高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章不等式課時(shí)訓(xùn)練

第六章不等式第1課時(shí)一元二次不等式及其解法一、填空題1.函數(shù)f(x)＝eq\r(3－2x－x2)的定義域?yàn)開(kāi)_________．答案：[－3，1]解析：由3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1.2.不等式eq\f(x＋5,x－1)≥0的解集是____________．答案：(－∞，－5]∪(1，＋∞)解析：由eq\f(x＋5,x－1)≥0，得(x＋5)(x－1)≥0且x－1≠0，解得x≤－5或x>1.3.不等式2x2－x<4的解集為_(kāi)_______．答案：{x|－1＜x＜2}解析：由題意得x2－x<2?－1<x<2，解集為{x|－1＜x＜2}．4.不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴a＜－4或a＞4.5.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．答案：(－2，2]解析：原不等式等價(jià)于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，①當(dāng)m＝2時(shí)，對(duì)任意x不等式都成立；②當(dāng)m－2<0時(shí)，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2<m<2.綜合①②，得m∈(－2，2]．6.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_______．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)解析：由已知得f(0)＝0，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x≥0，,－x2－4x，x<0.))不等式f(x)>x等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2－4x>x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－x2－4x>x，))解得x>5或－5<x<0.7.已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1.若對(duì)于任意x∈[m，m＋1]都有f(x)＜0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))解析：二次函數(shù)f(x)對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＝m2＋m2－1＜0，,f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，))解得－eq\f(\r(2),2)＜m＜0.8.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，x≥0，,－x2＋3x，x<0，))則不等式f(x)<f(4)的解集為_(kāi)_______．答案：{x|x<4}解析：f(4)＝eq\f(4,2)＝2，不等式即為f(x)<2，當(dāng)x≥0時(shí)，由eq\f(x,2)<2，得0≤x<4；當(dāng)x<0時(shí)，由－x2＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0.綜上，f(x)<f(4)的解集為{x|x<4}．9.在R上定義運(yùn)算：x?y＝x(1－y)，若?x∈R使得(x－a)?(x＋a)＞1成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析：∵?x使得(x－a)?(x＋a)＞1?(x－a)(1－x－a)＞1，即?x使得x2－x－a2＋a＋1＜0成立，∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＞0?4a2－4a－3＞0，解得a＞eq\f(3,2)或a＜－eq\f(1,2).10.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x（x≥0），,－x2＋x（x<0），))則不等式f(x2－x＋1)<12的解集是________．答案：{x|－1＜x＜2}解析：由函數(shù)圖象知f(x)為R上的增函數(shù)且f(3)＝12，從而x2－x＋1＜3，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.二、解答題11.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集為{x|－1＜x＜3}，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：(1)由題意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3)，∴不等式的解集為{a|3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3)}．(2)∵f(x)＞b的解集為{x|－1＜x＜3}，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1，3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－1）＋3＝\f(a（6－a）,3)，,（－1）×3＝\f(6－b,－3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3，))即a的值為3＋eq\r(3)或3－eq\r(3)，b的值為－3.12.已知a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.解：原不等式等價(jià)于(ax－2)(x－2)>0，以下分情況進(jìn)行討論：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，x<2.(2)當(dāng)a<0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x－2)<0，由eq\f(2,a)<0<2知eq\f(2,a)<x<2.(3)當(dāng)a>0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x－2)>0，考慮eq\f(2,a)－2＝2·eq\f(1－a,a)的正負(fù)：①當(dāng)0<a<1時(shí)，eq\f(2,a)>2，故x<2或x>eq\f(2,a)；②當(dāng)a＝1時(shí)，eq\f(2,a)＝2，故x≠2；③當(dāng)a>1時(shí)，eq\f(2,a)<2，故x<eq\f(2,a)或x>2.綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，該不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,a)＜x＜2))；當(dāng)a＝0時(shí)，該不等式的解集為{x|x＜2}；當(dāng)0<a<1時(shí)，該不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜2或x＞\f(2,a)))；當(dāng)a≥1時(shí)，該不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(2,a)或x＞2)).13.