2024-2025學年人教版八年級數(shù)學上冊專項復習：與三角形的角有關的計算（30題）（原卷版）

專題第01講與三角形的角有關的計算

1.（2022秋?海珠區(qū)校級期末）如圖，在△A2C中，AD是高，AE,8尸是角平分線，它們相交于點O,ZC

=70°.

(1)的度數(shù)為;

(2)若/ABC=60°,求ND4E的度數(shù).

2.（2023春?洛寧縣期末）如圖，AD為△A2C的高，AE,B尸為△ABC的角平分線，ZCBF=30°,NAFB

=70°.

(1)ZBAD='

(2)求ND4E的度數(shù).

3.（2023春?豐城市期末）如圖，在△ABC中，BD,C。分別是/ABC,/AC8的平分線，BP,CP分別是

NEBC,NFCB的平分線.

(1)當/48C=64°,ZACB=66°時，ZD=°,ZP=c

(2)ZA=56°,求/Q,/P的度數(shù)；

(3)請你猜想，當NA的大小變化時，尸的值是否變化？請說明理由.

4.(2023春?樂山期末)(1)如圖1,△ABC中，延長AB到M,BP平分NMBC,延長AC到N,CP平分

ZNCB,P3交PC于點P,若/A8C=a,ZACB=p,ZBPC=Q,求證：a=；

(2)如圖2,ZVIBC中，E是AB邊上一點，F(xiàn)是AC邊上一點，延長A8到尸8平分/MBC,PF平

分NEFC,BP交PF于點、P,若/AEF=a,ZACB=^,ZBPF=G,求證：9=

(3)如圖3,△ABC中，E是A8邊上一點，尸是AC邊上一點，延長E尸至UG,PB平分NA8C,PF平

分/AFG,BP交PF于點P,若ZACB=p,NBPF=6,探究并直接寫出a,p,9之間的等

量關系.

圖1

5.(2022秋?黃石期末)如圖，直線C￡(與跖相交于點。，NCOE=60°,將一直角三角尺A08(含30°

和60°)的直角頂點與。重合，OA平分/COE.

(1)求的度數(shù)；

(2)圖中互余的角有對；

(3)將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點0順時針旋轉，同時直線EF以每秒9°的速度繞點O順時針

旋轉，設運動時間為ts(0W/W40).

①當t為何值時，直線EP平分NA02.

②當t=時，直線EF平分/BOD

6.(2022秋?淮南期末)(1)如圖1,有一塊直角三角板XXZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直

角邊XKXZ分別經過點8、C.△A8C中，ZA=30°，貝INABC+NACB=,ZXBC+Z

XCB=__________

(2)如圖2,AABC的位置不變，改變直角三角板XFZ的位置，使三角板XN的兩條直角邊XKXZ

仍然分別經過8、C,那么NABX+/ACX的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出/

A8X+NACX的大小.

7.(2023春?欒城區(qū)校級期末)在△ABC中，點。在線段AC上，OE〃8c交A8于點E,點尸在線段A8

上(點尸不與點A,E,8重合)，連接。凡過點尸作交射線于點G.

①②③

(1)如圖1,點F在線段BE上.

①直接寫出NEDF與ZBGF的數(shù)量關系；

②求證：ZABC+ZBFG-ZEDF=90°；

(2)當點P在線段AE上時，請在備用圖中補全圖形，并直接寫出/即廠與NBGF的數(shù)量關系.

8.(2023春葉K江區(qū)期中)閱讀下列材料并解答問題:

在一個三角形中，如果一個內角a的度數(shù)是另一個內角度數(shù)的2倍，那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅

三角形”，其中a稱為“優(yōu)雅角”.例如：一個三角形三個內角的度數(shù)分別是、100°、，這個三角形就是

“優(yōu)雅三角形”，其中“優(yōu)雅角”為100°.反之，若一個三角形是“優(yōu)雅三角形”，那么這個三角形的

三個內角中一定有一個內角a的度數(shù)是另一個內角度數(shù)的2倍.

(1)一個“優(yōu)雅三角形”的一個內角為120。，若“優(yōu)雅角”為銳角，則這個“優(yōu)雅角”的度數(shù)為.

(2)如圖1,已知NMCW=60°,在射線0M上取一點A,過點A作交ON于點2,以A為端

點畫射線交線段于點C(點C不與點。、點B重合).若△AOC是“優(yōu)雅三角形”，求NAC8的度數(shù).

