2024-2025學(xué)年人教版七年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)提升訓(xùn)練：線段的計(jì)算與角度的計(jì)算（30題）（解析版）

專題提升線段的計(jì)算與角的計(jì)算

1.（2023秋?巨野縣期中）如圖，C,。是段A2上兩點(diǎn)，若CB=4c〃z,DB=7cm,且。是線段AC的中點(diǎn),

求AC的長.

I_______I________I___________I

ADCB

【分析】根據(jù)CB=4cm,可求出OC的長，再根據(jù)。是線段AC的中點(diǎn)即可求出答案.

【解答】解：,/CB=4cm,DB=lcm,

.'.DC—DB-CB~3cm.

又是AC的中點(diǎn)，

.\AC=2DC=6cm.

2.（2023秋?樂亭縣期中）如圖，點(diǎn)B是線段AC上一點(diǎn)，且AB=20,BC=8.

（1）圖中共有6條線段;

（2）試求出線段AC的長；

（3）如果點(diǎn)。是線段AC的中點(diǎn)，請求線段的長.

I_____________?_________?______?

A0BC

【分析】（1）根據(jù)線段的定義，數(shù)一數(shù)圖中線段的條數(shù)即可；

（2）根據(jù)AC=AB+BC可得出答案；

（3）由線段中點(diǎn)的定義得OC=1AC=14,進(jìn)而根據(jù)。B=0C-8C可得出答案.

2

【解答】解：（1）圖中共有6條線段，分別是：AO,AB,AC,OB,OC,BC.

故答案為：6；

（2）VAB=20,BC=8,

：.AC^AB+BC=20+8=28；

（3）?.,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

OC=^AC=—X28=14,

22

.?.02=0C-BC=14-8=6.

3.（2022秋?西安期末）如圖：已知線段A2=16cwi,點(diǎn)N在線段AB上，NB=3cm,M是A8的中點(diǎn).

（1）求線段MN的長度；

（2）若在線段A8上有一點(diǎn)C,滿足BC=10cm求線段MC的長度.

.___________________I_____I

AMNB

【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出MB,然后用MB減去NB即可解答；

（2）根據(jù)題目的已知畫出圖形，用BC減去8M即可解答.

【解答】解：（1）是A8的中點(diǎn)，AB=16cm,

：.MB=^AB=8cm,

2

,:NB=3cm,

：.MN=MB-NB=8-3=5cm；

(2)如圖：

J-----------------C~---------------*------------B

\"BC=Wcm,MB=8cm,

：.CM=BC-MB=1Q-8=2cm.

4.(2022秋?永城市校級期末)已知數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c,且滿足|a+24|+|b+10|+

(c-10)2=0；動點(diǎn)尸從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動，設(shè)移動時(shí)間為t

ABOC

秒.?'???A

(1)求a、/?、c的值；

(2)若點(diǎn)尸到A點(diǎn)距離是到B點(diǎn)距離的2倍，求點(diǎn)P的對應(yīng)的數(shù)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，

再立即以同樣的速度返回，運(yùn)動到終點(diǎn)4在點(diǎn)。開始運(yùn)動后第幾秒時(shí)，P、。兩點(diǎn)之間的距離為4?請

說明理由.

【分析】(1)根據(jù)絕對值和偶次幕具有非負(fù)性可得。+24=0,6+10=0,c-10=0,解可得a、b、c的值；

(2)分兩種情況討論可求點(diǎn)P的對應(yīng)的數(shù)；

(3)分類討論：當(dāng)尸點(diǎn)在。點(diǎn)的右側(cè)，且。點(diǎn)還沒追上P點(diǎn)時(shí)；當(dāng)尸在。點(diǎn)左側(cè)時(shí)，且。點(diǎn)追上尸

點(diǎn)后；當(dāng)。點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，當(dāng)尸點(diǎn)在。點(diǎn)左側(cè)時(shí)；當(dāng)。點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，當(dāng)P點(diǎn)在。點(diǎn)右側(cè)時(shí)，根據(jù)兩

點(diǎn)間的距離是4,可得方程，根據(jù)解方程，可得答案.

