平面向量知識歸納和題型總結(jié)

word格率雷力暨載支持章節(jié)分析：向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形于一體，是海通代數(shù)與幾何的天然橋梁，能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識相結(jié)合，形成知識交匯點(diǎn).向量是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中有重要應(yīng)用.向量有深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具，向量概念引入后，許多形的基本性質(zhì)都可以轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系，例如平行、垂直、夾角,距離等.對本章的學(xué)習(xí)要立足基礎(chǔ)，強(qiáng)化運(yùn)算，重視運(yùn)用,能根據(jù)向量的概念.定理■法則、公式對向量進(jìn)行運(yùn)算，并能運(yùn)用向量知識解決平面幾何中的一些證明和計(jì)算問題.平面向量的概念、幾何運(yùn)算和基本定理1.向量的相關(guān)概念蕓標(biāo)備注向重1既有大小又有方向由堂用arc來表示?；蛴糜邢蛐斩蔚钠瘘c(diǎn)與搜點(diǎn)的大號1孕母表示，如遮零向量'長度為零的向量，記為6:方向是任意的，零向量和任何向重平行單位向里模為1個單位長度的間里?平行（共線相重方向相同或相反的非零向重任何平行向量經(jīng)口平移后總可閡國同一條直線上，相等向量長度相等且方向相同的向里.相等同量經(jīng)過平移后總可以至臺/記為2=M口相反向堇與向量￡長度相等，方向相反的向量，同質(zhì)5的相反向量記作-0向量的模向重的大小E響型的狼（長度〕記作后|即礪尸2.向量的線性運(yùn)算in艇算口〃鰥運(yùn)算日幾何意義'.三角網(wǎng).平行四邊形法則3多邊魁ffl淳摘三角用法則:同起點(diǎn)集接兩向量終點(diǎn)，方向1旨向被破向量.J1.模關(guān)系|曲二因⑷工制關(guān)系圖略中谿略■，一越算律交睇口十［=「十白結(jié)合律（a+W）+c=厘+成+加向量加技法互沏配算— — — T口一b二2+（一句】M向二加值「狐+力）=兀4+需-+--+■—。十期二逅+3模的性B1.，后且同向:|厘+昨同：^J21旎且反向:力+必二［「-科卜3.0）不平行口+E悶曰|+向中1"行.向量的共線定理非零向量a與向量b共線，當(dāng)且吧存"I一一個實(shí)數(shù)九，使石=/。 — —延伸結(jié)論:A,B,C三點(diǎn)共線o4〃就今當(dāng)且僅當(dāng)有唯一XgR，使方=XAC.平面呵量的基本定理如果彳,e是一個平面內(nèi)兩個不共線向量,那么對這平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)%,%

_ ，/°rd格式-可編輯-感謝下載支持使：2二九"十九其中不共線的向量口丁叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.11 1 2 _ _ _ _練習(xí)：（1）已知J,7是平面向量的一組基底￡=x"+y~e,b=x~e+y~e__ 1 2 21 22①若〃二B當(dāng)且僅當(dāng)X=X且丁=y.②若〃=0,則X=x=0. 1 2 1 2 ] 2, ⑵如圖用,無為單位向量，IOCI=2聲，其中OA,OB的夾角為120。，OA，oOC的夾角為30。若OCOC=九OB+口OA，求X,口的值。.一個常用結(jié)論:△ABC中，M為邊BC的中點(diǎn)，則有:2AM=9+AC.練習(xí):設(shè)aabc的重心為點(diǎn)G,設(shè)AB=a,AC=b.試用a,b表示AG.典型例題分析：知識點(diǎn)一:基本概念例1.TOC\o"1-5"\h\z1.如果e,e是平面a內(nèi)兩個不共線向量，那么下列各說法錯誤的有（）1 2①九e+日￡（X,口￡R）可以表示平面a內(nèi)的所有向量；平面a內(nèi)的所有向量都可以表示成一1一2Xe+日e（X,^gR）。