(3)如圖2,△ABC中，點。在邊BC上，平分/AOB交A8于點E,尸為線段上一點，1.ZAFE+

NAOC=180°,/FED=NC.若△ADC是“優(yōu)雅三角形”，求NC的度數(shù).

9.(2023春?邛江區(qū)期中)綜合與探究：愛思考的小明在學習過程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習題，他在思考過程

中，對習題做了一定變式，讓我們來一起看一下吧.在△ABC中，ZABC與/ACB的平分線相交于點P.

(2)如圖2,作△ABC的外角NNCB的平分線交于點。，試探究NQ與NBPC的數(shù)量關系.

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長線段3P,QC交于點E,在△BQE中，若/Q=4NE,求NA的度

數(shù).

10.(2022秋?海豐縣期末)綜合與探究:

【情境引入】

(1)如圖1,BD,分別是△ABC的內角NA8C,/AC8的平分線，說明/。=90°+工/4的理由.

2

【深入探究】

(2)①如圖2,BD,C。分別是AABC的兩個外角/E8C,NFC8的平分線，ND與/A之間的等量關

系是;

②如圖3,BD,C。分別是AABC的一個內角NA8C和一個外角NACE的平分線，BD,CD交于點Q,

探究/。與NA之間的等量關系，并說明理由.

圖1圖2圖3

11.(2023春?南陽期末)如圖，在△ABC中，BD,C￡＞分別是/ABC,NACB的平分線，BP,CP分別是

ZEBC,NFC8的平分線.

(1)若/A=30°,則°,/P=,ZD+ZP=

(2)當/A變化時，尸的值是否變化？請說明理由.

A

P

12.(2023春?洪洞縣期末)在△ABC中，A￡>_L3C于點D

B

DE

圖1備用圖

特例研究：

(1)如圖1,若N54C的平分線AE能交BC于點E,ZB=35°,/EAD=5°,求NC的度數(shù);

操作發(fā)現(xiàn):

如圖2,點N分別在線段AB,AC,將△ABC折疊，點2落在點尸處，點C落在點G處，折痕分別

為DM和DN,點G,尸都在射線ZM上;

(2)若NB+NC=60°,試猜想/AM尸與NANG之間的數(shù)量關系，并說明理由;

(3)將△￡)而繞點。逆時針旋轉，旋轉角記為a(0°<a<360°).記旋轉中的△￡)〃/為△ZJMiFi,

在旋轉過程中，點M,尸的對應點分別為Ml,Fi,直線MLFI,與直線BC交于點。，與直線AB交于點

P.若/8=35°,ZPQB=90°,請直接寫出旋轉角a的度數(shù).

13.(2023春?東方校級期末)在△ABC中，/ABC與NACB的平分線相交于點P.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,如果/A=70°,ZABC=50°,ZACB=60°,求/BPC的度數(shù)；

(2)如圖1,如果/A=a,用含a的代數(shù)式表示/8PC；

(3)探索：如圖2,作△ABC外角NM8C、/NCB的平分線交于點。試寫出N。、NA之間的數(shù)量關

系；

(4)拓展：如圖3,延長線段8P、QC交于點E,△8QE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，請

直接寫出NA的度數(shù).

14.(2023春?商水縣期末)【基本模型】

(1)如圖1,在△ABC中，8P平分/ABC,C尸平分外角/ACD試說明NP=2/A.

2

【變式應用】

(2)如圖2,/MON=90°,A,B分別是射線ON,0M上的兩個動點，NAB。與NBAN的平分線的

交點為P,則點A,8的運動的過程中，/P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)

生變化，請說明理由.

【拓展應用】

(3)如圖3,/MON=90°,作/MON的平分線。。，A是射線0D上的一定點，2是直線0M上的任

意一點(不與點。重合)，連接A8,設/AB。的平分線與/54O的鄰補角的平分線的交點為P,請直接

寫出NP的度數(shù).

圖1圖2圖3

15.(2023春?大荔縣期末)我們將內角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”.例如，在圖1中，△

A08的內角/AOB與△C。。的內角/C。。為對頂角，則△AOB與△C。。為“對頂三角形”，根據三角

形三個內角和是180°對頂三角形”有如下性質：ZA+ZB=ZC+ZD.

性質理解:

（1）如圖1,在''對頂三角形"△AOB與△CO。中，則NAOB=85°，則NC+N￡）=

性質應用:

(2)如圖2,在△ABC中，AD.8E分別平分N8AC和NABC,若/C=60°，N4DE比/BE。大8°，

求/BED的度數(shù).