【解答】解：(1)：|a+24|+|6+10|+(c-10)2=0,

.?.4+24=0,。+10=0,c-10=0,

解得：〃=-24,/?=-10,c=10；

(2)-10-(-24)=14,

①點(diǎn)P在AB之間，AP=14X-2_=-2S,

2+13

一24+絲=-絲，

33

點(diǎn)尸的對應(yīng)的數(shù)是-絲；

3

②點(diǎn)P在的延長線上，AP=14X2=28,

-24+28=4,

點(diǎn)P的對應(yīng)的數(shù)是4；

(3)當(dāng)P點(diǎn)在。點(diǎn)的右側(cè)，且。點(diǎn)還沒追上P點(diǎn)時(shí)，3什4=14+彳，解得/=5；

當(dāng)P在。點(diǎn)左側(cè)時(shí)，且。點(diǎn)追上尸點(diǎn)后，3r-4=14+t,解得r=9；

當(dāng)。點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，當(dāng)P點(diǎn)在。點(diǎn)左側(cè)時(shí)，14+f+4+3f-34=34,r=12.5；

當(dāng)。點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，當(dāng)P點(diǎn)在。點(diǎn)右側(cè)時(shí)，14+-4+3廣34=34,解得r=14.5,

綜上所述：當(dāng)。點(diǎn)開始運(yùn)動后第5、9、12.5、14.5秒時(shí)，P、。兩點(diǎn)之間的距離為4.

5.(2022秋?禹城市期末)如圖，已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，AC^Ucm,CB=8cm,D、E分別是AC、

AB的中點(diǎn).求：

(1)求的長度；

(2)求。E的長度；

(3)若M在直線A8上，且求AM的長度.

(___________?_______??______________I

ADECB

【分析】(1)直接根據(jù)。是AC的中點(diǎn)可得答案；

(2)先求出的長，然后根據(jù)E是的中點(diǎn)求出4E,做好應(yīng)即為。E的長；

(3)分M在點(diǎn)8的右側(cè)、M在點(diǎn)2的左側(cè)兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，AD=^AC=6(cm)；

2

(2)由線段的和差，得AB=AC+BC=12+8=20(cm),

由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得AE=[AB=IO(cm),

由線段的和差，得DE=AE-A￡>=10-6=4(cm)；

(3)當(dāng)M在點(diǎn)8的右側(cè)時(shí)，AM^AB+MB=20+6=26(cm),

當(dāng)M在點(diǎn)2的左側(cè)時(shí)，AM=AB-Affi=20-6=14(cm),

.'.AM的長度為26cm或14cm.

6.(2022秋?鳳翔縣期末)如圖，線段AB=20,8c=15,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn).

(1)求線段AM的長度；

(2)在C8上取一點(diǎn)N,使得CN：NB=2：3.求MN的長.

I.a1.

A顯CNB

【分析】(1)根據(jù)圖示知AC=AB-BC；

2

(2)根據(jù)已知條件求得CN=6,然后根據(jù)圖示知MN=MC+NC.

【解答】解：(1)線段AB=20,BC=15,

：.AC^AB-2C=20-15=5.

又：點(diǎn)M是AC的中點(diǎn).

/.AM=AAC=—X5=-^-,即線段4M的長度是?.

2222

(2)：BC=15,CN：NB=2：3,

CN=2BC=?X15=6.

55

又：點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，AC=5,

：.MC=^AC=—,

22

:.MN=MC+NC二即MN的長度是工.

22

7.(2022秋?倉山區(qū)期末)如圖，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，C是E8上一點(diǎn)，且EC：CB=1：4,AC=12cm.

(1)求A8的長；

(2)若尸為C8的中點(diǎn)，求E廠長.

A'E-CF'B

【分析】(1)由線段的和差倍分，線段的中點(diǎn)，方程解得的長20c儂

(2)由線段的中點(diǎn)，線段的和差計(jì)算出EB長為6c%

【解答】解：如圖所示：

A'E-cFB

(1)設(shè)EC的長為工,

■:EC：CB=1：4,

***8C=4x,

又?.?BE=BC+CE,

J.BE=5x,

又〈E為線段AS的中點(diǎn)，

.'.AE=BE=-^-^B，

.\AE=5x,

XVAC=AE+EC,AC=12cmf

:.6x=n,

解得：x=2,

.\AB=10x=20cm；

(2)??,尸為線段C3的中點(diǎn)，

CF-yBC=2x>

又,；EF=EC+CF

:?EF=3x=6cm.

8.(2023秋?福田區(qū)校級期中)在數(shù)軸上，如果A點(diǎn)表示的數(shù)記為a,點(diǎn)8表示的數(shù)記為6,則A、8兩點(diǎn)

間的距離可以記作|。-例或|b-a|.我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，用兩點(diǎn)的大寫字母表示，如：點(diǎn)A與

點(diǎn)2之間的距離表示為A3.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A,O,B表示的數(shù)為-10,0,12.

(1)直接寫出結(jié)果，。4=10,AB=22.

(2)設(shè)點(diǎn)尸在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為尤.