2③若向量Xe+日/與Xe+日/共線，則有且只有一個kGR,X11 1③若向量Xe+日/與Xe+日/共線，則有且只有一個kGR,X11 1二 2_J_22 :④若實(shí)數(shù)X,日使Xe+日e=0，則X=r=0.1 2A.①②B.②③C.③④D.②練習(xí):1）判斷下列命題的真假（1）向量AB與向量CD為共線向量，則A,B,C,D四點(diǎn)共線.⑵若AB=CD則四邊形ABCD為平行四邊形.（3）若向量a//b,b||c則a||c.a,b是兩個向量，則Ia+b1<1aI+1bI當(dāng)且僅當(dāng)%,b不共線時成立知識點(diǎn)二:向量的線性運(yùn)算例1.化簡：(1)AB+(1)AB+BC+CA;(2)(AB+MB)+BO+OM;AB-AC+BD-CD；⑺NQ+qp+MN-MP.OA-OD+Ad;(3)OA+OC+BO+CO;(6)AB-AD-DC；例2.如圖，四邊形ABCD,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，求證：AB+DC=2EF.練習(xí)：（1）已知^ABC三個頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,若PA+PB+PC=AB，則（）A.P在AABC內(nèi)部B.P在^ABC外部C.P在AB邊所在直線上 D.P在線段BC上⑵設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，O為任意一點(diǎn)，則OA+OB+OC+OD=AOM B.2OMC.3OMD.4OM知識點(diǎn)三:平面向量基本定理和共線定理例1.1）已知^,/為不共線向量,a=3e-2e,b=-27+”,c=77-4Z用a,b表示c.1 2 1 2 12 122）設(shè)7,7是兩個不共線的向量,已知Ab=27+k7,CB=27+3/,CD=27-7若a,b,d三點(diǎn)共線,1 2 12 12 12求k的值.

例2.證明:平面內(nèi)三點(diǎn)例2.證明:平面內(nèi)三點(diǎn)44。共線使。4=mOB+nOC,且m+n=1.練習(xí)：證明:平面內(nèi)三點(diǎn)共線—word格式-可編輯-感謝下載支持存在兩個均不為0的實(shí)數(shù)m,n,O存在三個均不為0的實(shí)數(shù)l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,且l+m+n=0.向量數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算一、基本知識回顧：1、已知向量a,b,其中z=（X,y）1=（x,y）:向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐11 22標(biāo)表示后,即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密地結(jié)合了起來向量幾何表示或運(yùn)算向量運(yùn)算與關(guān)系向量坐標(biāo)表示或運(yùn)算平行四邊形法則或三角形法則向量加減法a±b=(x±x,y±y)12 12實(shí)數(shù)九與向量a的積是一個向量，―?記作九a實(shí)數(shù)與向量的積九a=Mx,y)=(Xx,Xx)1 1 1 2—?—? —?—? —?—?a?b=abcos<a,b>數(shù)量積a?b—?-?a?b=xx+yy12 12存在唯一的實(shí)數(shù)九,使a=九b（b牛0）向量a//b(b中0)x yn—=—nxy=xyx y 12 212 2a?b=0—? -?向量a1bxx+yy=0 12 1_2 2 22 22a=aa2 (a=a2)向量的模aa={x2+y2-a a?bcos<a,b>==產(chǎn)Jalbl向量夾角<a，b>-x xx+yycos<a,b>= 12；12Jx2+y2Jx2+y211 1"2 2AB//BCoAB二九BCA,B,C三點(diǎn)共線OA=xOB+yOC,且x+y=1練習(xí):1、判斷下列命題的真假1)若向量a〃瓦b//c,則a//c. 2)若a,b=b,c,則a=c(a?b)?c=a?