2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.7-正態(tài)分布-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.7-正態(tài)分布-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．已知隨機(jī)變量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，則P(X>2)＝()A．0.2 B．0.4C．0.6 D．0.82．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,4)，若P(ξ≥2)＝0.3，則P(ξ≥－2)＝()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.83．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(2<X<6)＝0.6，則μ＝()A．6 B．5C．4 D．34．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，且P(ξ<5)＝0.7，則P(1<ξ<3)＝()A．0.6 B．0.5C．0.3 D．0.25．已知某地區(qū)成年女性身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(160，σ2)，且P(158<X≤160)＝0.2，則隨機(jī)抽取該地區(qū)1000名成年女性，其中身高不超過(guò)162cm的人數(shù)大約為()A．200 B．400C．600 D．7006．某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個(gè)不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶．根據(jù)其種植經(jīng)驗(yàn)，在正常環(huán)境下，甲、乙兩個(gè)品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量(單位：克)分別為X，Y，且X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．P(X≤c)<P(Y≤c)C．甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過(guò)μ2的概率大于eq\f(1,2)D．P(X>c)＋P(Y≤c)＝17．已知隨機(jī)變量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝eq\f(1,2)，E(X)＝E(Y)，則p＝()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)二、多選題8．已知某校高三年級(jí)有1000人參加一次數(shù)學(xué)模擬考試，現(xiàn)把這次考試的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分，標(biāo)準(zhǔn)分的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[60,300]，若使標(biāo)準(zhǔn)分X服從正態(tài)分布N(180,900)．(參考數(shù)據(jù)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()A．這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的約有450人B．這次考試標(biāo)準(zhǔn)分在(90,270]內(nèi)的人數(shù)約為997C．甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的概率為eq\f(3,8)D．P(240<X≤270)＝0.04289．已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量(單位：g)X～N(500,16)，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973，則下面結(jié)論正確的是()A．σ＝4B．P(496<X≤504)＝0.9545C．隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間(492,504]的約8186袋D．隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量小于488g的不多于14袋10．“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高(單位：cm)服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，則()A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機(jī)測(cè)量該地的一株雜交水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)的概率一樣大三、填空題11．某地有6000名學(xué)生參加考試，考試后數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(110，σ2)，若P(90≤X≤110)＝0.45，則估計(jì)該地學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?30分以上的人數(shù)為.12．長(zhǎng)風(fēng)工廠產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(100，σ2)．質(zhì)量指標(biāo)介于98至102之間的產(chǎn)品為良品．為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到95.45%，則需要調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得σ至多為.(若X～N(μ，σ2)，則P(|X－μ|<2σ)＝0.9545)13．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4，σ2)，且P(ξ<6)＝5P(ξ<2)，則P(2<ξ<6)＝.14．某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績(jī)X服從正態(tài)分布(105，σ2)．若P(90≤X≤120)＝eq\f(1,2)，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績(jī)高于120的概率是.四、解答題15.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，激勵(lì)青年學(xué)生積極奮發(fā)向上．某學(xué)校團(tuán)委組織學(xué)生參加了“青春心向黨，奮進(jìn)新時(shí)代”為主題的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績(jī)(卷面共100分)頻率分布直方圖如圖所示．(1)用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的50%分位數(shù)；(2)將此次競(jìng)賽成績(jī)?chǔ)谓瓶醋鞣恼龖B(tài)分布N(μ，σ2)(用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為μ，σ的近似值)，已知樣本的平均數(shù)約為80.5，標(biāo)準(zhǔn)差s≈7.5.現(xiàn)從該校參與知識(shí)競(jìng)賽的所有學(xué)生中任取100人，記這100人中知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)超過(guò)88分的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；參考數(shù)據(jù)：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.95，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.99.