孟華《自動控制原理》ch

第八章非線性控制系統(tǒng)NonlinearControlSystem2021/8/51內(nèi)容提要概述非線性特性的描述函數(shù)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)相平面圖，奇點和極限環(huán)非線性系統(tǒng)的相平面圖分析2021/8/52§8.1概述典型非線性特性非線性系統(tǒng)的運動特點非線性系統(tǒng)的研究方法2021/8/53一、典型非線性特性(一)飽和非線性輸入近似飽和特性輸出實際飽和特性M-Mb-b02021/8/54輸入0輸出KKh-h(二)死區(qū)非線性0輸入輸出Kb-b(三)間隙非線性2021/8/55(四)繼電器型非線性輸入輸出M-M0(a)輸出M-M0h-h輸入(b)輸入輸出M-M0h-h(c)輸出M-M0mh-mh輸入h-h(d)2021/8/56二、非線性系統(tǒng)的運動特點(一)穩(wěn)定性與系統(tǒng)的結(jié)構和參數(shù)及系統(tǒng)的輸入信號和初始條件有關。研究時應注意：1、系統(tǒng)的初始條件；2、系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。2021/8/57tE0e(t)(二)系統(tǒng)的零輸入響應形式某些非線性系統(tǒng)的零輸入響應形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關。2021/8/58非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵下，可以產(chǎn)生固定振幅和固定頻率的周期振蕩，這種周期振蕩稱為非線性系統(tǒng)的自激振蕩或極限環(huán)。(三)極限環(huán)（自激振蕩）2021/8/59e(t)頻率0振幅K′<0>0K

′K′=0K非線性彈簧M重物粘性阻尼器B系統(tǒng)微分方程：M+B+Kx+x=0K′3x..x.(四)頻率響應軟彈簧硬彈簧非線性彈簧力2021/8/510具有硬彈簧的機械系統(tǒng)具有軟彈簧的機械系統(tǒng)ω0ω40x51326K′<0系統(tǒng)進行強迫振蕩實驗時：M+B+Kx+x=PcoswtK′3x..x.ωω00x4K′>0123652021/8/511三、非線性系統(tǒng)的研究方法

相平面法適用于一階、二階系統(tǒng)描述函數(shù)法是一種等效線性化方法計算機仿真2021/8/512§8.2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念假設：非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構非線性N線性G(s)xyrc1.可以歸化為典型結(jié)構2.非線性特性以原點對稱3.線性部分具有良好的低通濾波特性描述函數(shù)：輸出的一次諧波分量與輸入信號的復數(shù)比。2021/8/513設y=f(x)將y展開成富里葉級數(shù)二、描述函數(shù)的計算方法式中由定義得2021/8/514三、描述函數(shù)計算舉例Mxy0yM0ππ2ωt0ππ2ωtx例1.繼電型非線性非線性特性以原點對稱，

A0=0y(t)為奇函數(shù)，A1=02021/8/5150x(t)Aπ2ππ-φ1φ1ωtx(t)=Asinwt

輸出y(t)k輸入x(t)Δ0-Δkπ2π0φ1π-φ1y(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

非線性的輸出例2.具有死區(qū)非線性特性的描述函數(shù)2021/8/516作輔助三角形AΔ2021/8/517死區(qū)非線性的描述函數(shù)為2021/8/518輸出y(t)k輸入x(t)b-b0π2π0π-φ1φ1x(t)Aωtx(t)=Asinwt

π2π0φ1π-φ1kby(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

飽和非線性輸出例3.飽和特性非線性由圖:2021/8/5192021/8/520飽和非線性的描述函數(shù)為2021/8/521例4.具有死區(qū)和滯環(huán)繼電器特性輸出y(t)M輸入x(t)mΔ0π2π0x(t)Aωtx(t)=Asinwt

