第07章 二次函數(shù)的最值問題-假期晉級利器之初升高數(shù)學銜接教材（解析版）

第7章二次函數(shù)的最值問題【知識銜接】————初中知識回顧————二次函數(shù)的增減性當時，在對稱軸左側，y隨著x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨著x的增大而增大；當時，在對稱軸左側，y隨著x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨著x的增大而減少．二次函數(shù)的最值一般二次函數(shù)求最值根據(jù)最值公式計算即可，或把對稱軸代入表達式，對應的函數(shù)值就是最值。————高中知識鏈接————給定自變量取值范圍求二次函數(shù)的最值①如果給定的范圍在對稱軸的一側，只需要計算兩個端點的函數(shù)值，兩個值中最大的為最大值，最小的為最小值。②如果給定的范圍包含對稱軸，需要計算兩個端點的函數(shù)值和頂點的縱坐標，三個值中最大的為最大值，最小的為最小值。具體歸納如下：1、一元二次函數(shù)時，2、一元二次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的最值。1°當，2°當，3°當時，4°時，3、一元二次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的最值類比2可求得。【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1．如菱形OABC的頂點A在x軸正半軸△BCD的最大值．【答案】．2．已知當x1=a，x2=b，x3=c時，二次函數(shù)對應的函數(shù)值分別為y1，y2，y3，若正整數(shù)a，b，c恰好是一個三角形的三邊長，且當a＜b＜c時，都有y1＜y2＜y3，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】．3．已知二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）．（Ⅰ）當b=2，c=-3時，求二次函數(shù)的最小值；（Ⅱ）當c=5時，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，求此時二次函數(shù)的解析式；（Ⅲ）當c=b2時，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應的函數(shù)值y的最小值為21，求此時二次函數(shù)的解析式．【答案】（Ⅰ）二次函數(shù)取得最小值-4．（Ⅱ）或．（Ⅲ）或．（Ⅲ）當c=b2時，二次函數(shù)的解析式為，它的圖象是開口向上，對稱軸為的拋物線．分三種情況進行討論，①對稱軸位于b≤x≤b+3范圍的左側時，即＜b；②對稱軸位于b≤x≤b+3這個范圍時，即b≤≤b+3；③對稱軸位于b≤x≤b+3范圍的右側時，即＞b+3，根據(jù)列出的不等式求得b的取值范圍，再根據(jù)x的取值范圍b≤x≤b+3、函數(shù)的增減性及對應的函數(shù)值y的最小值為21可列方程求b的值（不合題意的舍去），求得b的值代入也就求得了函數(shù)的表達式．（Ⅲ）當c=b2時，二次函數(shù)的解析式為．它的圖象是開口向上，對稱軸為的拋物線．①若＜b時，即b＞0，在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應的函數(shù)值y隨x的增大而增大，故當x=b時，為最小值．∴，解得，（舍去）．②若b≤≤b+3，即-2≤b≤0，當x=時，為最小值．∴，解得（舍去），（舍去）．高中經(jīng)典題型1．二次函數(shù)的圖象如圖所示，當﹣1≤x≤0時，該函數(shù)的最大值是（）A．3．125 B．4 C．2 D．0【答案】C．2．已知函數(shù)，存在，使得，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】根據(jù)題意，，由圖象可知，，，，故答案為．3．已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得對稱軸不在區(qū)間內(nèi)，解不等式可得實數(shù)的取值范圍，(2)根據(jù)二次函數(shù)圖像得得在x軸上方，即，解得實數(shù)的取值范圍．詳解：(1)因為開口向上，所以該函數(shù)的對稱軸是因此，解得所以的取值范圍是．(2)因為恒成立，所以，整理得解得因此，的取值范圍是．4．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．若點P是線段AC上方的拋物線上一動點，當△ACP的面積取得最大值時，點P的坐標是（）A．（4，3）B．（5，）C．（4，）D．（5，3）【答案】C．【分析】連接PC、PO、PA，設點P坐標（m，），根據(jù)S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC構建二次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)即可解決問題．【解析】連接PC、PO、PA，設點P坐標（m，）令x=0，則y=，點C坐標（0，），令y=0則，解得x=﹣2或10，∴點A坐標（10，0），點B坐標（﹣2，0），∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC==，∴x=5時，△PAC面積最大值為，此時點P坐標（5，）．