高考數(shù)學(xué)（文）培優(yōu)增分一輪全國經(jīng)典版培優(yōu)講義選修4－4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程第2講參數(shù)方程

第2講參數(shù)方程板塊一知識梳理·自主學(xué)習(xí)[必備知識]考點1參數(shù)方程的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))(*)，如果對于t的每一個允許值，由方程組(*)所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組(*)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參數(shù)．考點2直線和圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程[考點自測]1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2－t))(t≥1)表示的曲線為直線．()(2)直線y＝x與曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝3sinα))(α為參數(shù))的交點個數(shù)為1.()(3)直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcos30°，,y＝1＋tsin150°))(t為參數(shù))的傾斜角α為30°.()(4)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝5sinθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ為參數(shù)且θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))表示的曲線為橢圓．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．已知圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為3ρcosα－4ρsinα－9＝0，則直線與圓的位置關(guān)系是()A．相切 B．相離C．直線過圓心 D．相交但直線不過圓心答案D解析圓的普通方程為x2＋y2＝4，直線的直角坐標(biāo)方程為3x－4y－9＝0.圓心(0,0)到直線的距離d＝eq\f(|3×0－4×0－9|,\r(32＋－42))＝eq\f(9,5)<2，所以直線與圓相交．顯然直線不過原點(0,0)，故選D.3．[2018·安徽模擬]以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長為()A.eq\r(14)B．2eq\r(14)C.eq\r(2)D．2eq\r(2)答案D解析由題意得直線l的方程為x－y－4＝0，圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4.則圓心到直線的距離d＝eq\r(2)，故弦長＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).4．[2018·湖南模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t為參數(shù))過橢圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))的右頂點，則常數(shù)a的值為________．答案3解析由題意知在直角坐標(biāo)系下，直線l的方程為y＝x－a，橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，所以其右頂點為(3,0)．由題意知0＝3－a，所以a＝3.5．[2018·天津模擬]已知拋物線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))，其中p>0，焦點為F，準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|＝|MF|，點M的橫坐標(biāo)是3，則p＝________.答案2解析由參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))，p>0，可得曲線方程為y2＝2px(p>0)．∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(拋物線定義)，∴△MEF為等邊三角形，E的橫坐標(biāo)為－eq\f(p,2)，M的橫坐標(biāo)為3.∴EM中點的橫坐標(biāo)為eq\f(3－\f(p,2),2)，與F的橫坐標(biāo)eq\f(p,2)相同．∴eq\f(3－\f(p,2),2)＝eq\f(p,2)，∴p＝2.6．[2015·湖北高考]在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)))(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點，則|AB|＝________.答案2eq\r(5)解析因為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)，))消去t得y2－x2＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x，,y2－x2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝－\f(3\r(2),2)，))不妨令A(yù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，由兩點間的距離公式得|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2),2)))2)＝2eq\r(5).板塊二典例探究·考向突破考向參數(shù)方程與普通方程的互化例1[2017·全國卷Ⅰ]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t為參數(shù))．(1)若a＝－1，求C與l的交點坐標(biāo)；(2)若C上的點到l距離的最大值為eq\r(17)，求a.解(1)曲線C的普通方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))從而C與l的交點坐標(biāo)為(3,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,25)，\f(24,25))).(2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17))＝eq\f(|5sinθ＋φ－a－4|,\r(17))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(3,4)))，當(dāng)a≥－4時，d的最大值為eq\f(a＋9,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(a＋9,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝8；當(dāng)a＜－4時，d的最大值為eq\f(－a＋1,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(－a＋1,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝－16.綜上，a＝8或a＝－16.觸類旁通將參數(shù)方程化為普通方程的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解．【變式訓(xùn)練1】[2018·湖南長郡中學(xué)模擬]已知曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t為參數(shù))，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動點，求PQ的中點M到直線C3：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t為參數(shù))距離的最小值．