2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷3（新高考專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷03（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填

寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求.

1.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）已知全集"=仁集合4={同久2_%_2>0},B={0,1,2,3},則（C/1）

CB=（）

A.[-1,2]B.[-1,0,1,2}C.[0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解法求解集合力,然后利用補集和交集運算求解即可.

【解答過程】由』-X-2>0得（久-2）（x+1）>0,解得或x>2,

所以a=（-8,_l）u（2,+8）,所以（:脾=[-1,2],故化脾）c8={0,1,2}.

故選：C.

2.（5分）（2023?河北邢臺?寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測）若復(fù)數(shù)z=（2-ai）（i+l）的共輾復(fù)數(shù)萬在復(fù)平面內(nèi)對

應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(2,+oo)B.(-oo,-2)C.(-2,2)D.(0,2)

【解題思路】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡，再由所在象限的復(fù)數(shù)特征列不等式組求參數(shù)范圍.

【解答過程】由題設(shè)，可得z=2+a+(2-a)i,所以萬=2+a+(a-2)i,對應(yīng)的點位于第四象限，

所以[2+a>0n-2<a<2.

故選：C.

3.(5分)(2023?陜西榆林??？寄M預(yù)測)在△力BC中，點D滿足麗=2反，點E滿足荏=同+演?

,若4c=xBE+yBC,則x+y=()

iiii

A--5B--4C--3D--2

【解題思路】用瓦^前作為一組基底表示出麗、AC,再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.

【解答過程】因為點E滿足區(qū)=同+須?，所以E為力D的中點，

所以前=1或+；麗，又麗=2皮，

----->2---->

所以BD=58C,

所以“=》+振，又就=就-瓦?，

因為尼=%前+丫麗，所以麗-瓦？=x(短？+/?)+y說,

即BC-BA—/BA+Qx+y^BC,

-%+y=1(X=-2]

所以，i，解得”_三，所以久+y=-?

2%=-i(，-3s

故選：C.

A

4.(5分)(2023?四川南充?統(tǒng)考模擬預(yù)測)下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

1

A./(X)=-xB./(%)=x

C./(%)=|x|D.f(x)=2"

【解題思路】A選項，函數(shù)不滿足單調(diào)性；B選項，定義域不關(guān)于原點對稱，B錯誤；C選項，滿足函數(shù)

為偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞增；D選項，函數(shù)不滿足為偶函數(shù).

【解答過程】A選項，/(幻=-/在(0,+8)上單調(diào)遞減，A錯誤；

1

B選項，八功=力的定義域為［0,+8),定義域不關(guān)于原點對稱，不是偶函數(shù)，B錯誤；

C選項，/(X)=1x1的定義域為R,又/(-X)=I-xl=|xl=/(x),故f(x)=|xl為偶函數(shù)，

且%>0時，/(x)=I久I=%在(。,+8)上單調(diào)遞增，滿足要求，C正確；

D選項,f(%)=2支的定義域為R,且/'(-%)=2」又2。故/(-X)"(x),

/(x)=2,不是偶函數(shù)，D錯誤.

故選：C.

5.(5分)(2023?全國?模擬預(yù)測)某校有甲、乙等5名同學(xué)到4個社區(qū)參加志愿服務(wù)活動，要求每名同

學(xué)只能去1個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名同學(xué)，則甲、乙2人被分配到同1個社區(qū)的概率為()

3123

A-10B-10C-5D-5

【解題思路】由排列與組合的相關(guān)計算公式運算即可求解.

【解答過程】先在5名同學(xué)中選出2名同學(xué)分配到一個社區(qū)，有4種分配方法,

再將另外3人分配到3個社區(qū)且每個社區(qū)各1人，則共有《A：=240（種）分配方法,

其中甲、乙2人被分配到同一個社區(qū)的分法有A：=24（種），

241

則甲、乙2人被分配到同1個社區(qū)的概率為麗=而.

故選：B.

6.（5分）（2023?廣東?校聯(lián)考二模）已知尸是雙曲線E:1-3=l（a>0力>0）的左焦點，。為坐標(biāo)原點，

ab

過點尸且斜率為連的直線與E的右支交于點M,MN=3NF,MFION,則E的離心率為（）

A.3B.2C.A/3D.A/2

【解題思路】取MF的中點為P,連接MF?P0,根據(jù)題意得到ON//P/,求得=2c,結(jié)合tan

Z-MFF1-y,得到COSNMFF]==],結(jié)合雙曲線的定義，得到c=2a,即可求解.