故選C．【實戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實基礎————A組1．已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3【答案】B．【分析】由解析式可知該函數(shù)在x=h時取得最小值1、x＞h時，y隨x的增大而增大、當x＜h時，y隨x的增大而減小，根據(jù)1≤x≤3時，函數(shù)的最小值為5可分如下兩種情況：①若h＜1≤x≤3，x=1時，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，當x=3時，y取得最小值5，分別列出關于h的方程求解即可．2．一次函數(shù)與二次函數(shù)交于x軸上一點，則當時，二次函數(shù)的最小值為（）A．15B．-15C．16D．-16【答案】D【解析】分析：首先根據(jù)一次函數(shù)得出與x軸的交點坐標，從而得出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的增減性得出函數(shù)的最值．詳解：根據(jù)一次函數(shù)解析式可得與x軸的交點坐標為(－5，0)，將(－5，0)代入二次函數(shù)可得：25－10－b=0，解得：b=15，∴二次函數(shù)的解析式為：，∴在中當x=－1時，函數(shù)的最小值為－16，故選D．點睛：本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)與x軸的交點坐標問題，屬于中等難度題型．解決這個問題的關鍵就是得出一次函數(shù)與x軸的交點，從而得出二次函數(shù)解析式．3．二次函數(shù)y＝x2－2x－3，當m－2≤x≤m時函數(shù)有最大值5，則m的值可能為___________【答案】0或4【解析】分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖像和解析式，判斷出函數(shù)的最值的自變量x的值，然后根據(jù)m的范圍求出m的值即可．詳解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4．故答案為：0或4．點睛：此題主要考查了二次函數(shù)的最值，求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖像直接得出，第二種配方法，第三種公式法，此題關鍵是根據(jù)最值構造一元二次方程求解．4．如圖，點A，B的坐標分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a(x+m)2+n的頂點在線段AB上，與x軸交于C，D兩點（C在D的左側），點C的橫坐標最小值為﹣3，則點D的橫坐標的最大值為______．【答案】8【解析】分析：當C點橫坐標最小時，拋物線頂點必為A（1，4），根據(jù)此時拋物線的對稱軸，可判斷出CD間的距離；當D點橫坐標最大時，拋物線頂點為B（4，4），再根據(jù)此時拋物線的對稱軸及CD的長，可判斷出D點橫坐標最大值．詳解：當點C橫坐標為?3時,拋物線頂點為A(1,4)，對稱軸為x=1，此時D點橫坐標為5，則CD=8；當拋物線頂點為B(4,4)時,拋物線對稱軸為x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；由于此時D點橫坐標最大，故點D的橫坐標最大值為8；故選：D．點睛：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，用直接開平方法解一元二次等知識點，理解題意并根據(jù)已知求二次函數(shù)的解析式是解此題的關鍵．5．已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)值的最小值為，則的值是________．【答案】或【解析】分析：將二次函數(shù)配方成頂點式，分m<-1、m>2和-1≤m≤2三種情況，根據(jù)y的最小值為-2，結合二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．詳解：y=x2?2mx=(x?m)2?m2，①若m<?1，當x=?1時，y=1+2m=?2，解得：m=?；②若m>2，當x=2時，y=4?4m=?2，解得：m=<2(舍)；③若?1?m?2,當x=m時,y=?m2=?2，解得：m=或m=?<?1(舍)，∴m的值為?或，故答案為：?或．點睛：本題主要考查了二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類討論是解答本題的關鍵．6．若實數(shù)a，b滿足a+b2=1，則2a2+7b2的最小值是_____．【答案】2【解析】分析：根據(jù)得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值．詳解：∵∴，∴∵∴∴當，即b=0時，的值最小．∴最小值是2．7．在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸交于點A，二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A．