高中導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案

教教師姓名教學(xué)教數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容個(gè)性化學(xué)習(xí)問(wèn)題解決師填寫(xiě)時(shí)間課時(shí)上課時(shí)間課時(shí)基礎(chǔ)知識(shí)回顧，典型例題分析冊(cè)教學(xué)重導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定積分與微積分導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的物理及幾何意義基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的極值與最值研究最優(yōu)化問(wèn)題計(jì)算定積分定積分的應(yīng)用1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟..（1）求函數(shù)的改變量Δy2）求平均變化率Δy.（3）取極限，得導(dǎo).2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義幾何意義：曲線f（x）在某一點(diǎn)（x0，y0）處的導(dǎo)數(shù)是過(guò)點(diǎn)（x0，y0）的切線的物理意義：若物體運(yùn)動(dòng)方程是s=s（t在點(diǎn)P（i0，s（的解析：斜率.；瞬時(shí)速度.3.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x)'xlna.4.運(yùn)算法則①求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(v,(v,v21.重點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算法則，熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的計(jì)算和曲線的切線方程的求法2.難點(diǎn)：切線方程的求法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)3.重難點(diǎn)：借助于計(jì)算公式先算平均增長(zhǎng)率,再利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)的問(wèn)題.（1）平均變化率的實(shí)際含義是改變量與自變量的改變量的比。點(diǎn)撥:解題規(guī)律技巧妙法總結(jié):計(jì)算函數(shù)的平均增長(zhǎng)率的基本步驟是(3)計(jì)算平均增長(zhǎng)率:Δy=f(x2)f(x1)1x2=8故當(dāng)x∈[1,2]時(shí),g(x)的平均增長(zhǎng)率大于f(x)的平均增長(zhǎng)率.（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要堅(jiān)持“將求導(dǎo)進(jìn)行到底”的原則,2,則y點(diǎn)撥：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練,其2x與x系數(shù)不一樣也是一個(gè)復(fù)合的過(guò)程,有的同學(xué)忽視了,導(dǎo)致（3）求切線方程時(shí)已知點(diǎn)是否切點(diǎn)至關(guān)重要。點(diǎn)撥：點(diǎn)P在函數(shù)的曲線上，因此過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率就是y,在x=1處的函數(shù)值；點(diǎn)Q不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過(guò)設(shè)切點(diǎn)的方法求切線．切忌直接將P，Q看作曲線上的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)求解。2:y,=4x.:y,=4EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(0),0):2x02題型1.求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值f(xΔx)f(x)[例1]設(shè)函數(shù)f(x)在x處可導(dǎo)，則lim00等于A．f'(x)0B．f'(x)0C．f(x)0D．f(x)0【解題思路】由定義直接計(jì)算f(xΔx)f(x)f[x+(Δx)]f(x)=f,(x).故選B0【名師指引】求解本題的關(guān)鍵是變換出定義式EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2147483646(i),x)f(x+EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(Δx),Δx))一f(x)=f,(x0)考點(diǎn)2.求曲線的切線方程[例2](高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考)如圖，函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是f(5)+f,(5)=.【解題思路】區(qū)分過(guò)曲線P處的切線與過(guò)P點(diǎn)的切線的不同，后者的P點(diǎn)不一定在曲線上.解析:觀察圖形,設(shè)P(5,f(5)),過(guò)P點(diǎn)的切線方程為yf(5)=f'(5)(x5)即y=f'(5)x+f(5)5f'(5)故f(5)+f,(5)=2【名師指引】求切線方程時(shí)要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)．若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).題型3.求計(jì)算連續(xù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率s)，求小球在t=5時(shí)的加速度.【解題思路】計(jì)算連續(xù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率實(shí)際上就是y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù).解析：加速度v=lim2-52【名師指引】計(jì)算連續(xù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率的基本步驟是lim【新題導(dǎo)練】.和y=x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是.1解析：曲線y=和y=x2在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)x它們與x軸所圍成的三角形的面積是3.4點(diǎn)撥::與切線有關(guān)的問(wèn)題,應(yīng)有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的意識(shí),求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)只要聯(lián)立解方程組即可.A1B3C．