(b?c), 4)(a±b)2二a2±2a?b+b25)a=b0a=b 6)0?a=0,0?a=02、已知a=(4,2),b=(x,3).若a//b，則x=；若a1b,則x=.3、已知A(4,1),B(7,-3),則與AB同向的單位向量是—,與AB平行的單位向量是4、已知點(diǎn)A(-1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為5、已知a:(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),若a=mb+nc,求實(shí)數(shù)m,n.6、已知a=(1,0),b=(2,1)，則?a+3bi=7）下列各組向量中,可以作為平面基底的是（ ）ee=(0,0),e=(-2,1)1 2C.e=(2,-5),e=(-6,4)2e=(4,6),e=(6,9)1 2一 一1 3D.e=(2,-3),e=(-,--)1 2 2 48）已知a//b,a=3,b=4,則a在b方向上的投影為二、典型例題講解例1:1）已知a=3,b=4,a與b的夾角為—，求:__ _ word學(xué)式-可例輯-感謝下河支蘆)a在b方向上的投影(2)(3a—2b)?(a—2b)(3)a+b4、在直角△ABC中,R是斜邊吧上的高，則下列等式不成立的是( )A.IAC|2=AC?ABB.lBC|2=BA?BC(AC?AB)x(BA?BC)C.lABI2=AC?CD D.lCDI2= - IABI2—? —?3)已知向量e,e夾角為60。，|，|=2,|e|=1,a=2e+7e,b=e+te若a與b的夾角為銳角，求t的1 2 11 21 12 12范圍。練習(xí):1)已知向量a,b滿足a=1,b=2,a一b=2,則a+b=2）在^ABC中，已知AB=8,BC=7,ZABC=120。，求邊AC的長度3.二例2:1）已知A（2,3）,B（4,一3）,點(diǎn)P在線段AB的延長線上，且IAPI=-I。臺1求點(diǎn)P的坐標(biāo)（若點(diǎn)P在直線AB上)2)在AABC中,點(diǎn)P在BC上,且BP=2PC,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA=(4,3),PQ=(1,5)，則BC=例3:已知向量m=(a-sin0,-2),n=(：,cos?).TOC\o"1-5"\h\z/一一 一(I)當(dāng)a=—,且m1n時,求sin20的值;(II)當(dāng)a=0,且m//n時，求tan0的值.2tn/,%,2 1、解：(I)當(dāng)a=7-時,m=(--sin0,--)乙 乙 乙n_n nn 2???m1n，.二由m-n=0,得sin0+cos0=—, 3 分上式兩邊平方得1+sin20=1,因此,sin20=-1 6分(II)當(dāng)a=0時,m=(-sin0,-1),由m/n得sin0cos0=—即sin20=— 9分4 2vsin20=2tan0c,??.tan0=2+<3或2—3 12分1+tan20一/ 3 .3、丁/x .例4、已知向量a二(cos-x,sin—x),b=(cos—,-sin22 2— I — — — — —1)當(dāng)a1b時，求x的集合； 2)求,+b；3)求函數(shù)y=a-b-4Ia+bI的最小值4)求函數(shù)y=a-b-2九Ia+bI的最小值5）若fQ）=a-b-2,a+b—|的最小值是-3,求實(shí)數(shù)九的值.練習(xí):1）設(shè)a,b是不共線的兩非零向量，若IaI=IbI,且a,b夾角為60。,求t為何值時,Ia-tbI的值最小.一, 3 .3、1,x.x、 「兀兀一2)已知向量a=(cos-x,sin-x),b=(cos-,-sin-)且xe[--,-].乙 乙 乙 乙 Jl-(1)求a?b及|a+b|；⑵若f(x)=a?b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.

