平面向量測試題及詳解

平面向量一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與4b—2a平行，則實數(shù)x的值為( )A.-2B.0C.1 D.2.已知點A(—1,0),B(1,3),向量a=(2k—1,2),若硝，a,則實數(shù)k的值為( )A.-2B.-1C.1 D.2.如果向量a=(k,1)與b=(6,k+1)共線且方向相反，那么k的值為()1A.-3B.2C.--.在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于H,記硝、命分別為a、b,則硝=( )a—gba+^bC.—2,4, 24,5a+5b D.-5a-5b.已知向量a=(1,1),b=(2,n),若|a+b|=a?b,則n=( )

—3-1C.1—3-1C.1D.3.已知P是邊長為2的正AABC邊BC上的動點，則硝?(硝+硝( )A.最大值為8B.是定值6C,最小值為2D.與P的位置有關(guān).設(shè)a,b都是非零向量，那么命題“a與b共線”是命題“|a+b|=|a|+|b|”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件_ 5.已知向量a=(1,2),b=(—2,—4),|c|=$,若(a+b)?c=],則a與c的夾角為( )A.30° B.60°C.120°D.150°.設(shè)0為坐標(biāo)原點，點A(1,1),若點B(x,y)滿足—2x—2y+120,<1WXW2, 則殖?m取得最大值時，點B的個數(shù)是WyW2,()A.1B.2C.3D.無數(shù)10.a,b是不共線的向量，若硝=入1a+b,&)=a+入2b(入1,X2GR),則A、B、。三點共線的充要條件為( )13.平面向量a與b的夾角為60°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=A.入1=入2=-1D.入1入2—1=0B.入1=入2=1C.入1?入2+1=011.如圖，在矩形OACB中E和F分別是邊AC和8。的點,滿足人。=3AE,BC=3BF,若m=入隹+口讓其中入，u￡R,則入+口是().已知a=(2+入，1),b=(3,入)，若〈2,b〉為鈍角，貝4人的取值范圍是 ..已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像為開口向下的拋物線，且對任意x￡R都有f(1+x)=f(1—x).若向量a=(\；'m—1),b=(qm—2),則滿足不等式f(a?b)>f(—1)的m的取值范圍為.一.一(八n-.一. ...一.16.已知向量a=sinB,-,b=(cos0,1),c=(2,m)滿足a，b且I 4/(a+b)〃c,則實數(shù)m=.12.已知非零向量硝與硝滿足~^+-^^?BC=0,且-AB_?_AC_V|AB||AC|7 |AB||AC|1—2,則AABC的形狀為()三、解答題.已知向量a=(—cosx,sinx),b=(cosx,，巧cosx),函數(shù)f(x)=a?b,xe[0,n].(1)求函數(shù)千a)的最大值；(2)當(dāng)函數(shù)f(x)取得最大值時，求向量a與b夾角的大小.人.等腰非等邊三角形B.等邊三角形C.三邊均不相等的三角形D.直角三角形第II卷(非選擇題共90分)二、填空題.已知雙曲線的中心在原點，焦點J、F?在坐標(biāo)軸上，離心率為平,且過點(4,一眄⑴求雙曲線方程；(2)若點M(3,m)在雙曲線上，求證船?雕=0.1 2.△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，向量m=(2sinB,2—cos2B),n=(2sin2(-^-+-),—1),m_Ln.⑴求角B的大??；⑵若a二/,b=1,求C的值.20.已知向量a=cos3x-y,sin3x20.已知向量a=cos3x-y,sin3x升b=x X、cos?,-sin?,lRr，、且XG,n].(1)求a?b及|a+b|；(2)求函數(shù)f(x)=a?b+|a+b|的最大值，并求使函數(shù)取得最大值時x的值..已知0X=(2asiri2X,a),Ofc=(—1,2^j3sinxcosx+1),。為坐標(biāo)原點，a/0,設(shè)f(x)=殖?Ofc+b,b>a.⑴若a>0,寫出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域為[?,n],值域為[2,5],求實數(shù)a與b的值..已知點M(4,0),N(1,0),若動點P滿足扁?碓=6|曲|.⑴求動點P的軌跡C的方程；⑵設(shè)過點N的直線I交軌跡C于A,B兩點，若一腎曲?檳一12M，求直線?的斜率的取值范圍.□平面向量答案1.［解a+b=(3,x+1),4b—2a=(6,4x—2),Va+b與4b—2a平行,