7D．13解:B點(diǎn)撥:計(jì)算lim=1),即y=2x1x－x12①-2)x+x22－4②∵兩切線重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,點(diǎn)撥:利用解方程組求交點(diǎn),利用直線間的位置和待定系數(shù)法求斜率.考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算x【解題思路】按運(yùn)算法則進(jìn)行xxxx1=x題型2:求導(dǎo)運(yùn)算后求切線方程23（1）若a=1，點(diǎn)P為曲線y=f(x)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方（2）若函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a.【解題思路】先按運(yùn)算法則求導(dǎo),再按幾何意義求切線方程.【名師指引】求三次函數(shù)圖象的切線在高考中經(jīng)常出現(xiàn).1e題型3:求導(dǎo)運(yùn)算后的小應(yīng)用題【解題思路】先對(duì)t的求導(dǎo),再代t的數(shù)值.:f'(40)==選D【名師指引】求某一時(shí)刻的降雨量相當(dāng)于求瞬時(shí)變化率,即那一時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值.【新題導(dǎo)練】.思路分析:按導(dǎo)數(shù)乘積運(yùn)算法則先求導(dǎo),然后由已知條件構(gòu)造關(guān)于k的方程求解.則則fff12解析:先求瞬時(shí)速度后,再代入公式求解提3125J基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練13兀2.(廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考)y=xcosx在x=處的導(dǎo)數(shù)值是.3___________3.已知直線x+2y－4=0與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是拋物線的弧上求一點(diǎn)P，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為.解析：|AB|為定值，△PAB面積最大，只要P到AB的距離最大，只要點(diǎn)的切線的切點(diǎn)，設(shè)P（x,y）.由圖可知，點(diǎn)P在x軸下方的圖象上∴-EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up1(=),B)∴-（m<04.(廣東省深圳市2008年高三年級(jí)第一次調(diào)研考試)已知（m<02直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．求直線l的方程及解：依題意知：直線l是函數(shù)f(x)=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線，故其斜率又因?yàn)橹本€l與g(x)的圖像相切，所以由1已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切，且l2與函數(shù)f(x)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線1112比較①和②的系數(shù)得—121:a=綜合拔高訓(xùn)練y=f,(x)的導(dǎo)數(shù)，若f,,(x)=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱(chēng)點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”?，F(xiàn)已知（1）求函數(shù)f(x)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo);（2）求證f(x)的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱(chēng);并寫(xiě)出對(duì)于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的:拐點(diǎn)A(1,2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)322x2:右邊=右邊:)在y=f(x)圖象上:y=f(x)關(guān)于A對(duì)稱(chēng)12y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同。（2）用a表示b，并求b的最大值。3f'(x)=x+2,g'(x)=x3x052f'(x)=x+2a,g'(x)=x202-3a2lna=a2-3a2lna5令h(t)=t2-3t2lnt(t>0)，則h'(t)=2t(1-3lnt)，于是211故h(t)在(0,+∞)的最大值為h(eEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up14(1),3))=2,故b的最大值為2a22aa2c442a22c:fac2a1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：ff(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi).解析：?jiǎn)握{(diào)遞增；單調(diào)遞減2.判別f(x0)是極大、極小值的方法若x0滿足f=0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)是極值，解析：極大值點(diǎn)；極小值.3．解題規(guī)律技巧妙法總結(jié):求函數(shù)的極值的步驟:(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.4．求函數(shù)最值的步驟1）求出f(x)在(a,b)上的極值.（2）求出端點(diǎn)函數(shù)值f(a),f(b).（3）比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值.1.重點(diǎn)：熟悉利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值與最值的一般思路，熟練掌握求常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值與最值的方法2.難點(diǎn)：與參數(shù)相關(guān)單調(diào)性和極值最值問(wèn)題3.重難點(diǎn)：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題（1）在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。+增+增FF’(x)0（2）借助導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究不等關(guān)系關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù).