2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：平行四邊形章節(jié)綜合5（解答題）

2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

平行四邊形章節(jié)綜合（解答題）5

一、解答題

1.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）四邊形A8CD是正方形，AC是對(duì)角線，E是平面內(nèi)一點(diǎn)，且

CE<BC,過點(diǎn)C作尸C，CE,且CF=CE.連接AE、AF,〃是A尸的中點(diǎn)，作射線。M交AE于點(diǎn)N.

（1）如圖1,若點(diǎn)E,尸分別在BC,C。邊上.

求證：①ZBAE=ZDAF；

②DN1AE；

（2）如圖2,若點(diǎn)￡在四邊形ABC。內(nèi)，點(diǎn)尸在直線BC的上方，求NE4c與44OV的和的度數(shù).

2.（2024北京H^一實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二下期中）如圖，經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A在其外側(cè)作直線AP,點(diǎn)B

關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E,連接BE、DE,其中DE交直線AP于點(diǎn)F.

（1）依題意補(bǔ)全圖L

（2）若NPAB=30。，求NADF的度數(shù).

（3）如圖，若45o<NPAB<90。，用等式表示線段AB,FE,FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

3.（2024北京房山初二下期中）如圖，在uABCD中，點(diǎn)、E,尸分別在BC,AD上，且BE=FD,求證：四

邊形AEC尸是平行四邊形.

4.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在AD、BC邊上，且

AE=CF.

求證：（1）△ABE^ACDF；

(2)四邊形BFDE是平行四邊形.

5.(2024北京H--實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二下期中)如圖，在AABC中，AB=AC,。為中點(diǎn).四邊形是

平行四邊形.

求證：四邊形AOCE是矩形

6.(2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中)如圖，矩形ABCD中，AB=9,AD=4.E為CD邊上一點(diǎn)，

CE=6.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接PE.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為t秒.

(1)求小ADE的周長(zhǎng)；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，APAE為直角三角形？(3)是否存在這樣的3使EA恰好平分/PED,若存在，求

出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

7.(2024北京日壇中學(xué)初二下期中)如圖，在菱形48CZJ中，CELAB交A8延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為點(diǎn)8

關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)，連接CR分別延長(zhǎng)。C,CF至點(diǎn)G,H,使FH=CG,連接AG,DH交于點(diǎn)P.

(1)依題意補(bǔ)全圖1;

(2)猜想AG和。X的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)若/ZMB=70。，是否存在點(diǎn)G,使得AAOP為等邊三角形？若存在，求出CG的長(zhǎng)；若不存在，說明

理由.

圖I四用圖

8.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）已知，四邊形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,E為AB的中點(diǎn),

AC為對(duì)角線，ACXBC.

（1）求證：四邊形AECD是菱形.

（2）若/ZME=60。，AE=2,求菱形AECZ）的面積.

9.（2024北京第十三中學(xué)初二下期中）如圖，在。ABCD中，AC是對(duì)角線，BELAC,DF1AC,垂足分別

為點(diǎn)、E,F,求證：AE=CF.

10.（2024北京第三十五中學(xué)初二下期中）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為48cm,ZA=60°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)，沿著線路AB-做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，沿著線路DC-CB-BA做勻速運(yùn)動(dòng).

（1）求的長(zhǎng)；

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸、。運(yùn)動(dòng)的速度分別為8cm/s、10cm/s.經(jīng)過12秒后，P、。分別到達(dá)V、N兩點(diǎn)，試判斷

AMV的形狀，并說明理由，同時(shí)求出.AMV的面積；

（3）設(shè)問題（2）中的動(dòng)點(diǎn)尸、。分別從“、N同時(shí)沿原路返回，動(dòng)點(diǎn)尸的速度不變，動(dòng)點(diǎn)。的速度改變

為acm/s,經(jīng)過3秒后，P、。分別到達(dá)區(qū)/兩點(diǎn)，若△3EF為直角三角形，試求。的值.

