專題09 三點共線問題（原卷版）

專題09三點共線問題一、【知識回顧】【三點共線模型】①函數(shù)模型：構(gòu)建平面直角坐標系，求出三個點坐標，其中兩個點構(gòu)建一次函數(shù)模型，判斷第三個點是否在函數(shù)圖像上，滿足則共線②平角模型如圖，要證明A、B、C三點共線，可以選擇一條過B點的直線PBQ，并連接AB、CB，證明∠ABP與∠CBP互為鄰補角，即∠ABP+∠CBP=180°③平行線模型如圖，要證明A、B、C三點共線，先證明AB∥DE，在證明BC∥DE④垂線模型如圖，要證明A、B、C三點共線，先證明AC⊥MN，在證明A⊥MN【三線共點模型】①證明兩條線的交點，在第三條直線上②證明三條線中兩條線的交點和另外兩條線的交點是同一個二、【考點類型】考點1：三點共線典例1：（2022秋·福建泉州·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，，將繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，當點E恰好落在線段上時，連接，的平分線交于點F，連接．(1)求的長；(2)求證：C、E、F三點共線．【變式1】（2022春·福建泉州·九年級校考階段練習）在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點，的對應(yīng)點分別是，，連接．(1)如圖，當點恰好在上時，求的大?。?2)如圖，若，點是的中點，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．(3)如圖，若點為中點，求證：、、三點共線．求的最大值．【變式2】（2021春·福建廈門·九年級校考階段練習）拋物線C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的頂點為A，拋物線C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的頂點為B，其中m≠﹣2，拋物線C1與C2相交于點P．(1)當m＝1時，求拋物線C1的頂點坐標；(2)已知點C（﹣2，1），求證：點A，B，C三點共線；(3)設(shè)點P的縱坐標為q，求q的取值范圍．【變式3】（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD中，于點E，．(1)若，求CE的長；(2)設(shè)點C關(guān)于AD的對稱點為F，求證：B，E，F(xiàn)三點共線．考點2：三線共點典例2：（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線段，垂足為a．（1）求作四邊形，使得點B，D分別在射線上，且，，；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形的邊的中點，求證：直線相交于同一點．【變式1】（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，為線段外一點．（1）求作四邊形，使得，且；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形中，，相交于點，，的中點分別為，求證：三點在同一條直線上．鞏固訓(xùn)練、單選題1．（2023春·八年級課時練習）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，延長DC到點F（0＜CF＜4），在線段CB上截取點P，使得CP＝CF，連接BF、DP，再將△DCP沿直線DP折疊得到△DEP．下列結(jié)論：①若延長DP，則DP⊥FB；②若連接CE，則；③連接PF，當E、P、F三點共線時，CF＝4﹣4；④連接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，則CF＝4﹣4；其中正確有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在長方形ABCD中，ADBC，ABCD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．將長方形沿著BE折疊，A落在A′處，A'E交BC于點G，再將∠A′ED對折，點D落在直線A′E上的D′處，C落在C′處，折痕EF，F(xiàn)在BC上，若D、F、D′三點共線，則BF＝（）A．m+n B． C． D．m﹣n3．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2，PA，PB，CD分別切⊙O于點A，B，E，CD分別交PA，PB于點C，D，且P，E，O三點共線．若∠P＝60°，則CD的長為（）A．4 B．2 C．3 D．64．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到Rt△A’B’C．當A’、B’、A三點共線時，AA’=（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山東日照·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知和都是等邊三角形，且、、三點共線．與交于點，與交于點，與交于點，連結(jié)．以下五個結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤．其中正確結(jié)論的有（

）個A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題6．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點E在上，，連接，取中點F，過F作且使得，連接并延長，將繞點C旋轉(zhuǎn)到，當，，三點共線且時，______．7．（2023·全國·九年級專題練習）如圖中，與的平分線相交于H，過點H作交于E，交于F，于D，以下四個結(jié)論①；②；③點H到各邊的距離相等；④若B，H，D三點共線時，一定為等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號為_____．8．（2022春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，將△ABE沿BE對折，點A的對應(yīng)點為，連接C，當E、、C恰好三點共線時，AE的值為____________9．（2022春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，E點是BD的中點，MN經(jīng)過E點分別與AD、BC相交于點M、N．下列四個結(jié)論：①；②；③A、C、E三點共線；④若，則．其中正確的結(jié)論有____．（寫出所有正確結(jié)論的序號）10．（2022·福建·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，點都在反比例函數(shù)的圖象上，且．現(xiàn)給出以下說法：①若A，O，B三點共線，則；②若，則A，O，B三點共線；③線段OA長度的最小值是；④以A，O，B為頂點的三角形不可能是直角三角形．其中正確的是__________．（寫出所有正確說法的序號）三、解答題11．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，在中，，，．(1)試說明與滿足什么等量關(guān)系時，點D、點C、點E三點共線．(2)連接，連接交于F點，若點F恰好是線段的中點，求證：．12．（2023秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，沿以每秒5個單位長度的速度向終點運動，過點作于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接．設(shè)點的運動時間為秒．(1)線段的長為__________，線段的長為__________（用含的代數(shù)式表示）；(2)當點與點重合時，求的值；(3)當、、三點共線時，求的值；(4)當為鈍角三角形時，直接寫出的取值范圍．13．（2022秋·福建泉州·八年級?？茧A段練習）如圖，是等腰直角三角形，，，D在線段上，E是線段的一點．現(xiàn)以為直角邊，C為直角頂點，在的下方作等腰直角，連接．(1)如圖1，求證：．(2)當A、E、F三點共線時，如圖2，若，求的長．(3)如圖3，若，連接，當E運動到使得時，求的面積．14．（2022秋·福建龍巖·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在等腰直角中，，，點，分別為，的中點，為線段上一動點（不與點，重合），將線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點．(1)證明：；(2)①當點F運動到什么位置時，四邊形是正方形？請你說明理由；②當時，求證：點三點共線．15．（2022秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習）已知直線y＝﹣2x