問(wèn)題2.已知函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，若xf’(x)>f(x)在x>0時(shí)恒成立.求證：函數(shù)g在上是增函數(shù)；（2）求證：當(dāng)x1>0,x2>0時(shí)，有f(x1+x2)>f(x1+x2).點(diǎn)撥:由xf’(x)點(diǎn)撥:由xf’(x)>f(x)轉(zhuǎn)化為為增函數(shù)是解答本題關(guān)鍵.類(lèi)似由xxf’(x)+f(x)>0轉(zhuǎn)化為xf(x)為增函數(shù)等思考問(wèn)題的方法是我們必須學(xué)會(huì)的.由g=xf’,因?yàn)閤f’所以g’(x)>0在x>0時(shí)恒成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù).f(x)xf(x)xf(x+x)f(x)f(x+x)f(x)從而f(x1)<x1f(x+x),f(x)<x2f(x+x)2兩式相加得f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)考點(diǎn)1:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性題型1.討論函數(shù)的單調(diào)性數(shù)F(x)的單調(diào)性.【解題思路】先求導(dǎo)再解f'(x)≥0和f'(x)≤0EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up32(x),x)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up32(1),1)對(duì)于x-kx當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)F(x)在(-∞,1)上是增函數(shù)；當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)F(x)在(-∞,1-)上是減函數(shù)，在(1-對(duì)于-1-k當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)F在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)?！久麕熤敢拷忸}規(guī)律技巧妙法總結(jié):求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.（1）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f,(x)（2）令f,(x)≥0解不等解不等式，得x的范圍就是單調(diào)減區(qū)間（3）對(duì)照定義域得出結(jié)論.[誤區(qū)警示]求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，容易忽視定義域，如求函數(shù)y=ln(x+1)-誤率高，請(qǐng)你一試，該題正確答案為(-1,0).題型2.由單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例2:若f(x)=ax3+x在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.x2-x的單調(diào)增區(qū)間，錯(cuò)【解題思路】解這類(lèi)題時(shí),通常令f'(x)≥0(函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上遞增)或f'(x)≤0(函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上遞減),得出恒成立的條件,再利用處理不等式恒成立的方法獲解.2+1又f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增:f,(x)=3ax2:f,(x)=3ax2+1≥0在[－1,1]上恒成立即a≥-23:3故a的取值范圍為[—【名師指引】:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)值的關(guān)系,要特別注意導(dǎo)數(shù)值等于零的用法.題型3.借助單調(diào)性處理不等關(guān)系【解題思路】先移項(xiàng),再證左邊恒大于0x1x:f:fx【名師指引】若要證的不等式兩邊是兩類(lèi)不同的基本函數(shù)，往往構(gòu)造函數(shù)，借助于函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明【新題導(dǎo)練】.1.若函數(shù)f(x)=x3－ax2+1在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.利用函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的圖象確定參數(shù)的范圍.22.函數(shù)y=x3+x的單調(diào)增區(qū)間為A.(-∞,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0)D.不存在解析：∵y′=3x2+1>0恒成立，∴y=x3+x在(-∞,+∞)上為增函數(shù)，沒(méi)有減區(qū)間.答案：Aax(Ⅰ)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；立，求實(shí)數(shù)a的最小值；xxx2x2)，∴F(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增。由F'(x)<0→x∈(0,a)，∴F(x)在(0,a)上單調(diào)遞減。x20(200,0(200,1考點(diǎn)2:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最大(小)值.題型1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最大(小)值2【解題思路】若在x0附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，且f'(x0)=0,那么f(x0)是f(x)的極大值；若在x0附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，且f'(x0)=0,那么f(x0)是f(x)的極小值.4π處取得極大值.24π2【名師指引】若f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，注意f’(x0)=0是x0為函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的必要條件.要確定極值點(diǎn)還需在x0左右判斷單調(diào)性.極小值.【解題思路】先求駐點(diǎn)，再列表判斷極值求出極值。f23f因此，函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a)，且f(a)=—4a3；函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a)，且f(a)=0.【名師指引】求極值問(wèn)題嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行。