高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題07 概率與統(tǒng)計中的熱點問題（原卷版）

專題專題7概率與統(tǒng)計中的熱點問題【方法綜述】概率與統(tǒng)計的問題在高考中的地位相對穩(wěn)定，而由于概率與統(tǒng)計具有較強的現(xiàn)實應(yīng)用背景，在近幾年的高考中，概率與統(tǒng)計問題在高考中所占的地位有向壓軸題變化的趨勢。概率與統(tǒng)計的熱點問題主要表現(xiàn)在一是：以數(shù)學(xué)文化和時代發(fā)展為背景設(shè)置概率統(tǒng)計問題，二是概率統(tǒng)計與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結(jié)合的問題。此類問題的解決，需要考生由較強的閱讀理解能力，體現(xiàn)考生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算及邏輯推理等核心素養(yǎng)。先就此類問題進行分析、歸類，以幫助考生提升應(yīng)試能力?！窘獯鸩呗浴款愋鸵灰詳?shù)學(xué)文化和時代發(fā)展為背景的概率統(tǒng)計問題【例1】（2020?淮南一模）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域涂色不相同的概率為（）A． B． C． D．【例2】（2020全國模擬）冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（2）若p與干擾素計量相關(guān)，其中（）是不同的正實數(shù)，滿足且（）都有成立.（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；（ii）當(dāng)時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值【舉一反三】1．（2020·寧夏高考模擬（理））根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．2.（2020·河北高三期末（理））我國歷法中將一年分為春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)有六個節(jié)氣，如夏季包含立夏、小滿、芒種、夏至、小暑以及大暑.某美術(shù)學(xué)院甲、乙、丙、丁四位同學(xué)接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學(xué)抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的六幅彩繪，在制簽及抽簽公平的前提下，甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)的概率為_________.3．（2020?湖北模擬）據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、候、公，共五級．現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，共五人要把80個橘子分完且每人都要分到橘子，級別每高一級就多分m個（m為正整數(shù)），若按這種方法分橘子，“公”恰好分得30個橘子的概率是類型二概率統(tǒng)計與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結(jié)合的問題【例3】．（2020?浙江模擬）甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是p，隨機變量X表示最終的比賽局數(shù)，若0＜p＜，則（）A．E（X）＝ B．E（X）＞ C．D（X）＞ D．D（X）＜【例4】．（2020?開福區(qū)模擬）設(shè)一個正三棱柱ABC﹣DEF，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為P10，則P10為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020?越城區(qū)模擬）隨機變量ξ有四個不同的取值，且其分布列如下：ξ2sinαsinβ3cosαsinβ3sinαcosβPt則E（ξ）的最大值為（）A．﹣1 B．﹣ C． D．12．（2020?天心區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）＝，若，則方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五個不同根的概率為（）A． B． C． D．3．（2019?湛江一模）已知空間直角坐標(biāo)系中的四個點A（4，1，1），B（4，﹣2，﹣1），C（﹣2，﹣2，﹣1），D（﹣2，1，﹣1）．經(jīng)過A，B，C，D四點的球記作球M．從球M內(nèi)部任取一點P，則點P落在三棱錐A﹣BCD內(nèi)部的概率是．【強化訓(xùn)練】1．（2020·安徽高考模擬（理））2019年5月22日具有“國家戰(zhàn)略”意義的“長三角一體化”會議在蕪湖舉行；長三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡稱“三省一市”.現(xiàn)有4名高三學(xué)生準(zhǔn)備高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個地方旅游，假設(shè)每名同學(xué)均從這四個地方中任意選取一個去旅游，則恰有一個地方未被選中的概率為（）A． B． C． D．2.設(shè)函數(shù)，若是從三個數(shù)中任取一個，是從五個數(shù)中任取一個，那么恒成立的概率是（）A.B.C.D.3．（2020·湖北高考模擬（理））生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（）A． B． C． D．4．（2020?富陽區(qū)模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，且對任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，設(shè)an的值為隨機變量ξn，則（）A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1 C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）5．（2020·全國高三模擬）某農(nóng)貿(mào)市場出售西紅柿，當(dāng)價格上漲時，供給量相應(yīng)增加，而需求量相應(yīng)減少，具體調(diào)查結(jié)果如下表：表1市場供給量表2市場需求量單價

（元/kg）22.42.83.23.64單價

（元/kg）43.42.92.62.32供給量

（1000kg）506070758090需求量

（1000kg）50606707580根據(jù)以上提供的信息，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應(yīng)在區(qū)間（）A．（2.3，2.6）內(nèi) B．（2.4，2.6）內(nèi) C．（2.6，2.8）內(nèi) D．（2.8，2.9）內(nèi)6．（2019·四川成都七中高考模擬（理））如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（）A． B． C． D．7．（2020雁塔區(qū)校級模擬）為了解某次測驗成績，在全年級隨機地抽查了100名學(xué)生的成績，得到頻率分布直方圖（如圖），由于某種原因使部分數(shù)據(jù)丟失，但知道后5組的學(xué)生人數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)90分以下人數(shù)為38，最大頻率為b，則b的值為．8．（2020?寧波校級模擬）某保險公司新開設(shè)了一項保險業(yè)務(wù)，規(guī)定該份保單在一年內(nèi)如果事件E發(fā)生，則該公司要賠償a元，假若在一年內(nèi)E發(fā)生的概率為p，為使公司受益的期望值不低于a的，公司應(yīng)要求該份保單的顧客繳納的保險金最少為元．9.“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個答題板塊的學(xué)習(xí)方法有________種.10．（2020?路南區(qū)校級月考）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊AB、直角邊AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域．若BC＝10，過點A作AD⊥BC于D，當(dāng)△ABD面積最大時，黑色區(qū)域的面積為．11．（2020·廣東模擬）水痘是一種傳染性很強的病毒性疾病，易在春天爆發(fā)．市疾控中心為了調(diào)查某校高一年級學(xué)生注射水癥疫苗的人數(shù)，在高一年級隨機抽取5個班級，每個班抽取的人數(shù)互不相同，若把每個班級抽取的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值是_____．12．（2020.倉山區(qū)校級期末）已知直線與曲線恰有兩個不同的交點，記k的所有可能取值構(gòu)成集合A，P（x，y）