【解答過程】如圖所示，雙曲線=1的右焦點為FpMF的中點為P,連接MF?PF1,

ab111

因為加=3和。為PF1的中點,所以O(shè)N〃PFp則MFlPFp可得=|FFj=2c,

又因為tan/MF%所以cos/MFF]=黑^=：

則|MF|=3c,|MF|-IMF1=3c-2c=c=2a,可得e=：=2,

所以E的離心率為2.

故選：B.

7.（5分）（2023?廣西?模擬預(yù)測）已知sin（a+：）=|,ae（0,》，貝i]sin（a+「）=（）

AgR獨—D氈

八.1061010口.10

【解題思路】確定a+：€住3得到cos（a+：）=-根據(jù)sin（a+3=sin]（a+：）-：）展開計算得到答案.

【解答過程】a6（0,2），故a+§eQ,石），又sin（a+§）=弓<弓，

故a+上（淺）,cos（a+加一）

?（?17叫.f,n/TT\n772

sinla+司=sinIa+^1-^1=sinla+3Icos^-cosla+寸sm]=而.

故選：D.

e2e3

e1

8.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）已知a=需，b=e~fc=^,則有（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

X-1

【解題思路】函數(shù)/（%）=X>1,則a=f（3）,b=f（e）,c=f（4）,確定函數(shù)/（久）的單調(diào)性，通過單調(diào)性可

確定大小.

e?—1ge-1e，—1

【解答過程】把a,b,。變形得。=而打b="jKT，。=京^，

所以構(gòu)造函數(shù)/（%）=/7,%>1,則a=/（3）力=/（e）,c=/（4）./（%）=----------=—:—3—A>L

1I1X（In%）（In%）

1?11

令g（x）=Inx-則g（%）=-+^>。在（L+8）上恒成立，

所以g（x）在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增，因為g（e）=Ine-1=l-|>0,

所以「（X）>。在［e,4-8）上恒成立，

X-1

所以函數(shù)八久）=%在［e,+8）上單調(diào)遞增，

所以/（e）</（3）<f（4）,即6<a<c.

故選：C.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.（5分）（2023?廣東揭陽?惠來縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）甲、乙、丙、丁四名教師分配到4B,C三

個學(xué)校支教，每人分配到一個學(xué)校且每個學(xué)校至少分配一人.設(shè)事件M：“甲分配到4學(xué)?！?；事件N：“乙分

配到8學(xué)校”，則（）

A.事件M與N互斥B.P（M）=：

C.事件M與N相互獨立D.P（M|N）=1

【解題思路】利用互斥事件、相互獨立事件的定義判斷AC；利用古典概率計算判斷B；計算條件概率判

斷D作答.

【解答過程】對于A,甲分配到A學(xué)校的事件與乙分配到B學(xué)校的事件可以同時發(fā)生，即事件M與N不互

斥，A錯誤;

對于B,甲分配到4B,C三個學(xué)校是等可能的，則P（M）=（B正確;

1+CJCJ

對于C,由選項B知，P（N）=1,P（MN）=京，顯然P(MN)KP(M)P(N),

竭

因此事件M與N相互不獨立，C錯誤;

5

P(MN}365

對于D,由選項BC知，P(M|N)==(=IPD正確.

3

故選：BD.

10.（5分）（2023?云南?怒江校聯(lián)考一模）己知正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底

面邊長為2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.正四棱錐的體積為當(dāng)B.正四棱錐的側(cè)面積為16

C.外接球的表面積為等D.外接球的體積為黑1

【解題思路】根據(jù)錐體的體積公式計算可判斷選項A；先利用勾股定理計算出側(cè)面的高，再根據(jù)側(cè)面積公

式計算可判斷選項B；先計算出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式和體積公式計算即可判斷選項C、

D.

【解答過程】如圖所示:

對于選項A：因為該棱錐的高EF=4,底面邊長為2,

所以正四棱錐的體積為［x2X2x4=與，故選項A正確；

對于選項B：因為側(cè)面三角形的高為"T7="，

所以正四棱錐的側(cè)面積為］x2xgx4=4舊，故選項B錯誤;

對于選項C：設(shè)外接球的球心為。，半徑為r,

則OE=OA=r,OF=EF-OE=4-r.