拓展提高:

（3）如圖3,BE、CD是△ABC的角平分線，且NBOC和/BEC的平分線。P和“相交于點P,設/

A=a,請嘗試求出/P的度數(shù)（用含a的式了表示NP）.

C

16.（2023春?金華期末）數(shù)學興趣小組圍繞“三角形的內角和是180°”，進行了一系列探究，過程如下：

【論證】如圖1,延長8A至。，過點A作AE〃BC,就可以說明/8AC+/B+NC=180°成立，即：三

角形的內角和為180。，請完成上述說理過程.

【應用】如圖2,在AABC中，ABAC的平分線與NACB的角平分線交于點P,過點A作AE//BC,M

在射線AE上，且MC的延長線與AP的延長線交于點。.

①求NOCP的度數(shù)；

②設N8=a,請用a的代數(shù)式表示ND

【拓展】如圖3,在△A8C中，ZBAC=90°,ZACB=30°,過點人作￡/〃8C,直線MN與EF相交

于A點右側的點尸，NAPN=75°.△ABC繞點A以每秒12°的速度順時針方向旋轉，同時繞點尸

以每秒5°的速度順時針方向旋轉，與EF重合時MN再繞著點P以原速度逆時針方向旋轉，當△ABC

旋轉一周時，運動全部停止，設運動時間為f秒，在旋轉過程中，是否某一時刻，使得與AABC的

一邊平行？若存在，求/的值；若不存在，請說明理由.

17.（2023春?云浮期末）如圖1,在直角三角形4BC中，ZC4B=90°,NC=30°,現(xiàn)將△ABC繞點A

順時針旋轉a角度得到△AOE.

（2）NZMC與NBAE有怎樣的關系？請說明理由；

（3）在旋轉過程中，若0°<a<180°時，△>!￡）￡與△ABC這兩個三角形是否存在一組邊互相平行?

若存在，請求出a的所有可能取值.

18.（2023春?榮成市期末）實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線

與平面鏡所夾的銳角相等，如圖1,一束光線m射到平面鏡。上，被。反射后的光線為n,則入射光線m,

反射光線n與平面鏡a所夾的銳角/l=/2.

(1)如圖2,一束光線加射到平面鏡a上，被。反射到平面鏡b上，又被6反射，若被6反射出的光線

”與光線機平行，且/1=50°,則/2=,/3=；

(2)圖2中，當被b反射出的光線〃與光線機平行時，不論N1如何變化，/2與N1總具有一定的數(shù)

量關系，請猜想/2和N1的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)圖2中，請你探究：當任何射到平面鏡。上的光線“，經過平面鏡a、6的兩次反射后，入射光線

加與反射光線〃平行，求兩平面鏡。、6的夾角N3的度數(shù)；

(4)如圖3,一束光線,"射到平面鏡a上，被。反射到平面鏡b上，又被6反射，若被6反射出的光線

w與光線機垂直，求出此時NO的度數(shù)？(友情提示：三角形內角和等于180°)

圖1圖2圖3

19.(2023春?定興縣期末)綜合與實踐課上，同學們以“一個含30°角的直角三角尺和兩條平行線”為背

景開展數(shù)學活動，如圖，已知兩直線。，6且?！?,三角形ABC中，ZACB=90°,ZABC=6Q°,Z

54c=30°.操作發(fā)現(xiàn):

A

（1）如圖1,若/1=42°,求/2的度數(shù)；

（2）小聰同學把圖1中的直線。向上平移得到如圖2,請你探究圖2中的N1與/2的數(shù)量關系，并說

明理由.

（3）小穎同學將圖2中的直線。向上平移得到圖3,若/2=4/1,求/I的度數(shù).

20.（2023春?鹽都區(qū)期中）【教材呈現(xiàn)】蘇科版義務教育數(shù)學教科書七下第42頁第20題，是一道研究雙內

角平分線的夾角和雙外角平分線夾角的數(shù)學問題，原題如下.

在△ABC中，ZA=n0.

(1)設/8、/C的平分線交于點O,求/8OC的度數(shù)；

(2)設△ABC的外角NCB。、NBCE的平分線交于點。,，求NB。'C的度數(shù);

(3)/BOC與NBO,C有怎樣的數(shù)量關系？

【問題解決】聰聰對上面的問題進行了研究，得出以下答案：

如圖1,在△ABC中，ZA=n°.

(2)△ABC的外角NCB。、/BCE的平分線交于點O',則N8。'C的度數(shù)為；

(3)N80C與NBO'C的數(shù)量關系是.