①若點(diǎn)尸為線段A8的中點(diǎn)，則尤=1.

②若點(diǎn)尸為線段A8上的一個(gè)動點(diǎn)，則|x+10|+|x-12|的化簡結(jié)果是22.

(3)動點(diǎn)M從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在A,8之間向右運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)N從8出發(fā)，

以每秒4個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在A,8之間往返運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到8時(shí)，M和N兩點(diǎn)停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)

動時(shí)間為f秒，是否存在t值，使得OM=ON?若存在，請直接寫出t值；若不存在，請說明理由.

????]______I_______]?

AOBAOB

備用圖

【分析】(1)用絕對值計(jì)算數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離即可；

(2)①根據(jù)AP=BP列方程求解即可；

②|x+10|+|x-12|=|x-(-10)|+|x-12|,表示線段AB的長度，據(jù)此作答即可；

(3)寫出點(diǎn)M表示的數(shù)，分別寫出當(dāng)OWfW旦和旦<fWll時(shí)點(diǎn)N表示的數(shù)，根據(jù)OM=ON列絕對

22

值方程并求解即可.

【解答】解：(1)OA=\-10-0|=10,AB=\-10-12|=22,

故答案為：10,22.

(2)①：點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，

：.AP=BP,

.'.x-(.-10)=12-x,解得尤=1.

故答案為：1.

②：點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動點(diǎn)，

.".|x+10|+k-12|=|A-(-10)|+|x-12\=AB=22,

故答案為：22.

(3)點(diǎn)”表示的數(shù)為2f-10(OW0D,OM=\2t-10|；

當(dāng)0W/W芬時(shí)，點(diǎn)N表示的數(shù)為-4什12,ON=\-4r+12|；

當(dāng)迫</<11時(shí)，點(diǎn)N表示的數(shù)為4(f-旦)-10=4/-32,ON=|4f-32].

22

當(dāng)0W/W旦時(shí)，|2f-10|=|-4/+12I，解得/=1或旦；

23

當(dāng)且〈忘11時(shí)，\2t-10|=|4/-32|,解得f=7或11.

2

存在“直，使得0M=0N,r=l,且，7或IL

3

9.（2023秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，已知：線段延長到點(diǎn)C,使得BC：AB=2：5,點(diǎn)。為

AC的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，若AC=14,求線段。E的長度.

AEDBC

【分析】先根據(jù)BC：AB=2：5可設(shè)BC=2r,A2=5x,則AC=A3+BC=7x=14,由此可解出x=2,得

AB=10,進(jìn)而根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得AE=BE=5,AD=CD=7,然后再根據(jù)。E=A￡>-AE可得線段。E

的長度為2.

【解答】M：VBC：AB=2：5,

.,.設(shè)8C=2x,48=5x,

/.AC=AB+BC=5x+2x=7x,

VAC=14,

A7x=14,

解得：x=2,

.\AB=5x=10,

??,點(diǎn)￡為43的中點(diǎn)，

：?AE=BE=5,

??,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

:?AD=CD=7,

：.DE=AD-AE=7-5=2.

故線段DE的長度為2.

10.（2023?九龍坡區(qū)校級開學(xué)）已知A,B,C,。四點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)。在線段A3上.

（1）如圖，若線段AB=18,點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，CD,BD，求線段的長度；

（2）若線段A8=5a,點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，且滿足AC=2BC,A￡）：BD=2：3,求線段CO的長度

（用含a的式子表示）.

?I：1

ACDB

【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AC=BC=1"AB=9，根據(jù)CD』BD，求出CD』BC』X9=3，即

2233

可得出答案；

（2）分兩種情況，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)C在線段AB延長線上，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【解答】解：（1）???線段48=18,點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，

?■?AC=BC=yAB=9-

,?1CD-^BD，

二CD[BC]X9=3，

oo

：.AD=AC+CD=9+3=12；

(2),??點(diǎn)。在線段A8上，AB=5a,AD：BD=2：3

.\AD=2a,BD=3a,

當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖所示：

IIII

ADCB

\'AB=5a,AC=2BC,

AC^^"a,BC=>~a,

oo

in4

-'-CD=AC-AD-a-2a=ya^

Oo

當(dāng)點(diǎn)C在線段AB延長線上時(shí)，如圖所示：

1」」1

ADBC

9：AB=5a,AC=2BC,

?\AC=2AB=10〃，

/.CD=AC-AD=10a-2。=8。；

綜上分析可知，線段CD的長為國a或8〃

3

11.(2022秋?大竹縣校級期末)已知，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC

的中點(diǎn).