因為4F=XBsin45°=必，

所以在Rtaa。尸中，有（4-#+（衣）=/,解得「=不

___7/9'281ir

所以該球的表面積為471T=4irX（7）=丁，故選項C正確；

\比/4,

94a4/9\3243Tt

對于選項D：因為球半徑r=%,所以體積為利r=311x（4）=~16~,故選項D正確.

故選：ACD.

11.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）拋物線C的焦點尸（0,-1）,點M在直線y=l上，直線M4MB為拋物線

C的切線，設(shè)力上必），取叼必），則下列選項正確的是（）

A.拋物線a/=-2y

B.直線48恒過定點

C.x1-x2=-4

D.當(dāng)樂=3而時，直線A8的斜率為

【解題思路】根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)確定拋物線方程即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)，確定切線方

程從而驗證直線是否過定點，即可判斷B；聯(lián)立直線與拋物線結(jié)合韋達定理確定交點坐標(biāo)關(guān)系即可判斷

C；根據(jù)拋物線的定義結(jié)合直角三角形的幾何性質(zhì)求解直線48的斜率，即可判斷D.

【解答過程】???拋物線C的焦點F（0,-l）,???拋物線C：j=-4y,故選項A錯誤；

設(shè)”（欠0，1）.vy=-\x,.*.y=-

???直線M4的方程為y-%

即為2y=-叼%-2%,同理可得直線MB的方程為2y=-x2x-2y2.

又M（%o，l）,.,.2=_*1和_2，1，2--x2xQ-2y2,

.?.直線28的方程為2=-工尤0-2、，；.直線43恒過點（0,-1）,故選項B正確；

聯(lián)立直線2B與拋物線C方程，可得%2-2/乂-4=0,.*/2=-4,故選項C正確；

設(shè)直線4B的斜率為鼠由前=3而，得而=2而.

如圖，分別作44盧%垂直于直線y=l,垂足分別為4,%,

設(shè)|BF|=m>0,則|4尸|=2m,|44j=2m,|BB]|=m,

過點B作垂足為H,

H尸I

易得MB|=3M,所以=

則tanzJ/B4=，^=W，故k=」,

根據(jù)對稱性得k還可以是-4,故選項D正確.

故選：BCD.

12.(5分)(2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測)若函數(shù)八切=。/+加-*+”,既有極大值點又有極小值

點，則()

2

A.ac<0B.be<0C.+c)<0D.c+4ab>0

【解題思路】根據(jù)極值定義，求導(dǎo)整理方程，結(jié)合一元方程方程的性質(zhì)，可得答案.

ae^x+cex—b

(解答過程】由題知方程/■((x)=-be-X+c="？~-=0,

e

ae?"+ce"-b=0有兩不等實根％Jx?,

令力=e。t>0,則方程+ct-b=0有兩個不等正實根q,t2,

aW0

2

△=c+4ab>0,2

廿qxic+4ab>0

其中q=e,t?t+t=工>0ac<0

Iza

bab<0

t1t2---a>o

{a(6+c)=ab+ac<0,故ACD正確,B錯i天，

故選：ACD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)(2023?上海閔行?統(tǒng)考一模)已知0-1)4=旬+。產(chǎn)++a/",則。2=一6一.

【解題思路】直接利用二項式定理計算得到答案.

【解答過程】(X-1)4展開式的通項為7；+1=C%4-『.(_1)『，取X=2得到=C%(-1)2=6.

故答案為：6.

14.(5分)(2023?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)測)若直線y=kx是曲線y=alnx的切線，也是曲線

y=e*的切線，則&=_e2_.

【解題思路】先根據(jù)丫=履與丫=不相切，確定k的值，再根據(jù)直線與y=alnx相切，確定a的值.

【解答過程】因為丫=依與丫=/相切.

y=(ex)=ex,設(shè)切點坐標(biāo)為(叼,丁)，則切線方程為y-e"=e"(x-%)

因為切線過原點，所以：0-e"=e"(0-X])=Xi=l,故切點為(l,e),所以k=e.

??(2dd

對函數(shù)y=alnx,y=(alnx)=由]=e=>%=-,

根據(jù)y=e%得切點縱坐標(biāo)為：eq=a,

根據(jù)y=aln%得切點縱坐標(biāo)為：a-ln^=a(lna-1),

由。=a(lna-1),又由題可知aW0=a=e?.

