曲邊梯形面積與定積分(二)教案

1.4.1曲邊梯形面積與定積分【學(xué)習(xí)要求】1．了解定積分的概念，會(huì)用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì)．【學(xué)法指導(dǎo)】通過(guò)求曲邊梯形的面積、變力做功這兩個(gè)背景和實(shí)際意義截然不同的問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)定積分的作用及意義.1．定積分：設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間[a，b]上，用分點(diǎn)a＝x0<x1<x2<…xn－1<xn＝b，把區(qū)間[a，b]分為n個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度依次為Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.記λ為這些小區(qū)間長(zhǎng)度的最大者，當(dāng)λ趨近于0時(shí)，所有的小區(qū)間長(zhǎng)度都趨近于0，在每個(gè)區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)ξi，作和式In＝eq\i\su(i＝0,n－1,f)(ξi)Δxi.當(dāng)λ→0時(shí)，如果和式的極限存在，我們把和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作?eq\o\al(b,a)f(x)dx，即?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝_____eq\o(lim,\s\do8(λ→0))eq\i\su(i＝0,n－1,f)(ξi)Δxi___.2．在定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx中，f(x)叫做被積函數(shù)，a叫做積分下限，b叫做積分上限，f(x)dx叫做被積式．3．如果函數(shù)f(x)在[a，b]的圖象是一條連續(xù)的曲線，則f(x)在[a，b]一定是可積的．4．定積分的性質(zhì)(1)?eq\o\al(b,a)kf(x)dx＝k?eq\o\al(b,a)f(x)dx(k為常數(shù))；(2)?eq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝?eq\o\al(b,a)f1(x)dx±?eq\o\al(b,a)f2(x)dx；(3)?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝?eq\o\al(c,a)f(x)dx＋?eq\o\al(b,c)f(x)dx(其中a<c<b).探究點(diǎn)一定積分的概念問(wèn)題1分析求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，找一下它們的共同點(diǎn)．答兩個(gè)問(wèn)題均可以通過(guò)“分割、近似代替、求和、取極限”解決，都可以歸結(jié)為一個(gè)特定形式和的極限．問(wèn)題2怎樣正確認(rèn)識(shí)定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx?答(1)定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx是一個(gè)數(shù)值(極限值)．它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限，另外?eq\o\al(b,a)f(x)dx與積分區(qū)間[a，b]息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，所得值也不同．(2)定積分就是和的極限eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·Δx，而?eq\o\al(b,a)f(x)dx只是這種極限的一種記號(hào)，讀作“函數(shù)f(x)從a到b的定積分”．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)這一條件是不能忽視的，它保證了和的極限(定積分)的存在(實(shí)際上，函數(shù)連續(xù)是定積分存在的充分條件，而不是必要條件)．例1利用定積分的定義，計(jì)算?eq\o\al(1,0)x3dx的值．解令f(x)＝x3.(1)分割：在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).(2)近似代替、作和：取ξi＝eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n)，則?eq\o\al(1,0)x3dx≈Sn＝eq\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))f(eq\f(i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))(eq\f(i,n))3·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n4)eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))i3＝eq\f(1,n4)·eq\f(1,4)n2(n＋1)2＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,n))2.(3)取極限?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,n))2＝eq\f(1,4).小結(jié)利用定積分定義求定積分的數(shù)值仍然是“分割、近似代替、求和、取極值”這一過(guò)程，需要注意的是在本題中將近似代替、求和一起作為步驟(2)，從而省略了解題步驟．跟蹤訓(xùn)練1用定義計(jì)算?eq\o\al(2,1)(1＋x)dx.解(1)分割：將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度Δx＝eq\f(1,n).(2)近似代替、求和：在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))上取點(diǎn)ξi＝1＋eq\f(i－1,n)(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋eq\f(i－1,n)＝2＋eq\f(i－1,n)，從而得eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)(2＋eq\f(i－1,n))·eq\f(1,n)＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)＋\f(i－1,n2)))＝eq\f(2,n)·n＋eq\f(1,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋eq\f(1,n2)·eq\f(nn－1,2)＝2＋eq\f(n－1,2n).(3)取極限：S＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n－1,2n)))＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).因此?eq\o\al(2,1)(1＋x)dx＝eq\f(5,2).