數(shù)學(xué)課堂探究：任意角和弧度制（第2課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一弧度制的概念角度制和弧度制的比較：（1）弧度制是以“弧度”為單位來(lái)度量角的單位制，而角度制是以“度”為單位來(lái)度量角的單位制．(2)1弧度的角是指等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,而1度的角是指圓周角的的角,大小顯然不同．(3）無(wú)論是以“弧度"還是以“度”為單位來(lái)度量角,角的大小都是一個(gè)與“半徑”大小無(wú)關(guān)的值．（4)用“度"作為單位度量角時(shí)，“度”（即“°”)不能省略,而用“弧度”作為單位度量角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常省略不寫．【典型例題1】下列各種說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．“度”與“弧度"是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的，1rad的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義,180°的角一定等于πrad的角D．利用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)解析：A，B，C正確，D中角的大小只與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)，與圓半徑無(wú)關(guān)．答案：D探究二角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法(1）關(guān)鍵：抓住互化公式πrad＝180°是關(guān)鍵．（2）方法:度數(shù)×＝弧度數(shù)；弧度數(shù)×°＝度數(shù)．(3)角度化為弧度時(shí)，其結(jié)果寫成π的形式，沒(méi)特殊要求不必化成小數(shù)．【典型例題2】(1)－405°化為弧度是__________；(2)化為角度數(shù)是__________；(3）已知α＝－1480°，則在[0,2π)內(nèi)與α終邊相同的角為_(kāi)_________．解析：(1）－405°＝－405×＝－；（2）＝×°＝660°；(3)∵α＝－1480°＝－5×360°＋320°，∴在［0°,360°）內(nèi)與α終邊相同的角為320°，而320°＝.∴在［0，2π)內(nèi)與α終邊相同的角為。答案：（1)－（2)660°(3)探究三扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算1．扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式涉及四個(gè)量：面積S，弧長(zhǎng)l，圓心角α，半徑r,已知其中的三個(gè)量一定能求得第四個(gè)量（通過(guò)方程求得)，已知其中的兩個(gè)量能求得剩余的兩個(gè)量（通過(guò)方程組求得)．2．在研究有關(guān)扇形的相關(guān)量的最值時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題．【典型例題3】已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形的半徑為_(kāi)_________．解析:∵S＝lr，l＝|α｜r,∴S＝｜α｜r2，∴由已知得＝×r2，解得r＝2。答案：2【典型例題4】已知一扇形的周長(zhǎng)為8cm,當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，扇形的面積最大?并求出最大面積．思路分析：先用半徑r表示弧長(zhǎng)，再根據(jù)公式S＝lr建立S與r之間的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)求最大值．解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則2r＋l＝8，∴l(xiāng)＝8－2r,∴S＝lr＝(8－2r）r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4?！?〈r〈4，∴當(dāng)r＝2cm時(shí)，Smax＝4cm2.此時(shí)l＝4cm，α＝2rad，∴當(dāng)半徑長(zhǎng)為2cm，圓心角為2rad時(shí)，扇形的面積最大為4cm2.探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)含有kπ形式的角理解不到位【典型例題5】已知＋2kπ〈α<＋2kπ,2kπ〈β<＋2kπ，其中k∈Z，求α＋β的取值范圍．錯(cuò)解：由已知兩式左右分別相加，可得＋4kπ〈α＋β〈π＋4kπ，k∈Z.錯(cuò)因分析:錯(cuò)解錯(cuò)誤的原因是對(duì)終邊相同的區(qū)間角理解不到位,誤以為兩式中的k表示相同的整數(shù)．由于兩式所表示的角是k分別取整數(shù)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的無(wú)數(shù)個(gè)區(qū)間角的并集,故兩式中的k不一定相等，可用k1,k2替換加以區(qū)別，然后利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解．正解:∵＋2k1π<α〈＋2k1π,k1∈Z,2k2π<β<＋2k2π,k2