數(shù)學(xué)課堂探究：二項(xiàng)式定理（第2課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題解決與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題的一般思路．【典型例題1】下列是楊輝三角的一部分．（1）你能發(fā)現(xiàn)組成它的相鄰兩行數(shù)有什么關(guān)系嗎？（2）從圖中的虛線上的數(shù)字你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？解：(1)楊輝三角的兩條腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和．（2）設(shè)a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10,…，若令bn＝an＋1－an,則b1＝2，b2＝3，b3＝4，所以可得{bn｝是等差數(shù)列，從而得出其每一斜行數(shù)字的差組成一個(gè)等差數(shù)列．規(guī)律總結(jié)解決與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題的一般思路是：通過(guò)觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相互聯(lián)系以及行與行間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系．然后將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái)，使問(wèn)題得解．探究二有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的問(wèn)題(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．（2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況,一般采用列不等式組，解不等式組的方法求得．【典型例題2】(1＋2x)n的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)．思路分析：求（a＋bx)n的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng),通常用待定系數(shù)法，即先設(shè)展開(kāi)式中的系數(shù)分別為A1，A2，…,An＋1，再設(shè)第k＋1項(xiàng)系數(shù)最大，則由不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(Ak＋1≥Ak，，Ak＋1≥Ak＋2)）確定k的值．解：T6＝Ceq\o\al(5,n)·(2x)5，T7＝Ceq\o\al（6，n）·（2x）6，依題意有Ceq\o\al（5，n)·25＝Ceq\o\al（6,n）·26n＝8。∴(1＋2x）8的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)5＝Ceq\o\al（4,8）·(2x）4＝1120x4.設(shè)第k＋1項(xiàng)系數(shù)最大,則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（C\o\al(k，8）·2k≥C\o\al（k－1，8）·2k－1，,C\o\al（k,8）·2k≥C\o\al(k＋1,8)·2k＋1，)）解得5≤k≤6。∴k＝5或k＝6（∵k∈｛0，1，2,…，8｝)．∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)6＝1792x5,T7＝1792x6.規(guī)律總結(jié)熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵，注意k只能取正整數(shù)．探究三有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)和與展開(kāi)式的系數(shù)和的問(wèn)題賦值法是求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)及有關(guān)問(wèn)題的常用方法,注意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值,也可以取幾組值，解決問(wèn)題時(shí)要避免漏項(xiàng)．【典型例題3】設(shè)的二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為t，二項(xiàng)式系數(shù)和為h,若h＋t＝272,則二項(xiàng)展開(kāi)式含x2項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________．思路分析:本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別，用賦值法求各項(xiàng)系數(shù)和，利用公式求二項(xiàng)式系數(shù)和．解析:由已知令x＝1，則展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和t＝(3＋1)n＝4n，二項(xiàng)式系數(shù)和h＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al（1,n)＋…＋Ceq\o\al（n,n）＝2n,∴h＋t＝4n＋2n＝272，解得n＝4.∴。則展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r，4）·（)4－r·（）r＝34－rCeq\o\al(r,4），令eq\f（4,3）＋eq\f（r,6）＝2，則r＝4.∴含x2項(xiàng)的系數(shù)為1。答案:1規(guī)律總結(jié)求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和或差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需要根據(jù)所求的展開(kāi)式系數(shù)和或差的特征來(lái)進(jìn)行．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)混淆二項(xiàng)展開(kāi)式中奇次項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)、偶次項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的概念【典型例題4】已知(2x－1)n二項(xiàng)展開(kāi)式中,奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)和小38,求Ceq\o\al(1，n)＋Ceq\o\al(2，n）＋Ceq\o\al（3，n）＋…＋Ceq\o\al(n，n）的值．錯(cuò)解:設(shè)（2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則奇次項(xiàng)的系數(shù)和為a0＋a2＋a4＋…,偶次項(xiàng)的系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…，令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋…）－（a1＋a3＋a5＋…)＝（－3)n，由已知可得,（－3)n＝－38＝(－3)8，∴n＝8，∴Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al（2，n)＋Ceq\o\al（3，n）＋…＋Ceq\o\al（n,n)＝28.錯(cuò)因分析：錯(cuò)解有三處錯(cuò)誤．一是誤把奇次項(xiàng)、偶次項(xiàng)看成是奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)．二是把Ceq\o\al（1,n)＋Ceq\o\al（2,n）＋Ceq\o\al(3,n）＋…＋Ceq\o\al(n,n）看成二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和,忽略了Ceq\o\al(0，n）。三是（－3)n＝－38＝(－3）8也不成立．解答本題應(yīng)認(rèn)真審題，搞清已知條件以及所要求的結(jié)論，避免失誤．正解：設(shè)(2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A,偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B。則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…由已知可知，B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an（－1）n＝(－3）n，即:（a0＋a2＋a4＋a6＋…）－（a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n,即B－A＝(－3）n