π2π0y(t)ωty(t)y1(t)=Y1sin(wt+φ1）Δ2021/8/522在半個周期內(nèi)，繼電特性輸出為

式中,2021/8/523§8.3用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)1.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)特征方程1+G(s)=0G(s)RCs=jω時G(jω)=-1臨界狀態(tài)是一個點ω=0+-1ω→∞ReImG(jw)ω=002021/8/5242.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)特征方程1+N(A)G(s)=0N(A)G(s)當s=jω時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)是一條曲線G(jω)=-1N(A)ω=0+ω→∞G(jw)ω=0-1N(A)-1/N在G(jω)的左邊，系統(tǒng)是穩(wěn)定的ReIm0(a)2021/8/525-1N(A)ω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0(c)ω→∞0ReImG(jw)ω=0(b)ω=0+-1/N在G(jω)的右邊，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。-1N(A)-1/N與G(jω)相交，系統(tǒng)將產(chǎn)生極限環(huán)振蕩。2021/8/526極限環(huán)的穩(wěn)定性ω=0+ω→∞0ReImG(jw)-1N(A)ABA"B"A′B′穩(wěn)定區(qū)非穩(wěn)定區(qū)A點是不穩(wěn)定極限環(huán)B點是穩(wěn)定極限環(huán)2021/8/5273.描述函數(shù)法的應用用途：判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是否存在極限環(huán)步驟：求描述函數(shù)N畫出-1/N與G(jω)曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2021/8/528應用描述函數(shù)法的基本假設：1、系統(tǒng)可歸化為如下的典型結(jié)構。2、非線性特性以原點對稱，且輸出中的高次諧波振幅小于基波振幅。3、線性部分的低通濾波效應較好。N(A)G(s)c(t)r(t)=02021/8/529例1.解：

kx(t)y(t)C(s)-bbR(s)G(s)求N：A=b時：A→∞時：2021/8/530在復平面上畫圖：0ReImω=0+ω→∞G(jw)-1N(A)-1N(A)可求出k臨界值：先求ωc再求由-1/N=G(jw)k=10.045=22.5k值較小時，-1/N在G(jw)的左邊，系統(tǒng)穩(wěn)定k值較大時，-1/N與G(jw)相交，系統(tǒng)有穩(wěn)定極限環(huán)如設b=1,k=30所以A=1.6極限環(huán)振蕩的振幅為1.6，頻率為7.07。2021/8/531例2.

cx(t)y(t)C(s)-bbR(s)G(s)解：求N：A=b時：A→∞時：必有極值2021/8/532求出該極值極值為：wG(jw)0ReIm-1N(A)AAAB畫圖2021/8/533求穩(wěn)定極限環(huán)振蕩的振幅和頻率設b=0.1，c=5極值點在0.03，此時的A=0.1414wG(jw)A=0.11ω=7A=0.22ω=7-0.030ReIm-1N(A)AAA=0.1414求出2021/8/534例3.解：Aω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0-2-1N(A)8Mπ,ω=1A=4s(s+1)2

M-My(t)x(t)-x(t)02021/8/535令G(jw)的虛部為零,求得交點處的頻率w

1-w2=0代入G(jw)的表達式，得w=1(弧度/秒)交點處的參數(shù)應滿足即自激振蕩的振幅A=8M/p，頻率w=1。A=8M/p2021/8/536例4系統(tǒng)如圖。其中滯環(huán)非線性特性參數(shù)M=4，

=1。試分析該非線性系統(tǒng)是否存在自激振蕩。解描述函數(shù)其中2021/8/537因此

虛部為一常數(shù)線性部分的頻率特性G(jw)可寫為

由-1/N(A)=G(jω)求得

ω=1.14

A=5.1A=5.1ω=1.14-1N(A)-0.20ReIm-1+ω=0G(jw)2021/8/5384、非線性系統(tǒng)結(jié)構圖的簡化為了應用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自激振蕩，需要將實際系統(tǒng)的各種結(jié)構形式歸化為典型結(jié)構。在討論自激振蕩時，只研究系統(tǒng)內(nèi)部的周期運動，并不考慮外部作用。因此，在將結(jié)構圖歸化時，可以認為所有外作用均為零。2021/8/539（1）并聯(lián)非線性eN1N2Gc先求各非線性的描述函數(shù)N1(A)和N2(A)，并聯(lián)非線性特性的描述函數(shù)為

N(A)=N1(A)+N2(A)2021/8/540（2）串聯(lián)非線性串聯(lián)非線性的描述函數(shù)不等于兩個非線性描述函數(shù)的乘積。當兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，則先將兩個環(huán)節(jié)的特性等效為一個特性，然后求總描述函數(shù)N(A)。注意:

調(diào)換串聯(lián)的前后次序，等效特性將會不同。因此不能隨便更改位置，這一點是與線性環(huán)節(jié)串聯(lián)有所區(qū)別的。N1N2xuy2021/8/541假定圖中N1為死區(qū)非線性，N2為飽和非線性：xuyxuk1a1uyk2b1xyk1k2a1a1+yx串聯(lián)后復合非線性2021/8/542非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)等效特性的求法：