參考答案

1.（1）①見解析；②見解析；（2）45°

【分析】（1）根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的計(jì)算，可知①NBAE=

NDAF是否成立；可知②DN_LAE是否成立；

（2）根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的計(jì)算，求出NEAC與NADN的

和的度數(shù).

【詳解】（1）證明：①在正方形A8CD中，

ZABE=ZADF=90°,AB=BC=CD=AD.

?:CE=CF,

:.BE=DF.

AABE=AADF.

：-ZBAE=ZDAF.

②???”是A尸的中點(diǎn)，

???ZDAF=ZADN,

由①可知.

ZBAE=ZADN.

*.*ABAE+AEAD=9^

ZAND+/EAD=9W

：.AN1DN

丁ADLCD,

：.CA=CH.

在正方形ABC。夕，AC是對(duì)角線,

???ZACD=45°.

ZACH=ZACD=45°.

ZACH=ZECF=90°.

ZACE=NHCF

又；CE=CF,

：.AACE^MiCF.

：.ZEAC=ZFHC

是AF的中點(diǎn)，。是A”的中點(diǎn)，

DM//FH.

：.ZADN=ZAHF

，ZADN+NEAC=ZAHF+NFHC=NAHC=45°

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的計(jì)算.

2.(1)見解析;(2)ZADF=15°；(3)EF2+FD2=2AB2,見解析.

【分析】(1)過B作AP的垂線段，并延長(zhǎng)至E,使B、E到AP的垂線段相等，得出B的對(duì)稱點(diǎn)E,連接

BE、DE即可；

(2)連接AE,由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出/PAB=NPAE=30。，AE=AB=AD,得出NAED=NADF,求出

ZEAD=150°,即可求出NADF的度數(shù)；

(3)連接AE、BF、BD,由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出EF=BF,AE=AB=AD,得出/ABF=/AEF=NADF,求出

ZBFD=ZBAD=90°,根據(jù)勾股定理得出BF2+FD2=BD2,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖1、圖2所示：

(2)連接AE,如圖3所示:

圖3

:點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E,

則/PAB=NPAE=30。，AE=AB=AD,

/AED=NADF,

四邊形ABCD是正方形，

；./BAD=90°,

???ZEAD=90°+30°+30°=150°,

/.ZADF=-(180°-ZEAD)=15。；

2

(3)連接AE、BF、BD,如圖4所示:

圖4

貝l|EF=BF,AE=AB=AD,

/EBF=ZBEF,ZABE=ZAEB

NABF=NAEF=NADF,

.\ZBFD=ZBAD=90o,

.,.BF2+FD2=BD2,

VAB2+AD2=2AB2,EF=BF,

Z.EF2+FD2=AB2+AD2=2AB2,

即EF2+FD2=2AB2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及垂直平分線

的性質(zhì)；熟練掌握正方形和軸對(duì)稱的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

3.見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得A尸〃EC.AF=EC,然后根據(jù)平行四邊形的定義即可證得.

【詳解】證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.AF//EC,

?；BE=FD,

：.BC-BE=AD-FD,

J.AF^EC,

二四邊形AECF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出是解決問題的

關(guān)鍵.

4.(1)見解析；(2)見解析；

【分析】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等的性質(zhì)，即可證得

ZA=ZC,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定小ABE^ACDF.

(2)由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等，即可得AD〃:BC,AD=BC,又由

AE=CF,即可證得DE=BF.根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形BFDE是平行

四邊形.

【詳解】證明：(1):四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD,

在△ABE和△CDF中，；AB=CD,ZA=ZC,AE=CF,

AAABE^ACDF(SAS).

(2)?.?四邊形ABCD是平行四邊形，AADZ/BC,AD=BC.

VAE=CF,AAD-AE=BC-CF,即DE=BF.

四邊形BFDE是平行四邊形.