例3.(廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2009屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測(cè))已知函數(shù)f(x)=xlnx.(Ⅰ)求f(x)的最小值；【解題思路】先求極值再求端點(diǎn)值,比較求出最大(小)值.當(dāng)區(qū)間只有一個(gè)極大(小)值時(shí),該值就是最大解析：f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)， f(e,(e,(e,(e,所以，當(dāng)x=時(shí)，f(x)取得最小值-.…………6分(Ⅱ)解法一：令g(x)=f(x)-(ax-1)，則f(x)≥ax-1.……10分a-1，即f(x)<ax-1，與題設(shè)f(x)≥ax-1相矛盾.……13分綜上，滿足條件的a的取值范圍是(-∞,1].……14分xxxx2x(x,x(x,x(x,所以a的取值范圍是(-∞,1].…………14分【名師指引】求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值（或最小值）的步驟：①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極大（?。┲担趯O大（?。┲蹬c端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中較大者的一個(gè)是最大者，較小的一個(gè)是最小者.題型2.已知函數(shù)的極值和最大(小)值，求參數(shù)的值或取值范圍。（1）若函數(shù)f(x)在x=-2時(shí)有極值，求f(x)的表達(dá)式（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍【解題思路】求函數(shù)的解析式一般用待定系法法，求參數(shù)的取值范圍一般需建立關(guān)于參數(shù)的不等式b，-----------------2分因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處的切線斜率為-3，（1）函數(shù)f(x)在x=-2時(shí)有極值，所以f'(-2)=-12-4a+b=0，-------5分EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(—1),b)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(+),0)【名師指引】已知f(x)在x=x0處有極值，等價(jià)于f'(x)=0?！拘骂}導(dǎo)練】4解析：選B:4y最大:a=2選B.f,(x)?0，f,(x)?0，所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大值為2.選C（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；ax33由條件f(1)=2為f(x)的極值，必有f'(1)=0,當(dāng)x∈(1,1)時(shí)，f'(x)<0，故f(x)在單調(diào)區(qū)間(1,1)上是減函數(shù).f'(x)>0，故f(x)在單調(diào)區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).所以，對(duì)任意x1,x2基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考試卷）yy=f'(x)y內(nèi)的圖象b函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f’(x)在(內(nèi)的圖象baA．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：觀察圖象可知，只有一處是先減后增的，選AA.極小值－1，極大值1B.極小值－2，極大值3C.極小值－2，極大值2D.極小值－1，極大值32極大3．函數(shù)y=f(x)=lnx－x,在區(qū)間(0,e］上的最大值為-eB.－1C.－ex′+0-y增函數(shù)極大值－1減函數(shù)1－eyy由于f(e)=1－e,而－1＞1－e,從而y最大=f(1)=－1.答案：B>>:f（當(dāng)a.>1時(shí)，對(duì)x∈（0，+∞)恒有f,(x)>0，∴當(dāng)a.>1時(shí)，f(x)在（0，+∞)上為增函數(shù)；5汕頭市金山中學(xué)2009屆高三上學(xué)期11月月考）已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2－x+1，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的范圍；若不存在，說(shuō)明理由。解：f,（x）=3ax2+6x－1.要使f（x）在[0，4]遞減，則當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，f,（x）<0。EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up7(0),0)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2147483624(1),a)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up30(0),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up2147483624(1),a)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up20(a),Δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up20(0),0)綜合拔高訓(xùn)練6東莞高級(jí)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期11得極值.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；(Ⅱ)求證：對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；(Ⅲ)若過(guò)點(diǎn)A（1，mm≠-2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.即{,…………2分解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.……………………4分fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2………………∵對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，∵曲線方程為y=x3－3x，∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線上.