已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.(1)若對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍；(2)設(shè)不等式對(duì)于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍．解：(1)對(duì)所有實(shí)數(shù)x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋m－2的圖象全部在x軸下方，當(dāng)m＝0時(shí)，－2x－2<0，顯然對(duì)任意x不能恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，由二次函數(shù)的圖象可知有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝4－4m（m－2）<0，))解得m<1－eq\r(2)，綜上可知m的取值范圍是(－∞，1－eq\r(2))．(2)設(shè)g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一個(gè)以m為自變量的一次函數(shù)，由x2＋1>0知g(m)在[－2，2]上為增函數(shù)，則由題意只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0<x<1，所以x的取值范圍是(0，1)．第2課時(shí)二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃一、填空題1.若點(diǎn)(m，1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是____________．答案：(1，＋∞)解析：由2m＋3－5>0，得m>1.2.不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)______________.答案：eq\f(1,4)解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰾CD，由題意知xB＝1，xC＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝x－1，))得yD＝eq\f(1,2)，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×(xC－xB)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).3.若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤4，,x＋3y≤7，,x≥0，,y≥0，))則z＝3x＋2y的最大值為_(kāi)_______．答案：7解析：由約束條件作出可行域，可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)(1，2)時(shí)z＝3x＋2y的最大值為7.4.已知不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≥－1，,y≥0))所表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若直線y＝kx－3與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是________．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析：依據(jù)線性約束條件作出可行域如圖陰影部分所示，注意到y(tǒng)＝kx－3過(guò)定點(diǎn)(0，－3)，∴斜率的兩個(gè)端點(diǎn)值為－3，3，兩斜率之間存在斜率不存在的情況，∴k的取值范圍為(－∞，－3]∪[3，＋∞)．5.若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))則z＝3x－4y的最小值為_(kāi)_______．答案：－1解析：目標(biāo)函數(shù)即y＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)z，其中z表示斜率為k＝eq\f(3,4)的直線系與可行域有交點(diǎn)時(shí)直線的截距值的eq\f(1,4)，截距最大的時(shí)候目標(biāo)函數(shù)取得最小值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(1，1)處取得最小值z(mì)＝3x－4y＝－1.6.已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1,x＋y≤m.))，如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實(shí)數(shù)m＝________．答案：5解析：畫(huà)出可行域便知，當(dāng)直線x－y－z＝0通過(guò)直線y＝2x－1與x＋y＝m的交點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,3)，\f(2m－1,3)))時(shí)，函數(shù)z＝x－y取得最小值，∴eq\f(m＋1,3)－eq\f(2m－1,3)＝－1，解得m＝5.7.若變量x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))則x2＋y2的最大值是________．答案：10解析：可行域如圖所示，設(shè)z＝x2＋y2，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))由圖可知，當(dāng)圓x2＋y2＝z過(guò)點(diǎn)(3，－1)時(shí)，z取得最大值，即(x2＋y2)max＝32＋(－1)2＝10.8.若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：(－4，2)解析：可行域?yàn)椤鰽BC，如圖，當(dāng)a＝0時(shí)，顯然成立．當(dāng)a＞0時(shí)，直線ax＋2y－z＝0的斜率k＝－eq\f(a,2)＞kAC＝－1，a＜2.當(dāng)a＜0時(shí)，k＝－eq\f(a,2)＜kAB＝2，∴a＞－4.綜合得－4＜a＜2.9.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為_(kāi)_______萬(wàn)元．甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128答案：18解析：設(shè)每天甲、乙的產(chǎn)量分別為x噸，y噸，由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋4y，線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示：可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取到最大值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，,3x＋2y＝12，))得A(2，3)，則zmax＝3×2＋4×3＝18(萬(wàn)元)．