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．已知隨機(jī)變量X～B(2，p)，隨機(jī)變量Y～N(2，σ2)，若P(X≤1)＝0.36，P(Y<4)＝p，則P(0<Y<2)＝()A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.42．(多選題)若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，X的密度函數(shù)為f(x)＝，則正確的是()A．X的密度曲線與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)B．X的密度曲線關(guān)于x＝σ對(duì)稱C．2P(X>μ＋3σ)＝P(|X－μ|>3σ)D．若Y＝eq\f(X－μ,σ)，則E(Y)＝0，D(Y)＝13．暑假期間，某學(xué)校建議學(xué)生保持晨讀的習(xí)慣，開(kāi)學(xué)后，該校對(duì)高二、高三隨機(jī)抽取200名學(xué)生(該學(xué)校學(xué)生總數(shù)較多)，調(diào)查日均晨讀時(shí)間，數(shù)據(jù)如表：日均晨讀時(shí)間/分鐘[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)人數(shù)51025505060將學(xué)生日均晨讀時(shí)間在[30,60]上的學(xué)生評(píng)價(jià)為“晨讀合格”．(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“晨讀合格”與年級(jí)有關(guān)聯(lián)？項(xiàng)目晨讀不合格晨讀合格合計(jì)高二高三15100合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來(lái)估計(jì)全校的情況，現(xiàn)在從該校所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記所抽取的2人中晨讀合格的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8284．書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間(單位：分鐘)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100位年輕人每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)eq\x\to(x)(單位：分鐘)；(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)(2)若年輕人每天閱讀時(shí)間X近似地服從正態(tài)分布N(μ，100)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，求P(64<X≤94)；(3)為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組[50,60)，[60,70)，[80,90)的年輕人中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時(shí)間位于[80,90)的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.5．在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備)．已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺(tái)正常設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備)的配置，這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉．設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為p(0<p<1)，它們之間相互不影響．(1)當(dāng)p＝0.9時(shí)，求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知深圳某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)約50萬(wàn)的經(jīng)濟(jì)損失．為減少對(duì)該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.9，更新設(shè)備硬件總費(fèi)用為8萬(wàn)元；方案2：對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8，設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為5萬(wàn)元．請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？ 參考答案 【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．(A)[解析]由X～N(1，σ2)，知：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)圖象關(guān)于X＝1對(duì)稱，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2.故選A.2．(C)[解析]由題意知μ＝0，∴P(ξ≤－2)＝P(ξ≥2)＝0.3.∴P(ξ≥－2)＝1－P(ξ≤－2)＝0.7.故選C.3．(C)[解析]由題意可知P(X≥6)＝1－P(X<2)－P(2<X<6)＝0.2，∴P(X≥6)＝P(X<2)，∴μ＝eq\f(6＋2,2)＝4.選C.4．(D)[解析]P(1<ξ<3)＝eq\f(1－2Pξ>5,2)＝eq\f(1－2[1－Pξ<5],2)＝0.2.故選D.5．(D)[解析]因?yàn)镻(158<X≤160)＝0.2，所以P(X≤162)＝0.2＋0.5＝0.7，則隨機(jī)抽取該地區(qū)1000名成年女性，其中身高不超過(guò)162cm的人數(shù)服從Y～B(1000,0.7)，所以E(Y)＝np＝700，故選D.6．(D)[解析]Y的密度曲線更尖銳，即數(shù)據(jù)更集中，A正確；因?yàn)閏與μ2之間的與密度曲線圍成的面積S1＞c，μ1與密度曲線圍成的面積S2，P(Y≤c)＝eq\f(1,2)＋S1，P(X≤c)＝eq\f(1,2)＋S2，∴P(X≤c)＜P(Y≤c)，B正確；∵μ2＜μ1，∴甲種茶青每500克超過(guò)μ2的概率P＝P(X＞μ2)＞eq\f(1,2)，C正確；由B知：P(X>c)＝eq\f(1,2)－S2，P(Y<c)＝eq\f(1,2)＋S1，∴P(X>c)＋P(Y<c)＝1＋S1－S2>1，D錯(cuò)誤．故選D.7．(B)[解析]因?yàn)殡S機(jī)變量X～B(6，p)，所以E(X)＝6p，因?yàn)閅～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝eq\f(1,2)，所以μ＝2，即E(Y)＝2，又E(X)＝E(Y)所以6p＝2，即p＝eq\f(1,3).故選B.二、多選題8．(BC)[解析]這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的約有500人，A錯(cuò)；∵P(90<X≤270)＝P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973，∴標(biāo)準(zhǔn)分在(90,270]內(nèi)的人數(shù)約為0.9973×1000≈997，∴B正確；甲、乙、丙恰有2人超過(guò)180分的概率為Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，∴C正確；∵P(240<X≤270)＝eq\f(P90<X≤270－P120<X≤240,2)＝eq\f(Pμ－3σ≤X≤μ＋3σ－Pμ－2σ≤X≤μ＋2σ,2)＝eq\f(0.9973－0.9545,2)＝0.0214，∴D錯(cuò)誤．