(1)如果48=10cm,那么MN等于多少？

(2)如果AC：BC=3：2,NB=35cm,那么A8等于多少？

夕1q可耳

【分析】(1)由已知點(diǎn)C是線段4B上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段8C的中點(diǎn)，得MN

=CM+CN=/A嗎BC='AB；

(2)由已知得AB=7。2=17.5m.

5

【解答】解：(1)MN=CM+CN

=iAC4BC

=5cm；

(2),:NB=35cm,

***BC'=>1cm,

.\AB=7-r—

5

=17.5czn.

AMCNB

IIIII

12.(2023秋?聊城月考)如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC、5c的中點(diǎn).

(1)若AC=10cs,CB=8cm,求線段MN的長；

(2)若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足AC+CB=a,其它條件不變，你能猜想的長度嗎？寫出你的結(jié)

論并說明理由；

(3)若C為直線上線段之外的任一點(diǎn)，S.AC=m,CB=n,則線段MN的長為(n-m)或

y(m-n)一?

I|IIl

AMCNB

【分析】(1)(2)均先根據(jù)已知條件，求出CM和CM再根據(jù)MN=CM+CN進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)分兩種情況討論：①當(dāng)C在A的左側(cè)時(shí)，②當(dāng)C在2的右側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，進(jìn)行解答即可.

【解答】解：(1),?,點(diǎn)N分別是AC,2C的中點(diǎn)，AC=10cm,CB=8cm,

CM=/AC=5cm,CN=*BC=4cm

：.MN=CM+C7V=-^AC-t-j-BC=5+4=9cm；

(2)MN=—d，理由如下：

2

?.,點(diǎn)M,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，

AC,CN=/BC,

,:MN=CM+CN,

?'?^=yAC-^BC=y(AC+BC)，

AC+CB=a,

:.MN=L；

2

(3)分兩種情況討論：

①當(dāng)C在A的左側(cè)時(shí)，如圖2,

???________________I________________________?

CMANB

圖2

?.?點(diǎn)M,N分別是AC,8c的中點(diǎn)，

.-.CM=1AC>CN=/CB

J.MN=CN-CM=lCB-|cA=|(CB-CA)-

"."AC=m,CB=n,

:.MN=g(n-m);

②當(dāng)C在B的右側(cè)時(shí)，如圖3,

?____________________________I_______________iii

AMBNC

圖3

?.?點(diǎn)M,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，

???CN=/BC，MC=/AC

:.MN=MC-CN='AC卷BC卷(AC-BC),

AC=m,CB=n,

:?MN=/(m-n)?

故答案為：/(n-m)或(nrn).

13.(2022秋?金華期末)如圖，C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。分線段3：2.

(1)若CD=1m,求線段A5的長；

(2)若E為線段08的中點(diǎn)，試說明線段AO與線段CE的數(shù)量關(guān)系.

j??1]

ACDEB

【分析】(1)設(shè)A￡)=3尤an,BD=2xcm,則48=5尤cm,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論;

(2)設(shè)AD=3xcm,BD=2xcm,則AB=5xcm,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)AO=3x(cm),BD=2x(a〃)，

則AB=5x(cm),

為線段AB的中點(diǎn)，

：.AC=BC=^x(cm),

2

.".CD=BC-BD=—x(.cm},

2

?；CD=lcm,

?.x=2cm,

.\AB=5x=10cm；

(2)AD=2CE,理由如下：

同(1)得：AD=3x(cm),BD=2x(cm),AB=5x(cm),CD=—x(cm),

2

YE為線段DB的中點(diǎn)，

/.DE=—BD=xCem),

2

：.CE=CD+DE=^-x(cm),

2

：.AD=2CE.

14.(2022秋?東港區(qū)校級期末)已知點(diǎn)8在線段AC上，點(diǎn)。在線段AB上.

(1)如圖1,若AB=10c〃z,BC=6cm,。為線段AC的中點(diǎn)，求線段08的長度；

(2)如圖2,若BD八AB」CD，E為線段A8的中點(diǎn)，EC=16cm,求線段AC的長度.

43

?___________________??______________??___________?_____?______?____________?

ADBCAEDBC

圖1圖2

【分析】(1)由線段的中點(diǎn)，線段的和差求出線段的長度為2c處

(2)由線段的中點(diǎn)，線段的和差倍分求出AC的長度為24c日

【解答】解：(1)如圖1所示：

\'AB=10cm,BC=6cm,

：.AC=AB+BC=10+6=16(cm),

又二,。為線段AC的中點(diǎn)，

?*-DC-|AC-1X16=8(cm)，

：.DB=DC-BC=S-6=2(cm)；

(2)如圖2所示，BD^xcm,

BD[AB]CD，

玲o

.\AB=4BD=4xcm,CD=3BD=3xcm,

J.BC—DC-DB=3x-x=2x,

?\AC=AB+BC=4x+2x=6x,

為線段AB的中點(diǎn)，

BE=yAB^-X4x=2x'

/.EC=BE+BC=2x+2x=4x,

XV￡C=16cm,

，4x=16,

解得：x=4,

.,.AC—6x—6X4—24（cm）.

