2024-2025學年高中數(shù)學第1章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.2.2組合的綜合應用練習新人教A版選修2-3

PAGE2-2-2組合的綜合應用[綜合訓練·實力提升]一、選擇題（每小題5分，共30分）1．編號為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且隨意兩盞燈不相鄰，則不同的亮燈方案有A．60種B．20種C．10種D．8種解析四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個空檔中放入3盞亮燈，有Ceq\o\al(3,5)＝10種方案．答案C2．從4名男生和3名女生中選出4人參與某個座談會，若這4人中必需既有男生又有女生，則不同的選法共有A．140種B．120種C．35種D．34種解析分三種狀況：①1男3女共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)種選法．②2男2女共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)種選法．③3男1女共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)種選法，則共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＝34種選法．答案D3．某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運廣告．要求最終必需播放奧運廣告，且2個奧運廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有A．120種B．48種C．36種D．18種解析最終必需播放奧運廣告有Ceq\o\al(1,2)種，2個奧運廣告不能連續(xù)播放，倒數(shù)第2個廣告有Ceq\o\al(1,3)種，故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種不同的播放方式．答案C4．若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有A．60種B．63種C．65種D．66種解析和為偶數(shù)共有3種狀況，取4個數(shù)均為偶數(shù)有Ceq\o\al(4,4)＝1種取法，取2個奇數(shù)2偶數(shù)有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,5)＝60種取法，取4個數(shù)均為奇數(shù)有Ceq\o\al(4,5)＝5種取法，故共有1＋60＋5＝66種不同的取法．答案D5．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A．144B．120C．72D．24解析三人全相鄰的坐法，采納捆綁法，將三人“綁在一起”，相當于一個元素在四個位置中選一個，而三人要全排列，共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝24種；只有2人相鄰的坐法，從三人中任選兩人，將這兩人“綁在一起”，分類探討：①若這兩人坐(12)位，則第三人只能在4，5，6位中選一個位置，有3種坐法；②若這兩人坐(23)位，則第三人只能在5，6位中選一個位置，有2種坐法；③若這兩人坐(34)位，則第三人只能在1，6位中選一個位置，有2種坐法；④若這兩人坐(45)位，則第三人只能在1，2位中選一個位置，有2種坐法；⑤若這兩人坐(56)位，則第三人只能在1，2，3位中選一個位置，有3種坐法；這樣只有2人相鄰的坐法(這兩人要全排列)共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)(3＋2＋2＋2＋3)＝72種坐法；3人的全部可能的坐法為Aeq\o\al(3,6)＝120種；綜上可知，任何2人不相鄰的坐法種數(shù)為120－24－72＝24(種)．答案D6．將5本不同的書分給4人，每人至少1本，不同的分法種數(shù)有A．120種B．5種C．240種D．180種解析先從5本中選出2本，有Ceq\o\al(2,5)種選法，再與其他三本一起分給4人，有Aeq\o\al(4,4)種分法，故共有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240種不同的分法．答案C二、填空題（每小題5分，共15分）7．某校開設9門課程供學生選修，其中A，B，C三門由于上課時間相同，至多選一門．學校規(guī)定，每位同學選修4門，共有________種不同選修方案(用數(shù)字作答)．解析這里A，B，C三門課程“至多選一門”，即A，B，C三門課程都不選，或A，B，C這三門課程恰好選一門，所以分兩類完成：第1類，A，B，C三門課程都不選，有Ceq\o\al(4,6)種不同選修方案；第2類，A，B，C三門課程恰好選修一門，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(3,6)種不同選修方案．故共有Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(3,6)＝75種不同的選修方案．答案758．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員，現(xiàn)從中選出3名隊員排成1，2，3號參與團體競賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1，2號中至少有1名新隊員的排法有________種．解析兩老一新時，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種排法；兩新一老時，有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種排法，故共有48種排法．答案489．從6人中選4人分別到北京、哈爾濱、廣州、成都四個城市巡游，要求每個城市有一人巡游，每天只巡游一個城市，且在這6人中甲、乙不去哈爾濱巡游，則不同的選擇方案共有________種．解析當所選4人中沒有甲乙時，方案有Aeq\o\al(4,4)種；當所選4人中只有甲乙中一人時，方案有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種；當所選4人中有甲乙兩人時，方案有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)種，所以總的方案有240種．答案240三、解答題（本大題共3小題，共35分）10．（10分）從－11，－7，0，1，2，3，4，5八個數(shù)中，每次選出三個不重復的數(shù)作為直線Ax＋By＋C＝0中的字母A，B，C的值．問斜率k小于零的不同直線有多少條？解析(1)從－11，－7中選出兩個支配A，B，從0，1，2，3，4，5中選出一個支配C，則有Ceq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,2)種方法；(2)從1，2，3，4，5中選出兩個支配A，B，從余下的6個數(shù)中選出一個支配C，則有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6)種方法．但在(2)中，當A＝1，B＝2，C＝0和A＝2，B＝4，C＝0時兩條直線相同，同理，當A＝2，B＝1，C＝0時和A＝4，B＝2，C＝0時兩條直線也相同，所以，一共可以組成Ceq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6)－2＝130條斜率k小于零的直線．答案13011．（12分）一個質點從平面直角坐標系的原點O動身，每次沿坐標軸正方向或負方向移動1個單位，若經(jīng)過8次移動，質點落在點(1，5)處，則質點做的不同運動方式共有多少種？解析由題意知，有兩種情形：①沿x軸方向移動3次(2次正方向，1次負方向)，沿y軸正方向移動5次，共有Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(5,5)＝168種；②沿x軸正方向移動1次，沿y軸方向移動7次(6次正方向，1次負方向)，共有Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(7,7)Ceq\o\al(1,7)＝56種，于是共有224種．答案22412．（13分）從1到9的9個數(shù)中取3個偶數(shù)和4個奇數(shù)，則：(1)能組成多少個沒有重復數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中3個偶數(shù)排在一起的有幾個？(3)在(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個？(4)在(1)中隨意2個偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個？解析(1)分步完成：第1步，在4個偶數(shù)中取3個，可有Ceq\o\al(3,4)種狀況；第2步，在5個奇數(shù)中取4個，可有Ceq\o\al(4,5)種狀況；第3步，3個偶數(shù)，4個奇數(shù)進行排列，可有Aeq\o\al(7,7)種狀況，所以有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(7,7)＝100800個符合題意的七位數(shù)．(2)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起的個數(shù)共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,3)＝14400.(3)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起，4個奇數(shù)也排在一起的個數(shù)共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o