吉林省通化市輝南縣第六中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第四次考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

輝南縣第六中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高二第四次考試數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題）共58分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是（

）A． B． C． D．2．下列四個命題，其中真命題是（

）A．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．若，，則點(diǎn)到直線的距離為D．向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是3．以橢圓長軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，則（

）A．2 B． C． D．20245．若直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．] B． C． D．6．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知在數(shù)列中，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．8．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，線段的中垂線經(jīng)過.記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則（

）A．4是數(shù)列中的項(xiàng) B．當(dāng)最大時，的值只能取5C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．10．已知棱長為3的正四面體，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，的最大值為D．當(dāng)時，則的最大值為11．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．若的縱坐標(biāo)為2，則B．若直線過點(diǎn)，則的最小值為4C．若，則直線恒過定點(diǎn)D．若垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，則四邊形的周長為第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．若過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且，則．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．14．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，則.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）如圖，在直三棱柱中，，．(1)求異面直線與所成角的大小；(2)求點(diǎn)B到平面的距離．16．（15分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)在數(shù)列中，，若的前n項(xiàng)和為，求證：.17．（15分）已知圓分別與、軸正半軸交于、兩點(diǎn)，為圓上的動點(diǎn)．(1)若線段上有一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線截圓所得弦長為，求直線的方程；(3)若為圓上異于的動點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值．18．（17分）如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，且.(1)求證：平面；(2)當(dāng)，時，求平面與平面夾角的余弦值；(3)在（2）的條件下，若為內(nèi)的動點(diǎn)，平面，且與平面所成的角最大，試確定點(diǎn)G的位置.19．（17分）已知以下事實(shí)：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．(1)求雙曲線：的離心率；(2)將（1）中的曲線繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，求曲線的方程;(3)已知點(diǎn)是（2）中曲線的左頂點(diǎn)．圓：（）與直線：交于、兩點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．試問：點(diǎn)A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時的值；若不存在，說明理由．

參考答案：題號12345678910答案BCCBABABACACD題號11答案BC11．BC12．2或413．14．606915．(1)(2)16．（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）知：，則，又，所以，所以，所以.17．（1）根據(jù)題意，，．設(shè)，，則，，由于，所以，得將其代入，得，故點(diǎn)的軌跡方程為．（2）根據(jù)垂徑定理可得．①當(dāng)斜率不存在時，直線的方程為：，直線截點(diǎn)軌跡所得弦長弦長為，符合題意；②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線，圓心到直線的距離為，解得．直線的方程為或．（3）設(shè)，則，直線方程是，令，得，直線方程是，令得，所以．即為定值．18．（1）取BD中點(diǎn)，連接PO，是BM的中點(diǎn)，，且，在線段CD上取點(diǎn)，使，連接OF，QF，，，且，，四邊形POFQ為平行四邊形，，又平面平面，平面.（2），則，，取BD中點(diǎn)，則，又平面，平面BCD，以為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，，，，所以，故，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由（2）知為BD中點(diǎn)，為AD中點(diǎn)，連接OM，，點(diǎn)為內(nèi)動點(diǎn)且平面QGM，又平面ABD，平面平面，，故點(diǎn)在OM上，設(shè)，又，，，