15.（2022秋?甘肅期末）閱讀感悟：

數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：

如圖1,一條直線上有A、B、C、。四點(diǎn)，線段AB=8c〃z,點(diǎn)C為線段4B的中點(diǎn)，線段2D=2.5c〃z,

請你補(bǔ)全圖形，并求的長度.

~ACBACDBACB~

圖1圖2備用圖

以下是小華的解答過程：

解:如圖2,

因?yàn)榫€段AB=8c"z,點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，

所以BC=-1AB=4cm.

~2-

因?yàn)锽D=25cm,

所以CD=BC-BD=1.5cm.

小斌說：我覺得這個(gè)題應(yīng)該有兩種情況，小華只考慮了點(diǎn)D在線段AB上，事實(shí)上，點(diǎn)。還可以在線段

AB的延長線上.

完成以下問題：

（1）請?zhí)羁眨簩⑿∪A的解答過程補(bǔ)充完整；

（2）根據(jù)小斌的想法，請你在備用圖中畫出另一種情況對應(yīng)的示意圖，并求出此時(shí)的長度.

【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，即可算出BC的長，再根

據(jù)CD=BC-BD即可得出答案；

（2）如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段的延長線上時(shí)，由BC=^AB=4cm.可得BD=2.5cm,再由CD=BC+BD

2

進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：（1）如圖2,

因?yàn)榫€段AB=8a〃，點(diǎn)C為線段A2的中點(diǎn)，

所以BC=—AB=4cm.

2

因?yàn)锽D=2.5cm,

所以CD=BC-BD=L5ctn.

故答案為：4,1.5.

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段48的延長線上時(shí),

因?yàn)榫€段A8=8c7",點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，

所以BC=^AB=4cm.

2

又BD=2.5cm,

所以CD=BC+BD=65cm.

CBD

圖3

(1)若/AOC=50°,求NN。。的度數(shù)；

(2)若NA0B=2NM0N,請?jiān)趫D中畫出符合題意的射線0M,探究NCOM與NCOD的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

【分析】(1)根據(jù)互為余角的兩個(gè)角的和是90度，平角的定義，角平分線的定義解答；

(2)分情況畫圖分析，設(shè)利用互為余角的兩個(gè)角的和是90度，平角的定義，角平分線的定

義，把NCOM和/COQ的度數(shù)分別用含有a的式子表示，即可表示出兩個(gè)角的關(guān)系.

【解答】解：(1)是NAOC的余角，ZAOC=50°,

：.ZAOB^90°-50°=40°,

.\ZBO￡>=180°-ZAOB=180°-40°=140°,

,：ON平濟(jì)/BOD,

?■?ZN0D=yZB0D=7Q°；

(2)ZCO￡>=90°+NCOM或/COD=90°+^-ZC0M)理由如下：

設(shè)NA08=a,

???NA03是NAOC的余角，

AZAOC=90°-a,ZBO￡>=180°-a,

???ZBOC=ZAOC-ZAOB=90°-a-a=90°-2a,

?：ON平分/BOD,

ZB0N=ZN0D=yZB0D=y(180°-a)=90。-ya)

ZAOB=2ZMONf

?*-ZMON=yZAOB=ya-

當(dāng)射線OM在NCON內(nèi)部時(shí)，如圖:

-^-a-(90°-2a)=a，

ZCO￡>=180°-ZAOC=180°-(90°-a)=90°+a,

：.ZCOD=9Q°+ZCOM；

當(dāng)射線OM在/NO。內(nèi)部時(shí)，如圖:

ZC0M=ZB0N+ZM0N-ZB0C=90O-ya+|a-(90°-2a)=2a，

ZCOD=180°-ZAOC=180°-(90°-a)=90°+a,

?,-ZCOD=90°卷/COM'

綜上可知，ZCO￡）=90°+/COM或NCOD=90°+yZCOM-

17.（2023秋?青龍縣期中）如圖，。是直線CE上一點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作乙4。8=90°,且04,。8位于直

線CE兩側(cè)，03平分NC。。.