故答案為：e?.

15.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列區(qū)｝的前〃項和為S0,&Sn+1+Sn=n.若4+i〉4對正

N*恒成立，則%的取值范圍為

【解題思路】由時與Sn的關(guān)系，可求得Sn+Sn_i=5-1）2（7122）,進而求出4+2+%+1與4+1+4的

值，當(dāng)nN2時，4+2=2可得兩個等差數(shù)列的通項公式，由相鄰兩項間的大小關(guān)系，即可求得4的取

值范圍.

【解答過程】法一：因為S"+1+Sn=n2,當(dāng)7122時，Sn+Sn_i=5-1）2,兩式相減得4+1+與

=2n-l（n>2）,則aILi2+4ILT+-1-L=2九+L兩式相減得I%L+12一。九Il=2（幾之2）.

當(dāng)7i=l時，2al+%=1，則%=1-2ai；當(dāng)九=2時，2ar+2a24-a3=4,則%=2+2旬.

則%n=1一2。1+2(九一1)=2n-2al-1，%九+1=%+2(九一1)=2九+2al.

'〉a?1—2。］>a?

11

aa2n+2-2a-1>2n+2a解得_

要使4+1>%對九GN*恒成立,2n+2>2n+V即rv4<ai

a>af

,2n+12n2n+2al>2n-2ar-1,

所以%的取值范圍為(-W).

法二：Sn+1+Sn=n,當(dāng)nN2時,Sn+S…=(n-l)2,

a=2n+

兩式相減得a九+1+an=2n-l(n>2),則a九+2+n+iL

2

兩式相減得4+2-an=2（n>2）,所以數(shù)列｛Q2rl+J，｛%J都是以為公差的遞增數(shù)列，

%>

af

要使a九+1>a九對九GN*恒成立，只需%>2而。2=1-2ara3=24-2apa4=3-2%,

，1-2al>a

1v111

則2+2al>1-2ar解得一％<4<出

3-2al>2+2ar

所以%的取值范圍為

故答案為：

16.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)點尸是圓。：彳2+y2=1上的動點，過點p作圓d+y2

-6x-8y+21=0的兩條切線，切點分別為N,B,則四邊形尸NC2面積的最大值為_8段

【解題思路】將四邊形PACB的面積表示為S=24PC|2_4,當(dāng)點P是線段CO的延長線與圓O的交點

時，IP。最大，計算求出即可.

【解答過程】圓C的方程#+丫2-6%-8丫+21=0可化為(％-3)2+。-4)2=4,則圓心為C(3,4),半徑

為2,

連接PC,則在RtaPAC中，IP川=J|PC『-4,

所以四邊形尸/CB的面積S=2S△=2x?x|P川x2=2標(biāo)不工，

Z_XLZ1C?L>N

(由切線長定理知IP川=|PB|,故SAPBC=SAP4C)

連接co并延長，當(dāng)點尸是線段CO的延長線與圓。的交點時，IPCI最大，

此時|PC|=loci+1=^32+42+1=6,

所以四邊形PACB面積的最大值為2后［4=8".

故答案為：8M.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)(2023,河南開封?統(tǒng)考一模)記△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為q,b,c,已知4=可,

-b+c

日-------=2

□sinB+sinC,

⑴求a；

(2)若△力8c的面積為冷，求△ABC的周長.

【解題思路】(1)已知條件由正弦定理得Q=2sin4可求a；

(2)由的面積得兒，余弦定理求b+c,可得的周長.

【解答過程】(1)由正弦定理得總■前=2=高，則a=2sin4=2x'=避.

1,那be邪,口

(2)S△ABC=ibcsinA=~—《可be=2,

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,

即3=(b+c)2-6,貝!]b+c=3,所以a+b+c=3+p,

△ABC的周長為3+4.

18.(12分)(2023?四川南充?統(tǒng)考一模)己知數(shù)列｛4｝是首項為2的等比數(shù)列，且。4是6a2和。3的等差中

項.

⑴求｛4J的通項公式；

⑵若數(shù)列｛%｝的公比q>0,設(shè)數(shù)列｛九｝滿足%=1。助=1；*1，求｛九｝的前2023項和72023-

【解題思路】(1)設(shè)數(shù)列區(qū)｝的公比為q(q力0),根據(jù)題意得2a4=6a2+a,求得公比q,即可得通項公式％.