3x+1???x=2,故選D.?，6=4^z???x=2,故選D..［解硝=(2,3),,??硝_La,??.2(2k-1)+3X2=0,??.k=-1,?,?選B..［解由條件知，存在實數(shù)入＜0,使a=入b,?二（k,1）=（6入，（k+1）入）,k=6入k=6入k+1人=1,???k=-3,故選A..［解析］A^=b+-a,Dt=a--b,設(shè)殖=入酷，則的=A.a——Xb,.,?硝=硝+殖=入2+1—［入b, 與#共線且a、b不共線，.??7=.［解析］ Va+b=(3,1+n), |a+b|=^|f9+n+1~~2=、，n2+2n+10,又a?b=2+n,V|a+b|=a?b, nT+^n+W=n+2,解之得n=3,故選D..［解析］設(shè)BC邊中點為D,則硝?(硝+硝=硝?(2硝)=21硝?|硝,cosZPAD=21Ab|2=6..［解析］|布1=0+舊6與13方向相同，或小至少有一個為相加得隹+m=4m+m)=g...球恥+3花..?入+『3+3=0；而a與b共線包括a與b方向相反的情形，???a、b都是非零向量， 3 3 4 4 44故選B. 32?m=0?m=0知，角人的內(nèi)角平分線與BC邊aC兩.［解析］由條件知|a|=、5|b|=2、⑸a+b=(—1,—2),.,.|a+5 L- .5 .... ...b|=.\：5,???(a+b)?c=2，.?.j15Xy5?cose=2，其中0為a+b與c的夾角，.??e=60°.???a+b=-a,?,.a+b與a方向相反，「.a與c的夾角為120°.9.［解析］X2+y2—2x—2y+120,即(x—1)2+(y—1)221,畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，OA?OB=x+y,設(shè)x+y=t,則當(dāng)直線y=一x平移到經(jīng)過點。時，t取最大值，故這樣的點8有1個，即。點.

,［硝 aC.［解析］根據(jù)|--+——1|硝||比?+ … 硝垂直，說明三角形是等腰三角形，根據(jù)數(shù)量積的定義及|硝|12可知人=120°.故三角形是等腰非等邊的三角形.1.［解析］a?b=|a|?|b|cos60=2X1X2=1,|a+2b|2=|a|2+10.［解析］???A、B、C共線，「AC,硝共線，根據(jù)向量共線的條件知存 3 3??入<一2，當(dāng)a與b方向相反時，入=-3,?,?入<一2且入手一3.在實數(shù)人使得硝=入硝，即a+入2b=入(入1a+b),由于a,b不共線，根據(jù)平面向量基本定理得IT］,消去入得入入=1. 15.廨析］由條件知f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,*1)=〔入2一人 12 f(3),???m20,??.a?b=m+222,由f(a?b)>f(—1)得f(m+2)>f(3),?f(x)在［1,+8)上為減函數(shù)，.?.m+2<3,???m<1,?.?m20,.?.0Wm<1.11.［解析］oF=oB+bF=oB+1oA,oE=oA+aE=oA+1oB,33(— 5 5\=sin0(— 5 5\=sin0+cos0,4,I 4)52sin0+cos0 ，(sin0+cos0)2=1+sin2012,??sin0+1 .16.［解析］*/a±b,sinBcosB+4=0,「?sin29=一丁又?「a+b5-(a+b)//c,??m(sin0+cos0)—2=O,??m=⑵證明：F1(—2娘，0),F2(2姬，0),1511^1=(—3—2-^3,—m),此=(—3+2.j3,—m),???MFjfflFL—B+mz,又?.?|?點在雙曲線上，.?.9—m2=6,即m2—3=0,.,網(wǎng)?雕2=0，即此,吃cos0=+g?m=+5口cos 2， 2*17.［解析］(1)f(x)=a?b=-cos17.［解析］(1)f(x)=a?b=-cos2x+/3sinxcosx=-2^sin2x—21cos2x—］=sin■「xWlO,n］,.'?當(dāng)x="3"時，f(x)=1—2=2.⑵由⑴知x=n,3b=j；,尊|,設(shè)向量a與b夾角為I2 2)…r,、 rrnBY19.［解析］(1);m，n,.?m?n=0,??4sinB?sin2彳+夕+cos2B—2142)=0,一rn,_ _ _. _.??2sinB［1—cos-x-+B］+cos2B—2=0,?=2sinB+2sin2B+1—12 )2sin2B—2=0,.?.sinB=2，?0<B<n,.?.B=n6■或6n.1a-b2 1a，則cosa=TawbT=mi=2,a=?.因此，兩向量a與b的(2);a=⑶b=1，.=a>b,,,?此時B=6-,nn夾角為〒.