（1）當(dāng)/AOC=50°時(shí)，求/。OE的度數(shù)；

（2）請你猜想NAOC和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】（1）ZAOB=90°,ZAOC=50°,可求出N20C的度數(shù)，。3平分/COD,可求出NCO￡）的

度數(shù)，根據(jù)平角即可求解；

(2)ZBOC=90°-ZAOC,ZDOE=1SO°-2(90°-ZAOC),由此即可求解.

【解答】解：(1)VZAOB=90°,ZAOC=50°,

：.ZBOC=90°-50°=40°,

；02平分NCOD,

：.ZBOC=ZBOD=40°,

；./。。￡=180°-40°-40°=100°；

(2)/DOE=2/AOC,理由如下：

VZAOB=90°,

ZBOC=900-ZAOC,

'：OB^ZCOD,

：.ZBOC=/2。￡)=90°-ZAOC,

.,.NZ)OE=180°-2ZBOC=180°-2(90°-ZAOO,即/DOE=2/AOC.

18.(2023?九龍坡區(qū)校級開學(xué))如圖，是/AOC內(nèi)部的一條射線，是NAOB內(nèi)部的一條射線，ON

是/BOC內(nèi)部的一條射線.

(1)如圖1,若/AOB=36°,ZBOC=110°,OM、ON分別是NA03、N30C的角平分線，求/MON

的度數(shù)；

(2)如圖2,若08平分/AOC,S.ZCON=2ZAOM,ZBOM：ZAOC=2：5,則/8?！ê蚇BON

之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

【分析】(1)利用角平分線的定義分別求得NBOM=18°,NBON=55。，據(jù)此求解即可；

(2)設(shè)/AOM=a,則NCON=2a,設(shè)N8OM=x,求得NBON=x-a,根據(jù)題意列出等式，即可求解.

【解答】解：(1),：ZAOB=36°,ZBOC=110°,OM、ON分別是NAOB、NBOC的角平分線，

?■?ZB0M=yZA0B=18°，ZB0N=yZB0C=55°，

ZMON=ZBOM+ABON=\^+55°=73°；

(2)/BOM：NBON=4：3.理由如下，

'：ZCON=2ZAOM,

.?.設(shè)NAOM=a,則/CON=2a,

設(shè)N50M=x,

YOB平分NAOC,

/.a+x=N5ON+2a,

XBON=x-a,

?：NBOM：ZAOC=2：5,

/.x：(a+x+x-a+2a)=2：5,

；?x=4a,貝ljNBON=3a,

ZBOM：ZBON=4：3.

19.(2022秋?歷下區(qū)期末)新定義：如果/MON的內(nèi)部有一條射線。尸將NMON分成的兩個(gè)角，其中一

個(gè)角是另一個(gè)角的w倍，那么我們稱射線。尸為/M0N的〃倍分線，例如，如圖1,ZMOP=4ZNOP,

則0P為NM0N的4倍分線.ZNOQ^4ZMOQ,則0Q也是NM0N的4倍分線.

(1)應(yīng)用：若/AOB=60°,OP為/AOB的二倍分線，且/BOP>NPOA,則/8。尸=40°；

(2)如圖2,點(diǎn)A,0,B在同一條直線上，0C為直線上方的一條射線.

①若。P,。。分別為/AOC和/80C的三倍分線，(NCOP>/POA,ZCOQ>ZQOB)已知，ZAOC

=120°,則/P00=135°；

②在①的條件下，若/AOC=a,ZPOQ的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請寫出計(jì)算過程；若發(fā)

生變化，請說明理由.

③如圖3,已知NMON=90°,且OM,ON所在射線恰好是分別為NAOC和230C的三倍分線，請直

接寫出NAOC的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)題意可得：ZBOP=2ZAOP,ZBOP+ZAOP=60°,進(jìn)而得出答案；

(2)①由題意可得：ZCOP=3ZAOP,ZCOQ=3ZBOQ,根據(jù)NAOC=120°,得出NAOP=90°,

ZBOQ=45°,再求解即可；

②不變，根據(jù)題意得出/COP=3/AOC，ZCOQ=—ZBOC)再代入即可得出答案；

44

③設(shè)/MOC=a,則NNOC=90°-a,根據(jù)題意得出NCOM=3NAOM,NBON=3NCON,列出方程

—a+a+90°-a+3(90°-a)=180°，求得NMOC=67.5°,ZMOA^22.5°,進(jìn)而得出答案.