word格式-可編輯-感謝下載支持向量與三角形平面向量的應(yīng)用十分廣泛.由于三角形中的有關(guān)線段可以視為向量，線線之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系以及邊角關(guān)系均可以用向量表示，這就為向量與三角形的溝通、聯(lián)系、交匯提供了條件,在這類問題中，往往要涉及到向量的和差運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及向量的共線、垂直、向量的模等性質(zhì)，因此解題思路較寬、方法靈活、綜合性強(qiáng).三角形之心夕卜心.三角形外接圓的圓心,簡稱外心.是三角形三邊中垂線的交點(diǎn).（下左圖）三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心.掌握重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍.（上右圖）三、垂心三角形三條高的交點(diǎn)，稱為三角形的垂心.（下左圖）三角形三條高的交點(diǎn)，稱為三角形的垂心.（下左圖）三角形內(nèi)切圓的圓心,簡稱為內(nèi)心.是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn).三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理:三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例.（上右圖）知識點(diǎn)一、三角形形狀與向量1、已知向量OP,OP,OP滿足條件OP+OP+OP=0,且IOP1=OP1=1OP1=1，求證APPP是123 1 2 3 1 2 3 123正三角形.2、O是AABC所在平面上的一點(diǎn)，若(OB-OC)?(OB+OC—20A)=0,則AABC是—三角形.3、已知非零向量福AC和豌滿足（益+lAfi）.前=0且煮磊T,則aabc為.4、若O為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足OB—OC=OB+OC—2OA,則AABC的形狀為（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形ABAC ABAC15、已知非零向量AB與AC滿足（ + -）,BC=0且 ., -=，則AABC為 （）IABIIACI IABIIACI2兒三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形思路分析：1.根據(jù)四個選擇支的特點(diǎn):本題可采用驗(yàn)證法來處理,不妨先驗(yàn)證等邊三角形,剛好適合題意,則可同時排除其他三個選擇支,故選D.

word格式-可編輯-感謝下載支持TOC\o"1-5"\h\zAB AC ,ABAC、2.由于一一十一「所在直線穿過△ABC的內(nèi)心，則由（一一十—「）?BC=0知，AB=AC（等腰三IABIIACI IABIIACI AB AC1一「，兀 ,山、1 ??一角形的三線合一定理）；又一「?一一二，所以NA二丁，即AABC為等邊三角形，故選D.\o"CurrentDocument"IABIIACI2 3知識點(diǎn)二、三角形的“心”與向量重心在AABC中,AD為BC邊上的中線，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得AB+AC=2A5.這說明AB+AC所在的直線過BC的中點(diǎn)D,從而一定通過AABC的重心.另外，G為AABC的重心的充要條件是GA+GB+GC=0或OG=3（OA+OB+OC）,（其中O為AABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），這也是兩個常用的結(jié)論.例1.已知ABC是平面上不共線的三點(diǎn)，O是AABC的外心，動點(diǎn)P滿足而=g［（1—X）O4+（1-九）赤+（1+2X）（9C）］（XgR）,則P的軌跡一定通過AABC的（）A.內(nèi)心 B.垂心 C.外心 D.重心思路分析:取AB邊的中點(diǎn)M,則OA+OB=20M,由OF=1［（1_九）市+（1-九）詼+（1+2九）雙）］（九gR）可得30P=20M+0C+-k（OC-0M）=30M+（1+2九）MC,所以1+2九—八MP=-^―MCQgR）,即點(diǎn)P的軌跡為三角形中AB邊上的中線,故選D.垂心TOC\o"1-5"\h\zAB AC在AABC中，由向量的數(shù)量積公式，可得（= += ）?BC=0，這說明IABIcosBIACIcosCAB AC—； +—； 所在直線是BC邊上的高所在直線,從而它一定通過AABC的垂心.IABIcosBIACIcosCAB例：右動點(diǎn)p滿足opAB例：右動點(diǎn)p滿足op=OA+ IABIcosB+-= ）,九>0，則點(diǎn)P軌跡一定通過AABC的IACIcosC（ ）人、外心 8、內(nèi)心C、垂心口、重心例2.點(diǎn)O是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OA?OB=OB?OC=OC?OA，則點(diǎn)O是AABC的（）A.三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn) D.三條高的交點(diǎn)思路分析：由OA,OB=OBOC,得OB-（OA-OC）=OB?CA=0,所以O(shè)B1AC，即OB1AC