廣東省中山火炬開(kāi)發(fā)區(qū)高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省中山火炬開(kāi)發(fā)區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，由圖知道陰影部分表示中把中去掉后剩下元素組成的集合，寫出結(jié)果即可.【詳解】，由圖知道陰影部分表示中把中去掉后剩下元素組成的集合.即圖中陰影部分表示的集合為.故選：A.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】舉兩個(gè)反例分別說(shuō)明充分性、必要性不成立即可.【詳解】若，則，這表明充分性不成立；若，則，但是不滿足，這表明必要性不成立；綜上所述，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3.命題“每一個(gè)四邊形的對(duì)角線都互相垂直”的否定是（）A.每一個(gè)四邊形的對(duì)角線都不互相垂直B.存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線不垂直C.所有對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形D.存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定分析判斷即可.【詳解】因?yàn)椤懊恳粋€(gè)四邊形的對(duì)角線都互相垂直”是全稱命題，所以其否定為：存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線不垂直，故B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.4.已知關(guān)于的不等式的解集為，其中為常數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.，或C，或 D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得出再化簡(jiǎn)得出,即可得出不等式的解集.【詳解】關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則，且是一元二次方程的兩根，于是解得則不等式化為，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A.5.下列各組函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用同一函數(shù)的定義與判定方法，結(jié)合函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，所以A不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)有意義，則滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又由函?shù)有意義，則滿足，解得或即函數(shù)的定義域?yàn)?，所以兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，所以B不符合題意；對(duì)于C中，由函數(shù)與的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一個(gè)函數(shù)，所以C符合題意；對(duì)于D中，由函數(shù)，所以兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，所以D不符合題意.故選：C.6.已知函數(shù)，則（

）A.是奇函數(shù) B.定義域?yàn)镃.在上單調(diào)遞增 D.值域?yàn)椤敬鸢浮緾【解析】【分析】化簡(jiǎn)，由奇偶函數(shù)的定義可判斷A；求出的定義域可判斷B；由定義法證明的單調(diào)性可判斷C；由基本不等式可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，所以是偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；任取，且，，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；故選：C.7.定義在0,+∞上的函數(shù)滿足：對(duì)，且，都有成立，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，結(jié)合所給特殊值，得到不等式計(jì)算即可.【詳解】令，因?yàn)閷?duì)，且，都有成立，不妨設(shè)，則，故，則，即，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.故選：A.8.已知函數(shù)（且），若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知當(dāng)時(shí)，，由題意可知當(dāng)時(shí)，則的值域包含，分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，且，所以，若函數(shù)的值域?yàn)?，可知?dāng)時(shí)，則的值域包含，若，則在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，不合題意；若，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，，，則下列不等式恒成立是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式判斷ABD，舉反例可判斷C.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；令，則不成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BD10.已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式，則下列不可能成立的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】畫(huà)出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象可得的大小關(guān)系.【詳解】作出函數(shù)和圖象如圖所示：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由圖可知；當(dāng)時(shí)，由圖可知；當(dāng)時(shí)，由圖可知，故選：CD.11.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如.設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 B.的最大值為1，沒(méi)有最小值C. D.在上是增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的定義，結(jié)合的解析式，作出函數(shù)圖象，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】因?yàn)椋?huà)出的圖象如下：A選項(xiàng)，可以看出此函數(shù)不是偶函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，無(wú)最大值，有最小值0，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，故，，因?yàn)椋?，故，C正確；D選項(xiàng)，由圖象可知在R上不是增函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.求值：－＋＝_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算、零指數(shù)冪運(yùn)算得出結(jié)果.【詳解】－＋＝故答案為：13.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得出不等式組，即可求得函數(shù)的定義域，得到答案.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)有意義，則滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14.不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍____．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)可得，利用基本不等式求最值，可得參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，恒成立；當(dāng)，即時(shí)，不等式，可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，所以，所以，綜上所述，的取值范圍為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知集合，．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第（2）問(wèn)的橫線處，求解下列問(wèn)題．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若__________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或x≥4（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）解分式不等式化簡(jiǎn)集合，由交集、補(bǔ)集的概念即可得解；（2）由題意條件①與②都等價(jià)于是的子集，條件③等價(jià)于是的補(bǔ)集的子集，只需分集合是否是空集，列不等式進(jìn)行討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，．所以，所以或；【小問(wèn)2詳解】若①成立，則當(dāng)且僅當(dāng)是的子集，若②成立，則當(dāng)且僅當(dāng)是的子集，所以條件①與②等價(jià)，若條件①或②成立，此時(shí)若是空集，則，解得，若不是空集，即，且是的子集，則，解得，所以，從而無(wú)論條件①還是②都有或；若條件③成立，若是空集，則，解得，若不是空集，即，且是的補(bǔ)集的子集，而或，則或，解得或，所以或，從而若條件③成立，則或，綜上所述，無(wú)論條件①還是②都有或；若條件③成立，則或.16.（1）已知，求的解析式；（2）已知函數(shù)，，，用表示、中的較小者，記為，求的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，則，可得出，，由此可得出的表達(dá)式，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）分別解不等式、，結(jié)合可得出函數(shù)的解析式.【詳解】（1）設(shè)，則，則，所以，，所以，，其中，則．（2）由，即，即，解得，由，即，即，解得或，所以，.17.已知函數(shù)，且其定義域?yàn)椋?）判定函數(shù)的奇偶性；（2）利用單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞減；（3）解不等式．【答案】（1）奇函數(shù)（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）檢驗(yàn)與的關(guān)系即可判斷;（2）任取，然后利用作差法比較與的大小即可判斷;（3）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù)，理由如下：因?yàn)?，且函?shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】任取，所以，，則，所以，故在上單調(diào)遞減；【小問(wèn)3詳解】可轉(zhuǎn)化為，則，所以，解得，故的范圍為.18.中國(guó)建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國(guó)際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(huì)（SEMI）的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國(guó)計(jì)劃建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬(wàn)元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬(wàn)枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬(wàn)元），已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價(jià)格售出.（1）已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），試求出的函數(shù)解析式；（2）請(qǐng)你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤(rùn)最大，并預(yù)測(cè)最大利潤(rùn).【答案】（1）（2）產(chǎn)量為40萬(wàn)枚時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為220萬(wàn)元【解析】【分析】（1）由分段代入計(jì)算即可得.（2）借助一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式計(jì)算每段的利潤(rùn)最大值即可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的函數(shù)解析式為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，而，所以當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬(wàn)枚時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為220萬(wàn)元.19.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镈，集合，若存在非零實(shí)數(shù)t使得對(duì)任意都有，且，則稱為M上的t-增長(zhǎng)函數(shù)．（1）已知函數(shù)，判斷是否為區(qū)間上的-增長(zhǎng)函數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)，且是區(qū)間上的n-增長(zhǎng)函數(shù)，求正整數(shù)n的最小值；（3）如果是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且為R上的4-增長(zhǎng)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析（2）正整數(shù)n的最小值為9（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分析證明；（2）根據(jù)題意分析可得對(duì)恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)分析運(yùn)算；（3）根據(jù)奇函數(shù)先求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和符號(hào)分析可得，再分類討論驗(yàn)證其充分性.小問(wèn)1詳解】是，理由如下：由題意可得：函數(shù)的定義域?yàn)镽