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)x3-3x-m3(x2-1)0x-10EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)∴g(x0)在(-∞,01，+∞)上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)0x0=1………………12分EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0){，解得－3<m<－2.故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3<m<－2.……14分x(Ⅰ)討論a=1時(shí),f(x)的單調(diào)性、極值；1(Ⅱ)求證：在(Ⅰ)的條件下，f(x)>g(x)+;2(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.f/(x)<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減f/(x)>0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增∴f(x)的極小值為f(1)=1(Ⅱ)Θf(x)的極小值為1，即f(x)在(0,e]上的最小值為1，f(x)|min12……9分4時(shí)f(x)無(wú)最小值.……10分②當(dāng)0<<e時(shí)，f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，在(,e]上單調(diào)遞增時(shí)f(x)無(wú)最小值.綜上，存在實(shí)數(shù)a=e2，使得當(dāng)x∈(0,e]時(shí)f(x)有最小值3.22第3講導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)解決生活、生產(chǎn)優(yōu)化問(wèn)題，其解題思路是：優(yōu)化問(wèn)題函數(shù)模型優(yōu)化問(wèn)題的解解決數(shù)學(xué)問(wèn)題1.重點(diǎn)：利用于數(shù)學(xué)知識(shí)建立函數(shù)模型，借助于導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問(wèn)題。2.難點(diǎn)：建模的過(guò)程3.重難點(diǎn)：認(rèn)真審題，建立數(shù)學(xué)模型，解決與函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問(wèn)題.（1）關(guān)注由導(dǎo)數(shù)的定義和物理意義處理實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題面上射影點(diǎn)C，沿某直線離開(kāi)路燈，求人影長(zhǎng)度的變化速率v.點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)的物理意義解決設(shè)路燈距地平面的距離為DC，人的身高為EB.設(shè)人從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B處路程為x米，時(shí)間為t(單位：秒)，AB為人影長(zhǎng)度，設(shè)為y,則∵人影長(zhǎng)度的變化速率為EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(7),20)m/s.（2）利用導(dǎo)數(shù)處理最大（小）值問(wèn)題是高考常見(jiàn)題型.問(wèn)題2.（2006·江蘇）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱1[剖析]設(shè)OO為xm,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為1于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）OO1考點(diǎn):最優(yōu)化問(wèn)題題型1.函數(shù)模型中的最優(yōu)化問(wèn)題例1.設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車(chē)站,再由車(chē)站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省?【解題思路】由勾股定理建模.5路運(yùn)費(fèi)為元/km.故從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A5路運(yùn)費(fèi)為52=9解之得x1=15,x2=-15(不符合實(shí)際意義,舍去).且x1=15是函數(shù)y在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以x1=15是函數(shù)y的極小值點(diǎn),而且也是函數(shù)y的最小值點(diǎn).由此可知,車(chē)站D建于B,C之間并且與B相距15km處時(shí),運(yùn)費(fèi)最省.【名師指引】這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù),用過(guò)去的知識(shí)求其最值往往沒(méi)有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí),求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡(jiǎn)單.例2.某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,生產(chǎn)第一檔(即最低檔次)的利潤(rùn)是每件8元,每提高一個(gè)檔次,利潤(rùn)每件增加2元,但在相同的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時(shí)間內(nèi),最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問(wèn)在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大?有多少元?在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學(xué)上這類(lèi)問(wèn)題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.除了常見(jiàn)的求最值的方法外,還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值.但無(wú)論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.解法一:設(shè)相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第x(x∈N*,1≤x≤10)檔次的產(chǎn)品利潤(rùn)y最大.2分依題意,得y=［8+2(x－1)60－3(x－1)］4分=－6x2+108x+378=－6(x－9)2+864(1≤x≤10),8分即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為864元.10分解法二:由上面解法得到y(tǒng)=－6x2+108x+378.