故選BC.9．(ACD)[解析]對(duì)于A，X～N(500,16)，則σ2＝16，解得σ＝4，故A正確；對(duì)于B，P(496<X≤504)＝0.6827，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，P(492<X≤504)＝P(492<X≤500)＋P(500<X≤504)＝eq\f(0.9545,2)＋eq\f(0.6827,2)＝0.8186，故隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間(492,504]的約10000×0.8186＝8186袋，故C正確；對(duì)于D，P(X<488)＝eq\f(1－P488<X≤512,2)＝0.00135，則隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量小于488g有0.00135×10000＝13.5，故D正確．故選ACD.10．(AC)[解析]因?yàn)檎龖B(tài)分布密度函數(shù)為φ(x)＝，所以μ＝100，σ＝10，即均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10，方差為100，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)曲線的特征可知函數(shù)φ(x)關(guān)于x＝100軸對(duì)稱，所以該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多，故C正確，隨機(jī)測(cè)量該地的一株雜交水稻，其株高在(80,90)和在(110,120)的概率不一樣大．故D錯(cuò)誤．故選AC.三、填空題11．[解析]由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為μ＝110，以及P(90≤X≤110)＝0.45，可得P(110≤X≤130)＝0.45，因此P(X>130)＝eq\f(1,2)－P(110≤X≤130)＝0.05，故130分以上的人數(shù)為6000×0.05＝300.12．[解析]由P(98<X<102)≥95.45%＝0.9545，又P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9545，而μ＝100，所以P(98<X<102)＝P(100－2<X<100＋2)≥P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，故2σ≤2，即σ≤1，則σ至多為1.13．[解析]設(shè)P(ξ<2)＝x，所以P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝x，又P(ξ<6)＝5P(ξ<2)，∴P(2<ξ<6)＝4x，根據(jù)題意x＋4x＋x＝1，∴x＝eq\f(1,6)，∴P(2<ξ<6)＝4x＝eq\f(2,3).14．[解析]由題意知P(x≥120)＝eq\f(1－P90≤x≤120,2)＝eq\f(1,4).故所求概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(9,64).四、解答題15.[解析](1)由頻率分布直方圖可知：0.01×10＋0.04×10＝0.5，故此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的50%分位數(shù)為80分．(2)由題意可知ξ～N(80.5,7.52)，因?yàn)镻(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.68，即：P(73<ξ≤88)≈0.68，故P(ξ>88)＝eq\f(1－0.68,2)＝0.16，由題意知：抽取的100人中知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)超過(guò)88分的學(xué)生人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～B(100,0.16)，故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝100×0.16＝16.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．(C)[解析]因?yàn)閄～B(2，p)，Y～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.36，所以P(X≤1)＝(1－p)2＋2p(1－p)＝0.36，解得p＝0.8或p＝－0.8(舍)，由P(Y<4)＝p＝0.8，則P(Y≥4)＝1－0.8＝0.2，所以P(0<Y<2)＝eq\f(1,2)(1－0.2×2)＝0.3.故選C.2．(ACD)[解析]若X～N(μ，σ2)，則其密度函數(shù)f(x)＝，因此X的密度曲線與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故A正確；X的密度曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；P(|X－μ|>3σ)＝P(X<μ－3σ)＋P(X>μ＋3σ)＝2P(X>μ＋3σ)，故C正確；E(Y)＝eq\f(EX－μ,σ)＝0，D(Y)＝eq\f(1,σ2)D(X)＝1，故D正確．3．[解析](1)列聯(lián)表如下：項(xiàng)目晨讀不合格晨讀合格合計(jì)高二2575100高三1585100合計(jì)40160200χ2＝eq\f(200×25×85－15×752,100×100×40×160)＝3.125<3.841＝x0.05，所以依據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為“晨讀合格”與年級(jí)有關(guān)聯(lián)．(2)由題設(shè)，學(xué)生晨讀合格的概率為eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，易知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5)))，所以P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(1,25)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(8,25)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))0＝eq\f(16,25)，ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,25)eq\f(8,25)eq\f(16,25)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,25)＋1×eq\f(8,25)＋2×eq\f(16,25)＝eq\f(8,5).4．[解析](1)根據(jù)頻率分布直方圖得：eq\x\to(x)＝(55×0.01＋65×0.02＋75×0.045＋85×0.02＋95×0.005)×10＝74.(2)由題意知X～N(74,100)，即μ＝74，σ＝10，所以P(64<X≤94)＝P(μ－σ<X≤μ＋2σ)＝eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186.(3)由題意可知[50,60)，[60,70)和[80,90)的頻率之比為：1∶2∶2，故抽取的10人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分別為：2人，4人，4人，隨機(jī)變量ξ的取值可以為0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3