(2)根據(jù)題意得an=2：代入6n并化簡，再用裂項相消法求前2023項和即可.

【解答過程】(1)設(shè)數(shù)列｛4J的公比為以4片0),則an=2qn-

3

(24是6a2和<13的等差中項,2a4=6a2+a3,BP2x2q=6X2q+2q?解得q=2或q=-|或q=0(舍去)

當(dāng)q=2時,％=2X2“-1=2”.

當(dāng)q=[時,4=2*(-|/：

,1111

(2)q>0,由(1)知z,=2n，二b/+1==丁一?

H/l1\fl1\Z11\1n

2023

;72023=赤了

2Q23

故｛%｝的前2023項和72023為謝.

19.(12分)(2023?貴州銅仁?校聯(lián)考模擬預(yù)測)某地區(qū)教育局?jǐn)?shù)學(xué)教研室為了了解本區(qū)高三學(xué)生一周用

于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間的分布情況，做了全區(qū)8000名高三學(xué)生的問卷調(diào)查，現(xiàn)抽取其中部分問卷進行分析(問

卷中滿時長為12小時)，將調(diào)查所得學(xué)習(xí)時間分成(0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]6組，并繪

制成如圖所示的頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量f服從正態(tài)分布N(〃42),則p(/z-。fW〃+tr)=0.6827,P(〃-2<r<fW〃+2。)

?0.9545,P(/2-3<r<^</z+3<r)?0.9973.

⑴求a的值；

(2)以樣本估計總體，該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間f近似服從正態(tài)分布N(6.52,1.482),試估計該地區(qū)高三

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間在(8,9.48]內(nèi)的人數(shù)；

(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時間在[6,8),[8,10)內(nèi)的學(xué)生隨機抽取8人，并從這8人中再隨機

抽取3人作進一步分析，設(shè)3人中學(xué)習(xí)時間在[8,10)內(nèi)的人數(shù)為變量X,求X的期望.

【解題思路】(1)由概率之和為1計算即可得；

(2)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可得；

(3)結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)與期望計算公式計算即可得.

【解答過程】(1)由題意得2x(002+0.03+a+0.18+0.06+0.5)=1,解得a=0.16；

1

(2)P(8<f<9.48)=PQt+a-<f</I+2a)=/"(4-20<fW〃+2(r)-

11

-P(/z-a<^<n+ff)=-x(0.9545-0.6827)=0.1359.

則8000X0.1359=1087,2?1087,

所以估計該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間在(8,9.48]內(nèi)的人數(shù)約為1087人；

(3)[6,8),[8,10)對應(yīng)的頻率比為0.36:0.12,即為3：1,

所以抽取的8人中學(xué)習(xí)時間在[6,8),[8,10)內(nèi)的人數(shù)分別為6人，2人，

設(shè)從這8人中抽取的3人學(xué)習(xí)時間在[8,10)內(nèi)的人數(shù)為X,

則X的所有可能取值為0,1,2,

c6205

P(X=0)=祖=而=五，

C2c63015

P(X=1)=亨=葩=而，

「(乂=2)=亨=拓=赤,

515321

所以E(X)=0xm+lx而+2x通=云=0.75.

20.(12分)(2023?河南?信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在幾何體48CDE中，C4=1平面

ABC,BE||CDfBE=2CD.

(1)求證：平面ADE1平面4BE；

（2）若C4=AB,BE=3,AB=4,在棱AC上是否存在一點F,使得EF與平面"D所成角的正弦值為號？若存

Ap

在，請求出前的值；若不存在，請說明理由.

【解題思路】（1）取4B的中點。，連接C。，取AE的中點M,連接。通過證明DM，平面4BE可得

平面ADE1平面4BE；

（2）以。為坐標(biāo)原點，。8,。&。”所在的直線分別為乂軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)萬:=2左，

利用向量法求出EF與平面4CD所成角的正弦值，然后解方程可得答案.