10.設(shè)m為實(shí)數(shù)，若{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5≥0，,3－x≥0，,mx＋y≥0))?{(x，y)|x2＋y2≤25}，則m的取值范圍是________．答案：[0，eq\f(4,3)]解析：由題意知，可行域應(yīng)在圓內(nèi)，如圖，如果－m>0，則可行域取到x＜－5的點(diǎn)，不在圓內(nèi)，故－m≤0，即m≥0.當(dāng)mx＋y＝0繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線過(guò)B點(diǎn)時(shí)為邊界位置．此時(shí)－m＝－eq\f(4,3)，∴m＝eq\f(4,3)，∴0≤m≤eq\f(4,3).二、解答題11.某客運(yùn)公司用A，B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次．A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛，公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天運(yùn)送人數(shù)不少于900，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？解：設(shè)A型、B型車輛分別為x，y輛，相應(yīng)營(yíng)運(yùn)成本為z元，則z＝1600x＋2400y.由題意，得x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y≤x＋7，,36x＋60y≥900，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))作可行域如圖所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由圖可知，當(dāng)直線z＝1600x＋2400y經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線z＝1600x＋2400y在y軸上的截距eq\f(z,2400)最小，即z取得最小值，故應(yīng)配備A型車5輛、B型車12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最?。?2.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計(jì)劃每天每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸，需煤9噸，電力4千瓦時(shí)，勞力3個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸，需煤4噸，電力5千瓦時(shí)，勞力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)為7萬(wàn)元，乙產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)為12萬(wàn)元；但每天用煤不超過(guò)300噸，電力不超過(guò)200千瓦時(shí)，勞力只有300個(gè)．問(wèn)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大？解：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸，利潤(rùn)總額為z萬(wàn)元，則線性約束條件為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9x＋4y≤300，,4x＋5y≤200，,3x＋10y≤300，,x≥15，,y≥15，))目標(biāo)函數(shù)為z＝7x＋12y，作出可行域如圖，作出一組平行直線7x＋12y＝t，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)直線4x＋5y＝200和直線3x＋10y＝300的交點(diǎn)A(20，24)時(shí)，利潤(rùn)最大，即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸、24噸時(shí)，利潤(rùn)總額最大，zmax＝7×20＋12×24＝428(萬(wàn)元)．答：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸、乙產(chǎn)品24噸，才能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大．13.變量x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))(1)設(shè)z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍；(3)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍．解：由約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如圖陰影部分所示．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1，1)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5，2)．(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)，∴z的值是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29)，故z的取值范圍是[2，29]．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3，2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3，2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝eq\r(（－3－5）2＋（2－2）2)＝8，故z的取值范圍是[16，64]．第3課時(shí)基本不等式一、填空題1.已知x>eq\f(5,4)，則函數(shù)y＝4x＋eq\f(1,4x－5)的最小值為_(kāi)_______．答案：7解析：y＝4x＋eq\f(1,4x－5)＝(4x－5)＋eq\f(1,4x－5)＋5≥2＋5＝7.當(dāng)且僅當(dāng)4x－5＝eq\f(1,4x－5)，即x＝eq\f(3,2)時(shí)取等號(hào)．2.設(shè)x＞－1，則函數(shù)y＝eq\f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)的最小值為_(kāi)_______．答案：9解析：因?yàn)閤>－1，所以x＋1>0.設(shè)x＋1＝z＞0，則x＝z－1，所以y＝eq\f(（z＋4）（z＋1）,z)＝eq\f(z2＋5z＋4,z)＝z＋eq\f(4,z)＋5≥2eq\r(z·\f(4,z))＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)z＝2，即x＝1時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y有最小值9.3.