5.見解析

【詳解】證明：：四邊形A3DE是平行四邊形，

：.AE//BC,AB=DE,AE=BD.

?.?。為BC的中點(diǎn)，

/.CD=DB.

：.CD//AECD=AE,

???四邊形ADCE是平行四邊形.

'：AB=AC,

：.AC=DE.

平行四邊形AOCE是矩形.

22Q

6.(1)12；(2)t=6或t=；；(3)t=；

36

【分析】(1)在直角4ADE中，利用勾股定理進(jìn)行解答；

(2)先利用勾股定理表示出PE2,在R3PAE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解即可得出結(jié)論；

(3)利用角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及等量代換推知：NPEA二NEAP,則PE=PA,由此列出關(guān)于

t的方程，通過解方程求得相應(yīng)的t的值即可.

【詳解】解：(1)???矩形ABCD中，AB=9,AD=4,

?''CD=AB=9,ZD=90°,

ADE=9-6=3,

AE=s]DE2+AD2=,32+4?=5;

AADE的周長(zhǎng)為3+4+5=12

(2)①若NEPA=90°,t=6；

②若NPEA=90°,(6-t)2+42+52=(9-t)2,

2

解得t=1.

2

綜上所述，當(dāng)t=6或t=§時(shí)，△PAE為直角三角形；

(3)假設(shè)存在.

：EA平分NPED,.,.ZPEA=ZDEA.

VCD/7AB,；.NDEA=NEAP,

/.ZPEA=ZEAP,

；.PE=PA,

(6-t)2+42=(9-t)2,

解得t=2§9.

6

滿足條件的t存在，此時(shí)t=720.

【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，用勾股定理

建立方程是解本題的關(guān)鍵.

7.(1)見解析;(2)AG=DH,理由見解析;(3)不存在.理由見解析.

【詳解】【分析】(1)依題意畫圖；

(2)根據(jù)菱形性質(zhì)得AD=CD=CB,AB//DC,ZADC^ZABC；由點(diǎn)/為點(diǎn)B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)，得

CE垂直平分8歹，故CB=CF,NCBF=NCFB,所以CD=Cb,再證。G=C",

由NABC+NCM=180°,ZDCF+ZCFB=180°,得ZADC=NDCF.可證△AOG會(huì)△DC”.

(3)由(2)可知，ZDAG=ZCDH,/G=/GAB,

證得/。必=NPZ)G+/G=/ZMG+/GAB=70o>60。，故4AZ)尸不可能是等邊三角形.

【詳解】(1)補(bǔ)全的圖形，如圖所示.

(2)AG=DH.

證明：：四邊形ABC。是菱形，

；.AD=CD=CB,AB//DC,ZADC^ZABC.

??,點(diǎn)、F為點(diǎn)、B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn),

：.CE垂直平分3P.

ACB=CF,NCBF=NCFB.

：.CD=CF.

又：FH=CG,

：.DG=CH.

,?ZABC+ZCBF=180°,Z.DCF+ZCFB=180°,

/.ZADC^ZDCF.

：.△ADG^/\DCH.

：.AG=DH.

（3）不存在.

理由如下：

由（2）可知，ZDAG=ZCDH,ZG=ZGAB,

：.ZDPA=ZPDG+ZG=ZDAG+ZGA8=70°>60°.

△AD尸不可能是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：菱形，軸對(duì)稱，等邊三角形.解題關(guān)鍵點(diǎn)：此題比較綜合，要熟記菱形性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，等邊三角形判定.

8.（1）見解析；（2）2上

【分析】（1）先證AE=C。，AE//CD,得四邊形AECQ是平行四邊形，再證CE=AE,得平行四邊形

AECD是菱形；

（2）過點(diǎn)C作仍交班于點(diǎn)尸先求EF,再根據(jù)勾股定理求CE再根據(jù)平行四邊形面積公式可求

出四邊形面積.