MSyxu=K(x-b)x>bK(x+b)x<-b0x<b-Mu<-Δy=Mu>Δ0u<Δ-Mx<-sy=Mx>s0x<s也即：u=K(x-b)>Δ,x>Δ

/K+b=s

MΔ

Kbxyu2021/8/543§8.4相平面圖相平面法是一種用圖解法求解一階、二階微分方程的方法。是狀態(tài)空間分析法在二維空間中的應用，該方法適合于研究二階系統(tǒng)。2021/8/544一、相平面圖的基本概念二階系統(tǒng)令x1=x,x2=x.2021/8/545相平面：以相變量x1和x2為坐標構成的平面。相軌跡：在相平面上，由(x1，x2)以時間t為參變量構成的曲線。ACBx1=xx2=x.2021/8/546二、相平面圖的繪制對于二階系統(tǒng)f(x,)x..x.+=0(x,)以x,為相變量，可得到相軌跡通過點的斜率x.x.x.=dxdx.f(x,)x.－2021/8/547(一)相平面圖的特點1、對稱性x.a.關于軸對稱即f(x,)是關于x的奇函數(shù)。x.x.=f(x,)x.f(-x,)x.－x.f(x,)x.=f(-x,)x.－或2021/8/548b、關于x軸對稱即f(x,)是的偶函數(shù)。x.x..-f(x,-)x.x.=f(x,)x－x.f(x,)x.=f(x,-)x.或c、關于原點對稱即f(x,)=-f(-x,-)x.x..x.=f(x,)x－x.f(-x,-)x.

2021/8/549普通點相平面上不同時滿足=0和f(x,)=0的點。x.x.奇點相平面上，同時滿足=0和f(x,)=0的點。x.x.2.奇點和普通點3.相軌跡通過x軸的斜率所以，除了奇點外，相軌跡和x軸垂直相交。在x軸上，所有點都滿足=0。除奇點外相軌跡在x軸上的斜率為x.x.=dxdx.f(x,)x.－=∞2021/8/550ACBx1=xx2=x.4.相軌跡移動的方向上半平面：x>0dt>0,dx>0相軌跡方向自左向右下半平面：x<0dt>0,dx<0相軌跡自右向左橫軸：x=0dt>0,dx=0相軌跡與橫軸正交系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動方向由相軌跡上的箭頭表示。2021/8/551(二)繪制相平面圖的解析法例1試繪制二階系統(tǒng)的相平面圖。解：系統(tǒng)方程改寫為積分得相軌跡方程xx.0x02021/8/552圖解法:等傾線法圓弧近似法

(三)繪制相平面圖的圖解法

——等傾線法先用等傾線確定相軌跡斜率的分布，再繪制相軌跡曲線。2021/8/553設系統(tǒng)方程為得等傾線方程：令=a

dxdx./x.a=-1a=-1.2a=-1.4a=-1.6a=-1.8a=-2a=-2.5a=-3a=-4a=-6a=-11a=9a=4a=2a=1a=0.5a=0a=-0.2a=-0.4a=-1xABCDE改寫為：直線的斜率2021/8/554例2xx.解：

+a+x=0x..x.

-

a+x=0x..x.x.>0x.<0的相平面圖求

+a||+x=0x..x.上半平面的等傾線方程：x.1a+a=-x2021/8/555三、由相軌跡求時間響應曲線由x.=dxdtx.=dxdtΔxBCΔxCDΔtCDΔtABΔtBCtΔxABxABCDxABCDΔxABΔxCDΔxBCx.CDx.BCx.ABx.2021/8/556平衡點處的斜率§8.5奇點和極限環(huán)一、奇點奇點就是系統(tǒng)的平衡點。斜率不確定平衡點運動的速度為0運動的加速度為02021/8/557二、奇點的類型特征根：(1)0＜ζ＜1jωσ穩(wěn)定焦點xx.2021/8/558(2)0＞ζ＞-1jωσ不穩(wěn)定焦點