若實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為_(kāi)_______．答案：2eq\r(2)解析：依題意知a＞0，b＞0，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))＝eq\f(2\r(2),\r(ab))，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)，即b＝2a時(shí)等號(hào)成立．因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以eq\r(ab)≥eq\f(2\r(2),\r(ab))，即ab≥2eq\r(2)，所以ab的最小值為2eq\r(2).4.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為_(kāi)_________．答案：2eq\r(6)－3解析：由xy＋2x＋y＝4，解得y＝eq\f(4－2x,x＋1)，則x＋y＝x－2＋eq\f(6,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(6,x＋1)－3≥2eq\r(6)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\f(6,x＋1)，即x＝eq\r(6)－1時(shí)等號(hào)成立．所以x＋y的最小值為2eq\r(6)－3.5.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足(x－1)(y＋1)＝16，則x＋y的最小值為_(kāi)_________．答案：8解析：由題知x－1＝eq\f(16,y＋1)，從而x＋y＝eq\f(16,y＋1)＋(y＋1)≥2eq\r(16)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)y＋1＝eq\f(16,y＋1)，即y＝3時(shí)取等號(hào)．所以x＋y的最小值為8.6.已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝2，則eq\f(x＋8y,xy)的最小值為_(kāi)_________．答案：9解析：eq\f(x＋8y,xy)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(8,x)))(x＋2y)＝eq\f(1,2)(2＋8＋eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)·16)≥eq\f(1,2)(10＋2eq\r(16))＝eq\f(1,2)×18＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,y)＝4，x＋2y＝2，即y＝eq\f(1,3)，x＝eq\f(4,3)時(shí)等號(hào)成立．7.若x>0，y>0，則eq\f(x,x＋2y)＋eq\f(y,x)的最小值為_(kāi)_______．答案：eq\r(2)－eq\f(1,2)解析：(解法1)設(shè)t＝eq\f(y,x)(t>0)，則eq\f(x,x＋2y)＋eq\f(y,x)＝eq\f(1,1＋2t)＋t＝eq\f(1,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))－eq\f(1,2)≥2eq\r(\f(1,2))－eq\f(1,2)＝eq\r(2)－eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(\r(2)－1,2)，即eq\f(y,x)＝eq\f(\r(2)－1,2)時(shí)等號(hào)成立.(解法2)設(shè)t＝eq\f(x,y)(t>0)，令eq\f(x,x＋2y)＋eq\f(y,x)＝eq\f(t,t＋2)＋eq\f(1,t)＝f(t)，則f′(t)＝eq\f(（t－2）2－8,t2（t＋2）2)，易知當(dāng)t＝2＋2eq\r(2)時(shí)，f(t)min＝eq\r(2)－eq\f(1,2).8.已知x＞0，y＞0，若不等式x3＋y3≥kxy(x＋y)恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為_(kāi)_______．答案：1解析：由題設(shè)知k≤eq\f(（x＋y）（x2－xy＋y2）,（x＋y）xy)，∴k≤eq\f(x2－xy＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－1恒成立．∵eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－1≥2－1＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，從而k≤1，即k的最大值為1.9.已知正數(shù)x，y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝1，則eq\f(4x,x－1)＋eq\f(9y,y－1)的最小值為_(kāi)_______．答案：25解析：由eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝1，得x＋y＝xy，eq\f(4x,x－1)＋eq\f(9y,y－1)＝eq\f(4（x－1）＋4,x－1)＋eq\f(9（y－1）＋9,y－1)＝13＋eq\f(4,x－1)＋eq\f(9,y－1)＝13＋eq\f(9x＋4y－13,xy－x－y＋1)＝9x＋4y＝(9x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝13＋eq\f(4y,x)＋eq\f(9x,y)≥13＋2eq\r(36)＝25，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,y)＝eq\f(2,3)時(shí)等號(hào)成立．10.若不等式x2－2y2≤cx(y－x)對(duì)任意滿足x＞y＞0的實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_(kāi)_______．答案：2eq\r(2)－4解析：由題意可得c≤eq\f(x2－2y2,xy－x2)＝eq\f(\f(x2－2y2,x2),\f(xy－x2,x2))＝eq\f(1－\f(2y2,x2),\f(y,x)－1)，令eq\f(y,x)＝t，則0<t<1，故c≤eq\f(1－2t2,t－1)＝eq\f(2t2－1,1－t)；令u＝1－t，則0<u<1，故c≤eq\f(2t2－1,1－t)＝eq\f(2（1－u）2－1,u)＝－4＋2u＋eq\f(1,u)，得－4＋2u＋eq\f(1,u)的最小值為2eq\r(2)－4，故實(shí)數(shù)c的最大值為2eq\r(2)－4.二、解答題11.設(shè)x≥0,y≥0，x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值．解：∵x≥0,y≥0,x2＋eq\f(y2,2)＝1，∴xeq\r(1＋y2)＝eq\r(x2（1＋y2）)＝eq\r(2x2×\f(1＋y2,2))≤eq\r(2)×eq\f(x2＋\f(1＋y2,2),2)＝eq\r(2)×eq\f(x2＋\f(y2,2)＋\f(1,2),2)＝eq\f(3\r(2),4).