3

【解答】解：(1)'：ZAOB=6Q°,OP為/AOB的二倍分線，且NBOP>/POA,

ZBOP=2ZAOP,ABOP+ZAOP=60°,

AZAOP=20°,

：.ZBOP=40°,

故答案為：40；

(2)@'：OP,OQ分別為NAOC和N30C的三倍分線(NCOP>NPOA,ZCOQ>ZQOB\

：.ZCOP=3ZAOP,NCOQ=3NBOQ,

VZAOC=120°,

AZBOC=60°,

???/AOP=30°,ZBOQ=15°,

：.ZCOP=90°,ZCOQ=45°,

：.ZPOQ=ZPOC+ZCOQ=135°,

故答案為：135；

②不變，

?：OP,。。分別為NAOC和N50C的三倍分線，ZCOP>ZPOA,ZCOQ>ZQOB,

2Q

??

?ZC0P=T4/A0C'ZC0Q=T4/B0C'

：.ZPOQ=ZCOP+ZCOQ,=^-ZA0C+4ZB0C'=,(NA0C+NB0C)，=T-ZA0B>=-7X儂

44444

=135°；

③設(shè)NMOC=a,

VZMON=90°,

AZNOC=90°-a,

??,OM,ON所在射線恰好是分別為NAOC和N50C的三倍分線，

???ZCOM=3ZAOM,/BON=3ZCON,

?.?NAOM+NCOM+NCON+N8ON=180°,

a+a+90。-a+3(90°-a)=180°,

o

；.a=67.5°,

：.ZMOC^61.5°,ZMOA=22.5°,

：.ZAOC=90°.

20.(2022秋?廣宗縣期末)閱讀下面材料：

數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：

如圖1,ZAOB=80°,OC平分NAOB,若/3?！?gt;=20°,請你補(bǔ)全圖形，并求NCOO的度數(shù).

以下是小明的解答過程：

解：如圖2,因?yàn)?c平分NAOB,NAOB=80°,

所以/BOC=工ZAOB=400.

-2----------

因?yàn)镹BO￡）=20°,

所以NCO￡>=/BOC+/BOD=60°.

小靜說：“我覺得這個(gè)題有兩種情況，小明考慮的是。。在/AO8外部的情況，事實(shí)上，。。還可能在/

AOB的內(nèi)部”.

完成以下問題：

（1）請你將小明的解答過程補(bǔ)充完整；

（2）根據(jù)小靜的想法，請你在圖3中畫出另一種情況對應(yīng)的圖形，并求出此時(shí)/COD的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)角的平分線定義即可進(jìn)行填空；

（2）結(jié)合（1）即可畫出另一種情況對應(yīng)的圖形，進(jìn)而求出此時(shí)NC。。的度數(shù).

【解答】解：（1）因?yàn)镺C平分/AOB,NAO8=80°,

所以/BOC=』NAOB=40°.

2

因?yàn)?8。。=20°,

所以NCOO=/BOC+N8Or>=60°.

故答案為：40,ZBOC+ZBOD,60；

2

(2)如圖3,

圖3

因?yàn)镺C平分/AOB,ZAOB=80°,

所以NBOC=』NAOB=40°,

2

因?yàn)?80。=20°,

所以NCO￡>=/BOC-/80。=40°-20°=20°.

21.(2023春?牟平區(qū)期末)如圖所示，以直線AB上的一點(diǎn)。為端點(diǎn)，在直線的上方作射線OP,使/

BOP=70：將一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，且直角三角尺(/MON=90°)在直線AB的

上方.設(shè)(0<n<90).

(1)當(dāng)”=32時(shí)，求NPON的大??；

(2)若0<〃<70時(shí)，求NAON-NPOM的值.

【分析】(1)利用角的計(jì)算求得NPOM的度數(shù)，繼而求得NPON的度數(shù)；

(2)利用角的計(jì)算表示出NPOM,然后表示出NAON,最后代入NAON-/POM中計(jì)算即可.

【解答】解：(1)'：ZBOM=32°,/BOP=10°,

：.ZPOM=ZBOP-ZBOM=10°-32°=38°,

'：ZMON=90°,

；.NPON=90°-38°=52°；

(2)VZBOM=n°,ZBOP=10°,

:.NPOM=NBOP-NBOM=70°-n,

'：ZMON=90°,

：.ZAON+ZBOM=90Q,

：.ZAON=90°-n°,

：.ZAON-ZPOM^9Q°-n-(70°-n)=20°.

22.(2022秋?福田區(qū)期末)如圖，直線AB,C￡)相交于點(diǎn)。，OA平分/EOC.

(1)若/EOC=70。，求/BO。的度數(shù)；

(2)若/EOC：ZEOD=2：3,求N8OO的度數(shù).