【解答過程】（1）因為CD1平面4BC,且8EIICD,

所以BE1平面ABC,

取的中點。，連接C。，則COu平面力BC,所以BE1C。，

又C4=CB,所以C014B,

取4E的中點M,連接。貝IJOMIIBE,且。M=

又BE||CD,CD=：BE,所以CDIIOM,且CD=OM,

所以四邊形。CDM為平行四邊形，所以DM||C。，

所以￡W_LBE,￡W14B,

又AB,BEu平面ABE,ABCBE=B,所以DM1平面ABE,

因為DMu平面4DE,所以平面ADE1平面力BE；

（2）由（1）知OC,OB,OM兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點，OB,OC,OM所在的直線分別為%軸，y軸，z軸建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則力（-2,0,0）,式0,2眄0）刀他,2班|）￡（2。3）,

所以旅=（2,24,0）,麗=（0,0,|）,荏=（4,0,3）,

設(shè)平面/CD的一個法向量幾=(%,y,z),

3

n,CD=0,日口/冒，取y=l,可得九=(一平10).

則n-AC^O,即

2%+2?=0,

設(shè)赤=AAC=(22,2732,0),所以正=AF-AE=(2A-4,2/4,-3),

記EF與平面ACD所成的角為仇

所以sin。=|cos伍，麗)|='黑=---/24Pl-zi

㈤TEFl2、&2/1-4)2+(2技)2+(-3)27

解得a=2，故尸為4C的中點，即而=于

所以在棱4C上存在點F,使得EF與平面ACD所成角的正弦值為孚，且箓=(

21.(12分)(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖，已知入尸2分別為橢圓C：)+-=l(a>6>0)的左、右焦

4?乙ab

點，P為橢圓C上一點，若|它+而口=|瓦7-呵|=4,s寸咐=2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點尸坐標(biāo)為(書,1),設(shè)不過點尸的直線，與橢圓C交于/,8兩點，/關(guān)于原點的對稱點為/，記直線/

-1

,PB,P4的斜率分別為左，與,k2,若七/2=§,求證：直線1的斜率左為定值.

【解題思路】(1)將廬耳+時I=|*-至|兩邊平方可得為直角三角形，然后根據(jù)直角三角

形的面積及勾股定理計算可得a,瓦c的值，進而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/的方程為y=kx+zn,與橢圓方程聯(lián)立，通過計算七人,七/及七。=〃可得到=。

,結(jié)合韋達定理計算可得斜率k的值.

【解答過程】⑴由廬瓦+z5局=|*-*|兩邊平方得陪.*=0,

所以西1底.

因為|西-五|=|5片|=4,所以2c=4,即c=2.

由=2得施尸」?麻21=2,即忸々1-麻21=4

2

又|F/2'=\PF^+\PF2\=(忸。|+麻2『-2|PFj.\PF2\=16,

HP(2a)2-8=16,所以a?=6,所以—=a?-c?=2,

x2y2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為不+y=l;

/2

(2)設(shè)直線I的方程為丫=丘+6，代入2+?=1得(1+3必/+6km；+3/-6=0,

2222

貝必=36k2nl2-4(1+3fc)(3m-6)=12(6fc-m+2)>0,

設(shè)4(久1%)鳳%2，當(dāng)),則A(--%)，

6km3m2-6yi-1%+Iyi-16)1

于7H"1+&=-=-K.即屋l=車=一1=一號‘

iy】_iy2T

又卜-2=》所以即4=一勺，即kp4+kpB=°，即1^+石陰=°，

即-1)(X2-A/3)+(y2-l)(x1-V3)=0,

所以(/cq+m-1)(%2-V^)+(fc%2+m-l)(x1-V^)=0,2kxix2+(m-1-避k)(%]+%2)-2/(m-1)

=0.

771

將占+x7=-6"%%=-——1代入整理得3必-2鄧fe+1+J^mk-m=0,

12i+3r12l+3fc

BP(A/3/C-1)(#k-1+m)=0,

所以祁女-1+m=0或平憶-1=0

當(dāng)pk-l+7n=0,即m=l-和/c時，直線/的方程為丫=/c%+1-書攵=攵(％-4)+1,則直線［過點P

(AA1)舍去，

所以/fc-1=0,即々二

22.(12分)(2023?廣東東莞?東莞市東華高級中學(xué)校考一模)設(shè)a,b為函數(shù)f(%)=%?e'-TH(TH<0)

的兩個零點.

一V1、

(1)若當(dāng)％<0時，不等式汽,e>1恒成立，求頭數(shù)m的取值范圍；

(2)證明：e"+e”<l.

【解題思路】