當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\f(1＋y2,2)，即x＝eq\f(\r(3),2)，y＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，xeq\r(1＋y2)取得最大值eq\f(3\r(2),4).12.某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長(zhǎng)，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左、右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為x(m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求S的最大值．解：(1)由題設(shè)，得S＝(x－8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,x)－2))＝－2x－eq\f(7200,x)＋916，x∈(8，450)．(2)因?yàn)?<x<450，所以2x＋eq\f(7200,x)≥2eq\r(2x×\f(7200,x))＝240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝60時(shí)等號(hào)成立．從而S≤676.故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為60m時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為67613.某地區(qū)共有100戶農(nóng)民從事蔬菜種植，據(jù)調(diào)查，每戶年均收入為3萬(wàn)元．為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，當(dāng)?shù)卣疀Q定動(dòng)員部分種植戶從事蔬菜加工．據(jù)估計(jì)，如果能動(dòng)員x(x>0，x∈N)戶農(nóng)民從事蔬菜加工，那么剩下從事蔬菜種植的農(nóng)民每戶年均收入有望提高2x%，從事蔬菜加工的農(nóng)民每戶年均收入為3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,50)))(a>0)萬(wàn)元．(1)在動(dòng)員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動(dòng)員前從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入，試求x的取值范圍；(2)在(1)的條件下，要使100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的年總收入始終不高于從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入，試求實(shí)數(shù)a的最大值．解：(1)由題意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，解得0≤x≤50.因?yàn)閤>0，所以0<x≤50，x∈N.(2)從事蔬菜加工的農(nóng)民的年總收入為3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,50)))x萬(wàn)元，從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入為3(100－x)(1＋2x%)萬(wàn)元，根據(jù)題意，得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,50)))x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋eq\f(x2,25)恒成立．又x>0，所以a≤eq\f(100,x)＋eq\f(x,25)＋1恒成立，而eq\f(100,x)＋eq\f(x,25)＋1≥5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝50時(shí)取等號(hào))，所以a的最大值為5.第4課時(shí)不等式的綜合應(yīng)用一、填空題1.已知log2x＋log2y＝1，則x＋y的最小值為_(kāi)_______．答案：2eq\r(2)解析：由log2x＋log2y＝1得x>0，y>0，xy＝2，x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(2).2.若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是________．答案：(－∞，－2]解析：∵2x＋2y≥2eq\r(2x＋y)，且2x＋2y＝1，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，∴x＋y≤－2.3.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋2xy－1＝0，則x2＋y2的最小值是________．答案：eq\f(\r(5)－1,2)解析：由x2＋2xy－1＝0，得y＝eq\f(1－x2,2x).故x2＋y2＝x2＋eq\f(x4－2x2＋1,4x2)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x2＋\f(1,x2)))－eq\f(1,2)≥eq\f(\r(5)－1,2).4.已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x－y－1≤0，,x＋y＋1≥0，))則z＝eq\f(y,x＋1)的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖所示)，z＝eq\f(y,x＋1)的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(－1，0)的連線的斜率k，由圖象，得－1≤k≤eq\f(1,2).5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是________．答案：4解析：P，Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，設(shè)P(m，n)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則m＞0，n＞0，n＝eq\f(2,m)，所以PQ2＝4OP2＝4(m2＋n2)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋\f(4,m2)))≥16，當(dāng)且僅當(dāng)m2＝eq\f(4,m2)，即m＝eq\r(2)時(shí)取等號(hào)．故線段PQ長(zhǎng)的最小值是4.6.若實(shí)數(shù)a，b滿足ab－4a－b＋1＝0(a＞1)，則(a＋1)(b＋2)的最小值為_(kāi)_______．答案：27解析：∵ab－4a－b＋1＝0，∴b＝eq\f(4a－1,a－1)，ab＝4a＋b－1.∴(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋eq\f(4a－1,a－1)·2＋1＝6a＋eq\f([4（a－1）＋3]×2,a－1)＋1＝6a＋8＋eq\f(6,a－1)＋1＝6(a－1)＋eq\f(6,a－1)＋15.∵a＞1，∴a－1＞0.∴原式＝6(a－1)＋eq\f(6,a－1)＋15≥2eq\r(6×6)＋15＝27.