì),可以求解.
【解答】解:AC和DE交于。,
J.AB^AD,AC^AE,NADE=NB,ZBAC^ZDAE,
:.ZB=ZADB,ZBAD=ZCAE,ZACE=ZAEC,
:.ZADB=/ADE,ZACE=ZADB=/ADE,
平分
ZAOD=ZEOC,
:.ZDAC=ZDEC,
ZCDE+ZADE=ZB+ZBAD,
:.ZCDE=ZBAD,
由條件不能推出AD=DC,
①②③正確.
故選:C.
9.如圖,RtAABC^RtAEDC,且點B,C,E共線,若△ABC的面積為6,BE=1,則A£)=
【分析】設AC=6,8C=a且b>a,根據(jù)Rt/XABC絲RtZXEOC得EC=AC=>,DC=BC=a,貝l]BE
EC+BC=b+a=7,由△ABC的面積為6得ab=12進一步得到(b-a)2=1,即可得到答案.
【解答】解:設AC=6,8C=。且
,.?RtAABC^RtA£DC,
:?EC=AC=b,DC=BC=a,
/.BE=EC+BC=b+a=7,
「△A3c的面積為6,
?*,■^-ab=6,
?*ah~~12,
(b-a)2=(a+b)2-4a/?=72-4X12=1,
???AD=AC-CD=b-a=7i=l.
故答案為:1.
10.如圖,兩個全等的直角三角形重疊在一起,將其中的一個三角形沿著點8到C的方向平移到△OEF的
位置,AB=1,DP=3,平移距離為4,則陰影部分的面積為.
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)分別求出BE、DE,根據(jù)題意求出PE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、梯形的面積公
式計算,得到答案.
【解答】解:由平移的性質(zhì)知,BE=4,DE=AB=7,
:.PE=DE-DP=1-3=4,
根據(jù)題意得:△AB*ADEF,
SAABC=SADEF,
:?S陰影=S梯形(AB+PE)*BE=yX(7+4)X4=22,
故答案為:22.
11.如圖,點E是CD上的一點,RtZWCQgRt^EBC,則下結(jié)論:
?AC=BC,?AD//BE,③乙4c8=90°,?AD+DE=BE,
成立的有個.
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BE,CD=BC,ZACD=ZCBE,ZD=ZBCE,根據(jù)以上結(jié)
論即可推出AC<BC,ZD^ZBED,ZACB=9Q°,AD+DE=CD=BC>BE,即可判斷各個小題.
【解答】解:
VRtAACD^RtAEBC,
:.AC=BE,
?.,在RtZXBEC中,BE<BC,
.,.ACCBC,.?.①錯誤;
?:NCAD=NCEB=NBED=9Q°,ZD<ZCAD,
;./DWNBED,
AD和BE不平行,上②錯誤;
VRtAACD^RtAEBC,
/.ZACD=ZCEE,/D=NBCE,
VZCAD=90°,
ZACD+ZD=9O°,
:.ZACB=ZACD+ZBDE=9Q°,.?.③正確;
VRtAAC£)^RtA£BC,
:.AD=CE,CD=BC,
CD=CE+DE=AD+DE=BC,
\'BE<BC,
:.AD+DE>BE,.?.④錯誤;
故答案為:1.
12.如圖,于點A,AB=8,AC=4,射線AB于點3,一動點E從A點出發(fā)以2個單位/秒沿
射線AB運動,點。為射線上一動點,隨著E點運動而運動,且始終保持E£)=CB,若點E經(jīng)過f
秒G>0),△。跖與△BCA全等,則r的值為秒.
【分析】此題要分兩種情況:①當E在線段上時,②當E在上,再分別分成兩種情況AC=B£,
進行計算即可.
【解答】解:①當£在線段AB上,AC=B£時,AACB/ABED,
VAC=4,
:.BE=4,
.,.AE=8-4=4,
.?.點E的運動時間為4+2=2(秒);
②當E在BN上,AC=BE時,
VAC=4,
;.BE=4,
.\AE=8+4=12,
點E的運動時間為124-2=6(秒);
③當E在BN上,AB=EB時,/\ACB咨△BDE,
AE=8+8=16,
點E的運動時間為16+2=8(秒),
故答案為:2,6,8.
13.如圖,已知△ABC0點E在AB邊上,與AC相交于點四
(1)若AE=2,BC=3,求線段?!甑拈L;
(2)若/£>=35°,ZC=50°,求的度數(shù).
【分析】(1)由△ABC0ZXDEB,得到BE=BC=3,DE=AB,AB=AE+BE=2+3,即可得到£>E=5;
(2)由△ABCg△。仍,得到/A=/D=35°,ZDBE=ZC=50°,由三角形外角的性質(zhì)得到/AFO
=ZA+ZD+Z
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