xx.(3)ζ＞1jωσ穩(wěn)定節(jié)點xx.2021/8/559(4)ζ＜-1σjω不穩(wěn)定節(jié)點xx.(5)ζ＝0jωσ中心點

xx.2021/8/560兩個異號實根jωσ(6)鞍點xx.2021/8/561在奇點(0,0)處，系統(tǒng)的線性化方程為.x.x.+0.5+2x=0例3分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性.x.x.+0.5+2x+x2=0解：求得奇點(0,0)和(-2,0).x.x.+0.5+(2+2xi)x=0在奇點(xi,0)附近，系統(tǒng)的線性化方程為x.=0x.=0.在奇點(-2,0)處，系統(tǒng)的線性化方程為.x.x.+0.5-2x=024-224-4xx.2021/8/562三、極限環(huán)極限環(huán)(limitcycle)是非線性系統(tǒng)所特有的自激振蕩現(xiàn)象，在相平面圖中表現(xiàn)為一個孤立的封閉軌跡。(1)穩(wěn)定極限環(huán)(2)不穩(wěn)定極限環(huán)極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡曲線都從極限環(huán)發(fā)散。xx.極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡曲線都收斂于該極限環(huán)。xx.2021/8/563(3)半穩(wěn)定極限環(huán)極限環(huán)分割的兩個區(qū)域都是穩(wěn)定的，或都是不穩(wěn)定的。xxx.x.2021/8/564§8.6非線性系統(tǒng)的相平面分析分析步驟：根據(jù)非線性的線性分段情況，把相平面分成幾個區(qū)域。畫出各段的相軌跡。將相鄰區(qū)域的相軌跡連接起來。分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)誤差。2021/8/565Ks(Ts+1)mecrNme10e0-e0k系統(tǒng)方程可寫為T+=Kmc..c.ke|

e

|<e0e|

e

|>e0m=e

=r-cT++

Km=e..e.T+r..r.例1：試分析下面的非線性系統(tǒng)設r=12021/8/566將相平面分成兩個區(qū)域

ⅡⅠe0e0e0e.xx.I區(qū)xx.II區(qū)2021/8/567(一)階躍響應分析r(t)=R·1(t)

AⅡⅠe0e0e0BCDEFe.在區(qū)域Ⅰ內(nèi)

T++kKe=0e..e.在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T++Ke=0e..e.II區(qū)的終態(tài)是I區(qū)的初態(tài)。實奇點虛奇點開關線2021/8/568(二)斜坡響應分析

r(t)=R+Vt

T++kKe=V|

e

|<e0

e..e.T++Ke=V|

e

|>e0

e..e.BAeⅡⅠCDEp1p20e0e0(b)kKe0＜V＜Ke0,R=0e.p2p1ABe0-e0eⅠⅡ0e.當V＜kKe0,R＞e0時：奇點：開關線在奇點的右側(cè)初態(tài)：2021/8/569Ks(Ts+1)+M-Mmecr元件特性：當e＞0時,m=M;當e＜0時,m=-M.分界線e=0。將相平面分成Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)

eⅠe.ⅡA0

eⅠe.ⅡA1A2在區(qū)域Ⅰ內(nèi)T+=-KMe..e.等傾線方程：e.-KM/Ta+1/T=e>0,m=M，系統(tǒng)方程為：在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T+=KMe..e.e<0,m=-M系統(tǒng)方程為：與T+=-KMe..e.其相平面圖對稱于原點比較,例2：2021/8/570M-MΔ-Δem非線性特性為當e＞D,m=+M當e＜-D,m=-M當-D＜e＜D,m=0元件特性為：分界線為e=+D和e=-D，它們將相平面分為三個區(qū)域eⅠⅡe.Ⅲ在區(qū)域Ⅰ內(nèi)T+=-KMe..e.在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T+=KMe..e.在區(qū)域Ⅲ內(nèi)T+=0e..e.相軌跡斜率為：例3：系統(tǒng)結(jié)構同前。2021/8/571M-MΔ-Δem若繼電元件有滯環(huán)特性eⅠⅡe.在＞0時的平面內(nèi)，分界線為e=+D。在＜0時的平面內(nèi)，分界線為e=-D。它們把相平面分為兩部分。e&e&其右半平面，系統(tǒng)在+M信號作用下，系統(tǒng)方程為：T+=-KMe..e.相軌跡為曲線族Ⅰ。其左半平面，系統(tǒng)在-M信號作用下，系統(tǒng)方程為：T+=KMe..e.相軌跡為曲線族Ⅱ。2021/8/572KTs+M-Mmecr例4：s1c.b(1)無局部負反饋b時：r=0

時,e=-c求解，得：Ic.cII2021/8/573(2)有局部負反饋b時：KTs+M-Mmecr續(xù)例4：s1c.be=-c-bc（r=0）

.當e>0：c+bc<0

.c+bc>0

.當e<0：因此，轉(zhuǎn)換線方程為：c+bc=0

.即c.IcII2021/8/574解：列寫運動方程

s+1rex1uy-2y=u..例5：非線性系統(tǒng)如下。在t＝0時加上一個幅度為6的階躍輸入，系統(tǒng)的初始狀態(tài)，問經(jīng)過多少秒，系統(tǒng)狀態(tài)可到達原點。e+e>0e+e<0..y=-e....于是有

-0.5,e+e>00.5,e+e<0e=....①②2021/8/575區(qū)域①：..e=-0.5e=-0.5t

+c1e=-0.2