（1）當m=4時，求n的值；（2）設m=﹣2，當﹣3≤x≤0時，求二次函數(shù)y=x2+mx+n的最小值；（3）當﹣3≤x≤0時，若二次函數(shù)﹣3≤x≤0時的最小值為﹣4，求m、n的值．【答案】（1）3（2）-15（3）m=2，n=-3【解析】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)與x軸的交點，求出A點的坐標，然后把A點坐標和m的值代入可求出n的值；（2）表示出二次函數(shù)的對稱軸，由m的值以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到二次函數(shù)的最值；（3）根據(jù)函數(shù)的對稱軸的位置，分類討論即可求出m、n的值．詳解：（1）當y=x+3=0時，x=﹣3，∴點A的坐標為（﹣3，0）．∵二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A，∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，∴當m=4時，n=3m﹣9=3．（2）拋物線的對稱軸為直線x=﹣，當m=﹣2時，對稱軸為x=1，n=3m﹣9=﹣15，∴當﹣3≤x≤0時，y隨x的增大而減小，∴當x=0時，二次函數(shù)y=x2+mx+n的最小值為﹣15．（3）①當對稱軸﹣≤﹣3，即m≥6時，如圖1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值為0，∴此情況不合題意；②當﹣3＜﹣＜0，即0＜m＜6時，如圖2，有，解得：或（舍去），∴m=2、n=﹣3；③當﹣≥0，即m≤0時，如圖3，有，解得：（舍去）．綜上所述：m=2，n=﹣3．點睛：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，正確判斷二次函數(shù)的對稱軸，以及函數(shù)的圖像與性質(zhì)，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)判斷其最值是關鍵，解題時應用到分類討論思想和方程思想．8．如圖,已知拋物線經(jīng)過A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）三點．（1）求此拋物線的解析式；（2）此拋物線有最大值還是最小值？請求出其最大或最小值；（3）若點D（2，m）在此拋物線上，在y軸的正半軸上是否存在點P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．學科-網(wǎng)【答案】（1）；（2）最大值為；（3）符合條件的點的坐標為或．【解析】分析：（1）將A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式；（2）由于二次項系數(shù)a=-＜0，所以拋物線有最大值，最大值為，代入計算即可；（3）先將點D（2，m）代入（1）中所求的拋物線的解析式，求出m的值，得到點D的坐標，然后假設在y軸的正半軸上存在點P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，再分三種情況進行討論：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一種情況都可以根據(jù)兩點間的距離公式列出關于y的方程，解方程即可．詳解：（1）將A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得，解得：，所以此拋物線的解析式為y=-x2+x+4；（2）∵y=-x2+x+4，a=-＜0，∴拋物線有最大值，最大值為；（3）∵點D（2，m）在拋物線y=-x2+x+4上，∴m=-×22+2+4=4，∴D（2，4），∵B（4，0），∴BD=．假設在y軸的正半軸上存在點P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，分三種情況：①如果PB=PD，那么42+y2=22+（y-4）2，解得y=，所以P1（0，）；②如果BP=BD，那么42+y2=20，解得y=±2（負值舍去），所以P2（0，2）；③如果DP=DB，那么22+（y-4）2=20，解得y=0或8，y=0不合題意舍去，y=8時，（0，8）與D，B三點共線，不合題意舍去；學=科網(wǎng)綜上可知，所有符合條件的P點的坐標為P1（0，），P2（0，2）．點睛：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線的最值的求法，等腰三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．運用分類討論、方程思想是解題的關鍵．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1、函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A、－7 B、－4 C、－2 D、22、已知函數(shù)在閉區(qū)間[0,m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是（）A、 B、[0,2] C、[1,2] D、3、如果函數(shù)對任意實數(shù)都有，那么（）A、 B、C、 D、4、若，且，那么的最小值為