解(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1，C1表示圓心是(－4,3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓．(2)當(dāng)t＝eq\f(π,2)時，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ))，又C3的普通方程為x－2y－7＝0，則M到C3的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|＝eq\f(\r(5),5)·|3sinθ－4cosθ＋13|＝eq\f(\r(5),5)|5sin(θ－φ)＋13|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中φ滿足tanφ＝\f(4,3)))，所以d的最小值為eq\f(8\r(5),5).考向直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化例2[2018·寶雞模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，將C1上的所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的eq\r(2)和2倍后得到曲線C2.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝4.(1)試寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的參數(shù)方程；(2)在曲線C2上求一點P，使點P到直線l的距離最小，并求此最小值．解(1)把C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，消去參數(shù)化為普通方程為x2＋y2＝1，故曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝1.再根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C2的普通方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝1，即eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1.故曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))．(2)直線l：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝4，即eq\r(2)x＋y－4＝0，設(shè)點P(eq\r(2)cosθ，2sinθ)，則點P到直線的距離為d＝eq\f(|2cosθ＋2sinθ－4|,\r(2＋1))＝eq\f(2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2)),\r(3))，故當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1時，d取得最小值，此時，θ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，點P(1，eq\r(2))，故曲線C2上有一點P(1，eq\r(2))滿足到直線l的距離的最小值為eq\f(4\r(3),3)－eq\f(2\r(6),3).觸類旁通參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化(1)把C1消去參數(shù)化為普通方程為x2＋y2＝1，再化為極坐標(biāo)方程．根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C2的普通方程，再化為參數(shù)方程．(2)先求得直線l的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點P(eq\r(2)cosθ，2sinθ)，求得點P到直線的距離為d＝eq\f(2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2)),\r(3))，故當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1時，即θ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z時，點P到直線l的距離最小，從而求得P的坐標(biāo)以及此最小值．【變式訓(xùn)練2】[2018·宜春模擬]在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1和C2的參數(shù)方程分別是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝1＋sinφ))(φ為參數(shù))，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓C1和C2的極坐標(biāo)方程；(2)射線OM：θ＝α與圓C1的交點為O、P，與圓C2的交點為O、Q，求|OP|·|OQ|的最大值．解(1)圓C1eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))，轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為ρ2＝4ρcosθ，即ρ＝4cosθ圓C2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝1＋sinφ))(φ為參數(shù))，轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為ρ2＝2ρsinθ，即ρ＝2sinθ.(2)射線OM：θ＝α與圓C1的交點為O、P，與圓C2的交點為O、Q，設(shè)P，Q對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，則|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4|sin2α|.∵(|sin2α|)max＝1，∴|OP|·|OQ|的最大值為4.考向直線的參數(shù)方程例3[2018·泉州模擬]已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－t，,y＝2＋t))(t是參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(1,2)，直線l與曲線C的交點為A，B，試求|AB|及|PA|·|PB|的值．解(1)直線l的普通方程為x＋y－3＝0.ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝4sinθ＋4cosθ，所以ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x－4y＝0(或?qū)懗?x－2)2＋(y－2)2＝8)．(2)直線l的參數(shù)方程可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t′，,y＝2＋\f(\r(2),2)t′))(t′是參數(shù))，把直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2－4x－4y＝0得，t′2＋eq\r(2)t′－7＝0.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1′，t2′，則t1′＋t2′＝－eq\r(2)，t1′t2′＝－7，點P(1,2)顯然在直線l上，故|AB|＝|t1′－t2′|＝eq\r(t1′＋t2′2－4t1′t2′)＝eq\r(30)，故|PA|·|PB|＝|t1′t2′|＝7.觸類旁通直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0，y0)的數(shù)量，即|t|＝|PP0|時為距離．