當(dāng)且僅當(dāng)(a－1)2＝1，即a＝2時(shí)等號(hào)成立．∴(a＋1)(b＋2)的最小值為27.7.已知x，y為正實(shí)數(shù)，則eq\f(4x,4x＋y)＋eq\f(y,x＋y)的最大值為_(kāi)_____．答案：eq\f(4,3)解析：設(shè)m＝4x＋y＞0，n＝x＋y＞0，則x＝eq\f(m－n,3)，y＝eq\f(4n－m,3)，eq\f(4x,4x＋y)＋eq\f(y,x＋y)＝eq\f(8,3)－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4n,m)＋\f(m,n)))≤eq\f(8,3)－eq\f(4,3)＝eq\f(4,3).8.若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≤b)的值域?yàn)閇0，＋∞)，則eq\f(b－a,a＋b＋c)的最大值是________．答案：eq\f(1,3)解析：由題意可得b2－4ac＝0，且b≥a>0，則eq\f(c,a)＝eq\f(b2,4a2).令y＝eq\f(b－a,a＋b＋c)，則y＝eq\f(b－a,a＋b＋c)＝eq\f(\f(b,a)－1,\f(c,a)＋\f(b,a)＋1)＝eq\f(\f(b,a)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))\s\up12(2)＋\f(b,a)＋1)，令t＝eq\f(b,a)，則t≥1，則y＝eq\f(4（t－1）,t2＋4t＋4)，再令t－1＝u，則y＝eq\f(4u,u2＋6u＋9)，當(dāng)u>0時(shí)，y＝eq\f(4,u＋\f(9,u)＋6)≤eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，當(dāng)且僅當(dāng)u＝3時(shí)等號(hào)成立，即eq\f(b－a,a＋b＋c)的最大值是eq\f(1,3).9.已知函數(shù)f(x)＝|x|＋|x－2|，則不等式f(x2＋6)>f(5x)的解集是________．答案：(－∞，－4)∪(－1，2)∪(3，＋∞)解析：因?yàn)楫?dāng)x>2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，且f(x)＝f(2－x)．因此不等式f(x2＋6)>f(5x)等價(jià)于2－(x2＋6)<5x<x2＋6，解得x>3或x<－4或－1<x<2，即所求不等式的解集為(－∞，－4)∪(－1，2)∪(3，＋∞)．10.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋2，x≤2，,log2x，x>2，))若?x0∈R，使得f(x0)≤5m－4m2成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))解析：函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋2，x≤2，,log2x，x>2，))當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)＝(x－1)2＋1≥1；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝log2x>1，故函數(shù)f(x)的最小值為1，所以5m－4m2≥1，解得eq\f(1,4)≤m≤1.二、解答題11.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)≥x，且當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，有f(x)≤eq\f(1,8)(x＋2)2成立．(1)求證：f(2)＝2；(2)若f(－2)＝0，求f(x)的解析式．(1)證明：由條件知f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立，又取x＝2時(shí)，f(2)＝4a＋2b＋c≤eq\f(1,8)×(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.(2)解：∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝2，,4a－2b＋c＝0，))∴4a＋c＝2b＝1，∴b＝eq\f(1,2)，c＝1－4a.又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．∴a>0，Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)－4a(1－4a)≤0，解得a＝eq\f(1,8)，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(1,8)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).12.某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹(shù)的產(chǎn)量w(單位：百千克)與肥料費(fèi)用x(單位：百元)滿足如下關(guān)系：w＝4－eq\f(3,x＋1)，且投入的肥料費(fèi)用不超過(guò)5百元．此外，還需要投入其他成本(如施肥的人工費(fèi)等)2x百元．已知這種水蜜桃的市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克(即16百元/百千克)，且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求．記該棵水蜜桃樹(shù)獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)(單位：百元)．(1)求利潤(rùn)L(x)的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水蜜桃樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：(1)L(x)＝16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,x＋1)))－x－2x＝64－eq\f(48,x＋1)－3x(0≤x≤5)．(2)L(x)＝64－eq\f(48,x＋1)－3x＝67－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(48,x＋1)＋3（x＋1）))≤67－2eq\r(\f(48,x＋1)·3（x＋1）)＝43.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(48,x＋1)＝3(x＋1)，即x＝3時(shí)取等號(hào)．故L(x)max＝43.答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植該水蜜桃樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4300元．13.如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)6m，寬2m的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪．已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