3方法一：由余弦定理得：b?=a?+c?—2accosB,.\c?—3c+2=0,

.\c=2或c=1.18.［解析］(1)解：???e=\；2?二可設(shè)雙曲線方程為乂2—丫2=入，?.?過(4,一、：訶)點，.?.16—10=入，即入=6,?雙曲線方程為x2—y2=6.ba1 .73 3方法二：由正弦定理得丁^=丁_^,???了=T-^,.??sinA=看，:sinBsinA 1 sinA 22

. .n,,20<A<n,???人=不或不11,oo..n.一r[ ….一n ..2右A=可，因為B=z，所以角C=亍，???邊c=2；右A=5r[,則

o o z 0"八2nn角(5=「『石=不，2asin(.n2asin2x+x+b，I 6J?a>0,.??由2kn—二W2x+:W2kn十:得，kn一nWxWkn+2 6 2 36，k‘乙「?邊c=b,「.c=1.綜上c=2或c=1.函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［kn—g,kn+~6~](k￡Z)3xx3xx20.[解析] (1)a?b=cos-2cos^—sin-2sin^Mcos2x,|a+b|=(3x xAcos-2+cos22+sinI 23x xA-y—sin.2=2(3x x3x xA2+2cos-ycos--sin-ysin2I 2)n]時，2x+nG[7^6 613n],(sin2x+InA飛Je[—1當(dāng)a>0時，f(x)e[—2a+b,a+b]n-i-= =_ I I ___Ln=j2+2cos2x=2|cosx|,.x￡[2,n],.\cosx<0,??.|a+b|=一—2a+b=2a+b=5a=1b=42cosx.fa+b=2當(dāng)a<0時，f(x)e[a+b,—2a+b] ...(—2a+b=5[a=—1⑵f(x)=a?b+|a+b|=cos2x—2cosx=2cos2x—2cosx—1=綜上知，( 1A2cosx--I 22-3a=-1b=3a=1b=4n?x￡[~2~,n],,,—1WcosxW0,..當(dāng)cosx=—1,即x=n時f (x)=3..[解析] (1)f(x)=—2asin2x+2避asinxcosx+a+b=.[解析]設(shè)動點P(x,y),則碓=(x—4,y),#l=(—3,0),PN=(1—x,—y).由已知得一3(x—4)=6、；11—x2+—y2,化簡得3xz+4y2=x2y212,得4+3=1.一 八c一一….、一 ,X2,丫2所以點P的軌跡C是橢圓，C的方程為十?=1.4O(2)由題意知，直線l的斜率必存在，不妨設(shè)過N的直線l的方程為y=k(x—1),設(shè)A,8兩點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).y=kx-i,由＜X2y2