【詳解】（1）證明：為AB的中點(diǎn)

：.AB=2AE,

'：AB=2CD,

：.AE=CD,

X'-'AB//CD,

J.AE//CD,

/.四邊形AECD是平行四邊形，

'：AC±BC,

：.ZACB=90°,

又為A8的中點(diǎn)，

CE=-AB,AE=-AB,

22

/.CE=AE,

所以平行四邊形AECD是菱形；

（2）解：過點(diǎn)C作C/UEB交即于點(diǎn)尸.

:四邊形AEC。是菱形,

：.AD//EC,AE=CE,

：.ZDAE=Zlf

VZDAE=60°,AE=2,

AZ1=60°,CE=2,

*：CF±EB,

：.ZCFE=90°,

.?.Zl+Z2=90°,

.*.Z2=30°,

EF=-CE=1,

2

在放AC所中，ZCFE=9Q°,CF=ylCE2-EF2=>/22-l2=73，

?，?S菱小CD=屈.CF=2x6=26.

【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：菱形.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記菱形的判定方法.

9.證明見解析.

【分析】由全等三角形的判定定理AAS證得△ABE名△<?￡>/,則對(duì)應(yīng)邊相等：AE=CF.

【詳解】如圖，

:四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZBAE=ZDCF.

XBE±AC,DF±AC,

：./AEB=/CFD=90°.

在△48石與4CD尸中，

ZAEB=ZCFD

"ZBAE=ZDCF,

AB=CD

.?.得△ABE■名△CDF(A4S),

：.AE=CF.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)

鍵.

10.(1)48cm；(2)2886cm2；(3)若△5EF為直角三角形，。的值為4或12或24

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=3C=CD=AD=48,加上ZA=60。，于是可判斷△ABD是等邊三角

形，所以BD=AB=48；

(2)如圖1,根據(jù)速度公式得到12秒后點(diǎn)P走過的路程為96cm,則點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)O,即點(diǎn)M與。點(diǎn)重合，

12秒后點(diǎn)0走過的路程為120cm,而BC+C￡)=96,易得點(diǎn)。到達(dá)AB的中點(diǎn)，即點(diǎn)N為的中點(diǎn)，根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得即"W為直角三角形，然后根據(jù)等邊三角形面積可計(jì)算出

Sv頻=2886cm2；

(3)由△的為等邊三角形得NASD=60。，根據(jù)速度公式得經(jīng)過3秒后點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為24cm、點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)的路程為3acm,所以3E=OE=24cm,然后分類討論：當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到下點(diǎn)，且點(diǎn)尸在上，如圖

1,則NF=3a,BF=BN-NF=24—3a,由于△班戶為直角三角形，而/FBE=60。，只能得到

ZEFB=90°,所以/由=30。，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得24-3a=；x24,解得。=4；當(dāng)

點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到產(chǎn)點(diǎn)，且點(diǎn)尸在2c上，如圖2,則NF=3a,BF=BN-NF=3a-24,由于砂為直角三角

形，而4BE=60。，若NEEB=90。，貝|NEEB=30°,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得

3a-24=-x24,解得。=12；若NEFB=9U°,易得此時(shí)點(diǎn)尸在點(diǎn)C處，貝！|3。=24+48,解得a=24.

2

【詳解】解：(1)：四邊形ABCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=48,

ZA=60°,

/XABD是等邊三角形，

：.BD=AB=48,

即的長(zhǎng)是48cm；

(2)如圖1,12秒后點(diǎn)尸走過的路程為8義12=96,則12秒后點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)￡),即點(diǎn)M與Z)點(diǎn)重合，

12秒后點(diǎn)Q走過的路程為10x12=120,而3C+CD=96,

所以點(diǎn)。到B點(diǎn)的距離為120-96=24,

則點(diǎn)。到達(dá)的中點(diǎn)，即點(diǎn)N為A5的中點(diǎn)，

：△ABD是等邊三角形，而為中線，

:.MN±AB,

二,A