(4)【問題深入】：

如圖2,在△ABC中，ZABC.ZACB的角平分線交于點O,將AABC沿MN折疊使得點A與點。重合，

請直接寫出N1+/2與/80C的一個等量關系式；

(5)如圖3,過AABC的外角/CBD、ZBCE的平分線的交點O',作直線PQ交AD于點P,交AE

于點Q.當NAPQ=/A。尸時，ZCO'。與/48C有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出結果.

21.(2023春?鄭城縣期中)已知AB〃CZ),直線MN交A3、CD交于點M、N.

MBA

AI

圖1圖2

(1)如圖1所示，點E在線段MN上，設/M8E=15°

(2)如圖2所示，點E在線段MN上，Z1=Z2,DF平分/EDC,交BE的延長線于點F,試找出/

AEN、/I、/3之間的數(shù)量關系，并證明；(提示：不能使用“三角形內角和是180?！?.

(3)如圖3所示，點2、C、。在同一條直線上，NA2C與NAC。的角平分線交于點尸，請直接寫出/

A與/尸的數(shù)量關系：.

22.（2023春?單縣期末）如圖①，平分/BAC,AE±BC,ZB=38°,ZC=64°.

圖①圖②

(1)求NDAE的度數(shù);

(2)如圖②，若把“AE_LBC”變成“點尸在的延長線上，F(xiàn)E1BC",/B=a,ZC=p(a<p),

請用a、p的代數(shù)式表示/DEE.

23.(2023春?秀英區(qū)校級月考)如圖，在△ABC中，ZCBD,/8CE是△ABC的外角，8P平分/ABC,

CP平分/ACB,BQ平分/CBD,C。平分/BCE.

(1)若/A=70°,求/尸=度；

(2)求/尸8。及NPC。的度數(shù)；

(3)若/A=a,求NP及/Q的度數(shù).(用含a的代數(shù)式表示)

24.(2023?東興區(qū)校級二模)如圖①，在△ABC中，NABC與NACB的平分線相交于點P.

(1)如果/A=80°,求/BPC的度數(shù)；

(2)如圖②，作△A8C外角NMBC,NNCB的角平分線交于點。，試探索/。、/A之間的數(shù)量關系.

(3)如圖③，延長線段2尸、QC交于點E,△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求NA的

度數(shù).

E

QQ

圖②圖③

25.(2023春?桂林期末)實驗與探究

小芳同學在用數(shù)學圖形軟件探究平行線的性質時，進行如下實驗與探究：在直線CD上取一定點N,作

一任意三角形MNP,過點M作直線A8〃CD,并標記/BMP為/I,/DNP為N2,請用平行線的相關

(1)如圖1,小芳發(fā)現(xiàn),當點尸落在直線A8與。之間時，總有Nl+N2=/P的結論，請你幫小芳說

明理由;

(2)將三角形MNP繞點N旋轉，當點P落在直線AB與C。之外時(如圖2),小芳發(fā)現(xiàn)Nl,Z2,Z

尸之間依然滿足某種數(shù)量關系，請你寫出這個數(shù)量關系，并說明理由;

(3)如圖3,當點尸落在直線48與CO之間時，小芳用數(shù)學軟件作出尸與/CNP的角平分線

和N。，交點為點0,發(fā)現(xiàn)/尸與NMQN之間也滿足某種數(shù)量關系，請你寫出這個數(shù)量關系，并說明理

由.

26.(2023春?徐州期末)已知：在△ABC中，/BAC=a.過AC邊上的點。作Z)E_LBC,垂足為點E.BF

為△ABC的一條角平分線，0G為/AOE的平分線.

①判斷/I與/2的數(shù)量關系，并說明理由；

②判斷8尸與G。的位置關系，并說明理由；

(2)如圖2,若0°<a<90°,點G在邊2C上，0G與的延長線交于點H,用含a的代數(shù)式表示

ZH,并說明理由；

(3)如圖3,若0°<a<90°,點G在邊AB上，OG與交于點用含a的代數(shù)式表示

則/BMD=.

27.(2023春?江都區(qū)期末)如圖，在△ABC中，ZB>ZC,AO_L8C于點。，AE平分N8AC.

（1）若/B=64°,ZC=42°,貝！J/￡）AE=0；

（2）/B、NC與/D4E有何數(shù)量關系？證明你的結論；

（3）點G是線段“上任一點（不與C、E重合），作GHLCE