使用該式時直線上任意兩點P1、P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為eq\f(1,2)(t1＋t2)．【變式訓(xùn)練3】[2018·哈爾濱模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosφ，,y＝\r(3)＋tsinφ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t為參數(shù)，φ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的圓心C的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，半徑為2，直線l與圓C交于M，N兩點．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)φ變化時，求弦長|MN|的取值范圍．解(1)由已知，得圓心C的直角坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，半徑為2，∴圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，即x2＋y2－2x－2eq\r(3)y＝0，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2－2ρcosθ－2eq\r(3)ρsinθ＝0，故圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ)).(2)由(1)知，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2eq\r(3)y＝0，將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程中得，(2＋tcosφ)2＋(eq\r(3)＋tsinφ)2－2(2＋tcosφ)－2eq\r(3)(eq\r(3)＋tsinφ)＝0，整理得，t2＋2tcosφ－3＝0，設(shè)M，N兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－2cosφ，t1·t2＝－3，∴|MN|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1·t2)＝eq\r(4cos2φ＋12)，∵φ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴cosφ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴|MN|∈[eq\r(13)，4]．考向極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例4[2018·鹽城模擬]已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(2,\r(1＋3cos2θ)).(1)直接寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)過曲線C上任意一點P作與直線l夾角為eq\f(π,3)的直線m，設(shè)直線m與直線l的交點為A，求|PA|的最大值．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))，得l的普通方程為2x＋y－6＝0，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ＋ρsinθ－6＝0，由曲線C的極坐標(biāo)方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由(1)，知直線l的普通方程為2x＋y－6＝0，設(shè)曲線C上任意一點P(cosα，2sinα)，點P到直線l的距離d＝eq\f(|2cosα＋2sinα－6|,\r(5)).由題意得|PA|＝eq\f(d,sin60°)＝eq\f(4\r(15)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－3)),15)，∴當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(4\r(15)3＋\r(2),15).觸類旁通極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合應(yīng)用中注意的問題(1)在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離、線段長、切線等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩時，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決．轉(zhuǎn)化時要注意兩坐標(biāo)系的關(guān)系，注意ρ，θ的取值范圍，取值范圍不同對應(yīng)的曲線不同．(2)解答參數(shù)方程的有關(guān)問題時，首先要弄清參數(shù)是誰，代表的幾何意義是什么；其次要認真觀察方程的表現(xiàn)形式，以便于尋找最佳化簡途徑．【變式訓(xùn)練4】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4t，,y＝4t2))(t為參數(shù))，若以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＋2ρsinθ＋4＝0(ρ≥0)．(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若A是曲線C1上的任意一點，B是曲線C2上的任意一點，求線段AB的最小值．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4t，,y＝4t2，))消去參數(shù)t，得曲線C1的普通方程為x2＝4y.將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入到ρcosθ＋2ρsinθ＋4＝0(ρ≥0)中，得x＋2y＋4＝0，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋2y＋4＝0.(2)解法一：因為A是曲線C1上的任意一點，B是曲線C2上的任意一點，所以線段AB的最小值，即與曲線C2平行的直線與曲線C1相切時，切點到曲線C2的距離，設(shè)切線的方程為x＋2y＋m＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,x＋2y＋m＝0，))消去y得x2＋2x＋2m＝0，所以Δ＝22－4×1×2m＝0，得m＝eq\f(1,2)，因此切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,4)))，其到直線C2的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋2×\f(1,4)＋4)),\r(12＋22))＝eq\f(7\r(5),10)，即|AB|min＝eq\f(7\r(5),10).解法二：因為A是曲線C1上的任意一點，B是曲線C2上的任意一點，所以可設(shè)點A(4t,4t2)，線段AB的最小值即點A到直線C2的距離d的最小值，所以d＝eq\f(|4t＋2×4t2＋4|,\r(12＋22))＝eq\f(4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,4)))2＋\f(7,8))),\r(5))，當(dāng)t＝－eq\f(1,4)時，dmin＝eq\f(7\r(5),10)，即|AB|min＝eq\f(7\r(5),10).核心規(guī)律參數(shù)方程與普通方程互化的方法(1)參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法．