探究點(diǎn)二定積分的幾何意義問(wèn)題1從幾何上看，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示什么？答當(dāng)函數(shù)f(x)≥0時(shí)，定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx在幾何上表示由直線x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．問(wèn)題2當(dāng)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且恒有f(x)≤0時(shí)，?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示的含義是什么？若f(x)有正有負(fù)呢？答如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f(x)≤0時(shí)，那么曲邊梯形位于x軸的下方(如圖①)．由于eq\f(b－a,n)>0，f(ξi)≤0，故f(ξi)eq\f(b－a,n)≤0.從而定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx≤0，這時(shí)它等于如圖所示曲邊梯形面積的相反值，即?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝－S.當(dāng)f(x)在區(qū)間[a，b]上有正有負(fù)時(shí)，定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負(fù))．(如圖②)，即?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝－S1＋S2－S3.例2利用幾何意義計(jì)算下列定積分：(1)?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx；(2)?eq\o\al(3,－1)(3x＋1)dx.解(1)在平面上y＝eq\r(9－x2)表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的上半圓，其面積為S＝eq\f(1,2)·π·32.由定積分的幾何意義知?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(9,2)π.(2)由直線x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示：?eq\o\al(3,－1)(3x＋1)dx表示由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，∴?eq\o\al(3,－1)(3x＋1)dx＝eq\f(1,2)×(3＋eq\f(1,3))×(3×3＋1)－eq\f(1,2)(－eq\f(1,3)＋1)×2＝eq\f(50,3)－eq\f(2,3)＝16.小結(jié)利用幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積．不規(guī)則的圖象常用分割法求面積，注意分割點(diǎn)的準(zhǔn)確確定．跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)定積分的幾何意義求下列定積分的值：(1)?eq\o\al(1,－1)xdx；(2)?eq\o\al(2π,0)cosxdx；(3)?eq\o\al(1,－1)|x|dx.解(1)如圖(1)，?eq\o\al(1,－1)xdx＝－A1＋A1＝0.(2)如圖(2)，?eq\o\al(2π,0)cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如圖(3)，∵A1＝A2，∴?eq\o\al(1,－1)|x|dx＝2A1＝2×eq\f(1,2)＝1.(A1，A2，A3分別表示圖中相應(yīng)各處面積)探究點(diǎn)三定積分的性質(zhì)問(wèn)題1定積分的性質(zhì)可作哪些推廣？答定積分的性質(zhì)的推廣①?eq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝?eq\o\al(b,a)f1(x)dx±?eq\o\al(b,a)f2(x)dx±…±?eq\o\al(b,a)fn(x)dx；②?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋…＋f(x)dx(其中n∈N*)．問(wèn)題2如果一個(gè)函數(shù)具有奇偶性，它的定積分有什么性質(zhì)？答奇、偶函數(shù)在區(qū)間[－a，a]上的定積分①若奇函數(shù)y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)不斷，則?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝0.②若偶函數(shù)y＝g(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)不斷，則?eq\o\al(a,－a)g(x)dx＝2?eq\o\al(a,0)g(x)dx.例3計(jì)算?eq\o\al(3,－3)(eq\r(9－x2)－x3)dx的值．解如圖，由定積分的幾何意義得?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(π×32,2)＝eq\f(9π,2)，?eq\o\al(3,－3)x3dx＝0，由定積分性質(zhì)得?eq\o\al(3,－3)(eq\r(9－x2)－x3)dx＝?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx－?eq\o\al(3,－3)x3dx＝eq\f(9π,2).小結(jié)根據(jù)定積分的性質(zhì)計(jì)算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關(guān)函數(shù)的定積分，再利用函數(shù)的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練3已知?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\f(1,4)，?eq\o\al(2,1)x3dx＝eq\f(15,4)，?eq\o\al(2,1)x2dx＝eq\f(7,3)，?eq\o\al(4,2)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)?eq\o\al(2,0)3x3dx；(2)?eq\o\al(4,1)6x2dx；(3)?eq\o\al(2,1)(3x2－2x3)dx.解(1)?eq\o\al(2,0)3x3dx＝3?eq\o\al(2,0)x3dx＝3(?eq\o\al(1,0)x3dx＋?eq\o\al(2,1)x3dx)＝3×(eq\f(1,4)＋eq\f(15,4))＝12；(2)?eq\o\al(4,1)6x2dx＝6?eq\o\al(4,1)x2dx＝6(?eq\o\al(2,1)x2dx＋?eq\o\al(4,2)x2dx)＝6×(eq\f(7,3)＋eq\f(56,3))＝126；(3)?eq\o\al(2,1)(3x2－2x3)dx＝?eq\o\al(2,1)3x2dx－?eq\o\al(2,1)2x3dx＝3?eq\o\al(2,1)x2dx－2?eq\o\al(2,1)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝7－eq\f(15,2)＝－eq\f(1,2).4．已知sinxdx＝sinxdx＝1，x2dx＝eq\f(π3,24)，求下列定積分：(1)?eq\o