【分析】⑴根據(jù)角平分線定義得到/4%=￥或兀=970°=35°,然后根據(jù)對頂角相等得到/

BOD=NAOC=35°；

(2)先設(shè)NEOC=2x,ZEOD=3x,根據(jù)平角的定義得2x+3x=180°,解得x=36°,則NE0C=2x=

72°,然后與(1)的計(jì)算方法一樣.

【解答】解：(1)平分NEOC,

AZAOC^—ZEOC^—X70°=35°,

22

.?./2O￡)=/AOC=35°；

（2）設(shè)NEOC=2x,NEOD=3x,根據(jù)題意得2x+3x=180°,解得尤=36°,

:./EOC=2x=72°,

Z.ZAOC^AZEOC^Ax72°=36°,

22

：.ZBOD^ZAOC^36°.

23.（2022秋?新化縣期末）如圖，A,O,B三點(diǎn)在同一直線上，N80D與N20C互補(bǔ).

（1）/AOC與的度數(shù)相等嗎，為什么？

（2）已知0M平分NAOC,若射線ON在/CO。的內(nèi)部，且滿足/AOC與NMON互余;

?ZAOC=32°,求NM0N的度數(shù)；

②試探究NAON與/。ON之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并說明理由.

備用圖

【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解；

（2）①根據(jù)余角的定義解答即可；

@ZAON=ZDON,根據(jù)角平分線的定義以及補(bǔ)角與余角的定義，分別用NAOM的代數(shù)式表示出NAON

與/OON即可解答.

【解答】解：（1）ZAOC=ZBOD,

■:/BOD與NBOC互補(bǔ)，

：.ZBOD+ZBOC=1^0°,

VZAOC+ZB(9C=180°,

NAOC=NBOD；

(2)①：NAOC與NMON互余，

，ZMON=900-ZAOC=58°；

?ZAON=ZDON,

理由如下：

；0Af平分NA0C,

ZAOC^2ZAOM,ZCOM=ZAOM,

'：/AOC與/MON互余,

：.ZAOC+ZMON=90°,

：.NAON=9G-ZAOM,

：.ZCON=90°-3ZAOM,

■:NBOD與NBOC互補(bǔ)，

AZBOD+ZBOC=180°,

：.NCON+NDON+2NBOD=180°,

又；ZBOD=ZAOC=2ZAOM,

：./DON=180°-ACON-2ZBOD

=180°-(90°-3ZAOM)-4ZAOM

=90°-ZAOM.

：.NAON=ADON.

24.（2022秋?金華期末）（1）如圖（a）,將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起.

①若/。?！?40°,則NAC2=140°；若NAC2=120°,則NDCE=60°；

②猜想NACB與NOCE的度數(shù)有何特殊關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖（6）,兩個(gè)同樣的三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則NZM8與NC4E的度數(shù)有何關(guān)系？

請說明理由.

（3）如圖（c）,已知NAOB=a，作NCOO=B（a,0都是銳角且a>0）,若0c在NAOB的內(nèi)部，請

直接寫出ZAOD與ZBOC的度數(shù)關(guān)系.

圖（c）

【分析】（1）①先求出入BCD,再代入/AC8=NACD+N8C￡＞求出即可，先求出/BC。，再代入NQCE

=ZBCE-NBCD求出即可;

②先計(jì)算：ZACB=90°+ZBCD,再加上/DCE可得結(jié)果;

（2）先計(jì)算NZMB=60°+ZCAB,再加上/CAE可得結(jié)果;

（3）分情況討論：①。。在。2上方；?！辏驹贜20C內(nèi)部；③。。在NAOC內(nèi)部；④0。在0A下方.

【解答】解：（1）①根據(jù)題意，ZAC￡＞=90°,ZDCE=40°,

ZACE^ZACD-ZDCE^90°-40°=50°,

\'ZBCE=9Q°,

ZACB=ZACE+ZBCE=50a+90°=140°,

根據(jù)題意，ZBCE=90°,ZACB=120°,

ZACE=ZACB-ZBCE=120°-90°=30°,

VZACD=90°,

.,.ZDC￡=90°-30°=60°.

故答案為：140。；60；

②根據(jù)題意,

NACB=NACD+NBCD=90°+ZBCD,

ZACB+ZDCE

=90°+ZBCD+ZDCE

=90°+ZBCE

=180°；

(2)根據(jù)題意,

ZDAB+ZCAE=12Q°,

"?ZDAB=ZDAC+ZCAB=60°+ZCAB,

：.ZDAB+ZCAE

=60°+ZCAB+ZCAE

=60°+ZEAB

=120°,

①0。在08上方時(shí)，如圖：ZAOD+ZBOC=ZAOB+