(2)普通方程化為參數(shù)方程：化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個關(guān)系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝φ(t)(或x＝f(t))．滿分策略參數(shù)方程應(yīng)用中的注意事項(1)參數(shù)方程通過代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程，要注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致．(2)普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)，選擇的參數(shù)不同，所得的參數(shù)方程也不一樣．一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))．(3)常見曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)都有幾何意義，注意利用幾何意義常能夠給解題帶來方便.板塊三模擬演練·提能增分[基礎(chǔ)能力達標(biāo)]1．[2017·江蘇高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2s2，,y＝2\r(2)s))(s為參數(shù))．設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值．解直線l的普通方程為x－2y＋8＝0.因為點P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2eq\r(2)s)，從而點P到直線l的距離d＝eq\f(|2s2－4\r(2)s＋8|,\r(12＋－22))＝eq\f(2s－\r(2)2＋4,\r(5)).當(dāng)s＝eq\r(2)時，dmin＝eq\f(4\r(5),5).因此當(dāng)點P的坐標(biāo)為(4,4)時，曲線C上的點P到直線l的距離取到最小值eq\f(4\r(5),5).2．[2017·全國卷Ⅲ]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝kt))(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ)－eq\r(2)＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑．解(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝eq\f(1,k)(x＋2)．設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y＝\f(1,k)x＋2，))消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2cos2θ－sin2θ＝4，,ρcosθ＋sinθ－\r(2)＝0))得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f(1,3)，從而cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交點M的極徑為eq\r(5).3．[2018·安陽模擬]已知極坐標(biāo)系的極點為直角坐標(biāo)系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，圓C的直角坐標(biāo)系方程為x2＋y2＋2x－2y＝0，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝t))(t為參數(shù))，射線OM的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(3π,4).(1)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程；(2)已知射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．解(1)∵圓C的直角坐標(biāo)系方程為x2＋y2＋2x－2y＝0，∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0，化簡得ρ＋2cosθ－2sinθ＝0，即ρ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).∵直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝t))(t為參數(shù))，消參得：x－y＋1＝0，∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－ρsinθ＋1＝0，即ρ＝eq\f(1,sinθ－cosθ).(2)當(dāng)θ＝eq\f(3π,4)時，|OP|＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,4)))＝2eq\r(2)，故點P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3π,4)))，|OQ|＝eq\f(1,sin\f(3π,4)－cos\f(3π,4))＝eq\f(1,\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)，故點Q的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3π,4)))，|PQ|＝|OP|－|OQ|＝2eq\r(2)－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)故線段PQ的長為eq\f(3\r(2),2).4．[2018·長沙模擬]以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tsinφ，,y＝1＋tcosφ))(t為參數(shù)，0<φ<π)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝4sinθ.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，當(dāng)φ變化時，求|AB|的最小值．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tsinφ，,y＝1＋tcosφ))(t為參數(shù)，0<φ<π)，消去t，得xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0，所以直線l的普通方程為xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0.由ρcos2θ＝4sinθ，得(ρcosθ)2＝4ρsinθ，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得x2＝4y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y.(2)將直線l的參數(shù)方程代入x2＝4y，得t2sin2φ－4tcosφ－4＝0，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝eq\f(4cosφ,sin2φ)，t1t2＝－eq\f(4,sin2φ)，所以|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(\f(16cos2φ,sin4φ)＋\f(16,sin2φ))＝eq\f(4,sin2φ).當(dāng)φ＝eq\f(π,2)時，|AB|取得最小值，最小值為4.5．[2018·榆林模擬]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝2sint))(t為參數(shù)，a>0)．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－2eq\r(2).(1)設(shè)P是曲線C上的一個動點，當(dāng)a＝2時，求點P到直線l的距離的最小值；(2)若曲線C上的所有點均在直線l的右下方，求a的取值范圍．解