解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最的產(chǎn)品利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為864元.【名師指引】一般情況下,對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式函數(shù)簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見(jiàn),導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用空間.題型2:幾何模型的最優(yōu)化問(wèn)題【名師指引】與最值有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)合理解模,使問(wèn)題獲解.例3.(07上海春季高考)某人定制了一批地磚.每塊地磚(如圖1所示）是邊長(zhǎng)為0.4米的正方形依次為3:2:1.若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設(shè)，能使中深色陰影部分成四邊形EFGH.(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最:四邊形EFGH是正方形.為W，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價(jià)格依次為3【名師指引】處理較復(fù)雜的應(yīng)用題審題時(shí)要逐字逐句地去啄磨.題型3:三角模型的最優(yōu)化問(wèn)題例4.若電燈B可在桌面上一點(diǎn)O的垂線上移動(dòng)，桌面上有與點(diǎn)O距離為a的另一點(diǎn)A，問(wèn)電燈與點(diǎn)0？（【解題思路】如圖，由光學(xué)知識(shí)，照度y與sinφ成正比，與r2成反比，大的照度，只需求y的極值就可以了.xxrr2(x2內(nèi)，所以函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與O點(diǎn)距離為時(shí)，點(diǎn)A的照度y為最大.y+↗a)22-↘點(diǎn)評(píng)：在有關(guān)極值應(yīng)用的問(wèn)題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點(diǎn)使得f(x)=0且在該點(diǎn)兩側(cè)，f(x)的符號(hào)各異，一般稱(chēng)為單峰問(wèn)題，此時(shí)，該點(diǎn)就是極值點(diǎn)，也是最大（?。┲迭c(diǎn).【名師指引】多參數(shù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題要注意分清哪些是主元,哪些是參數(shù);函數(shù)最值有關(guān)的問(wèn)題通常利用導(dǎo)數(shù)求解比較方便.【新題導(dǎo)練】.1．在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？x2數(shù)V(x)在x=40時(shí)取得極大值，結(jié)合實(shí)際情況，這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值.2..一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時(shí)10公里時(shí)的燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問(wèn)此輪船以何種速度航行時(shí)，能使行駛每公里EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(3),0)得最小值，∴此輪船以20公里/小時(shí)的速度使行駛每公里的費(fèi)用總和最小.基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.我國(guó)兒童4歲前身高增長(zhǎng)的速度最快的是在哪一個(gè)年齡段?答:據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料,我國(guó)兒童4歲前身高情況有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)齡/歲…思路分析::要判斷這一個(gè)問(wèn)題.必須要計(jì)算每半年這個(gè)群體長(zhǎng)高的平均增長(zhǎng)率,再加以比較即可,通過(guò)計(jì)算每半年長(zhǎng)高的平均增長(zhǎng)率分別是,2,,,,1,可知我國(guó)兒童在歲至2歲這一時(shí)段身高增長(zhǎng)的速度最快解析:距離對(duì)時(shí)間的變化率即瞬時(shí)速度。即此時(shí)距離函數(shù)對(duì)時(shí)間變量的導(dǎo)數(shù)。將物理學(xué)概念與數(shù)學(xué)中的223.要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的倉(cāng)庫(kù)，其內(nèi)部的高為3m，長(zhǎng)和寬的和為20m，則倉(cāng)庫(kù)容積的最大值為V4.要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使體積為最大，則其高應(yīng)為.:r=400h2，:圓錐體積一天兀r/:h=3時(shí)，V最大12)3hk3,當(dāng)5.質(zhì)量為5kg的物體運(yùn)動(dòng)的速度為v=(18t－3t2)m/s,在時(shí)間t=2s時(shí)所受外力為N.分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的物理意義即速度v(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是該時(shí)刻的加速度.綜合拔高訓(xùn)練6.在長(zhǎng)為100千米的鐵路線AB旁的C處有一個(gè)工廠，工廠與鐵路的距離CA為20千米.由鐵路上的B處向工廠提供原料，公路與鐵路每噸千米的貨物運(yùn)價(jià)比為5∶3，為節(jié)約運(yùn)費(fèi)，在鐵路的D處修一貨物轉(zhuǎn)運(yùn)站，設(shè)AD距離為x千米，沿CD直線修一條公路(如圖).(1)將每噸貨物運(yùn)費(fèi)y(元)表示成x的函數(shù).A100解：(1)設(shè)公路與鐵路每噸千米的貨物運(yùn)價(jià)分別為C2答：當(dāng)x為15千米時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.2中午12:00以后相應(yīng)的t取正數(shù)，中午12:00以前相應(yīng)的t取負(fù)數(shù)（如早上8：00相應(yīng)的t=-4，下午的溫度為58℃,且已知該物體的溫度早上8:00與下午16:00有相同的變化率.當(dāng)t在[2,2]上變化時(shí)，T,(t)與T(t)的變化情況如下表:xT,(t)-2+-10-10+2T(t)58增函數(shù)極大值極小值58增函數(shù)62…………………12分高，最高溫度是62℃.8.今有一塊邊長(zhǎng)a的正三角形的厚紙，從這塊厚紙的三個(gè)角，按右圖那樣切下三個(gè)全等的四邊形后，23x3設(shè)：容積為V，則3x3xaa2424當(dāng)0<:6