2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第七章　立體幾何與空間向量第二節(jié)　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1.借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和定理，了解空間兩條直線位置關(guān)系的判定.1.四個基本事實（1）基本事實1：過不在一條直線上的，有且只有一個平面；（2）基本事實2：如果一條直線上的在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)；（3）基本事實3：如果兩個不重合的平面有公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；（4）基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線.提醒三點不一定能確定一個平面.當(dāng)三點共線時，過這三點的平面有無數(shù)個，所以必須是不在同一條直線上的三點才能確定一個平面.2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與直線平行a∥b個相交1個異面a，b是異面直線個直線與平面相交1個平行a∥α0個在平面內(nèi)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β＝l個3.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角.4.異面直線所成的角（1）定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）；（2）范圍：.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線.（）（2）兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.（）（3）如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.（）（4）若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面.（）2.如果直線a?平面α，直線b?平面β，且α∥β，則a與b（）A.共面 B.平行C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線3.（多選）下列敘述正確的是（）A.若P∈（α∩β），且α∩β＝l，則P∈l B.若直線a∩b＝A，則直線a與b能確定一個平面C.三點A，B，C確定一個平面 D.若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α4.已知直線a，b和平面α，若a∥b，且直線b在平面α內(nèi)，則直線a與平面α的位置關(guān)系是.5.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，則異面直線AC和BC1所成角的余弦值是.1.基本事實1的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.2.唯一性定理（1）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；（2）過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直；（3）過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直；（4）過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.1.（多選）下列命題中正確的有（）A.一條直線和一個點可以確定一個平面B.經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面C.經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面D.分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交，則交點一定在兩個平面的交線上2.（多選）下列命題中正確的有（）A.過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直 B.過直線外一點有且只有一個平面與已知直線平行C.過平面外一點有無數(shù)條直線與已知平面平行 D.過平面外一點有且只有一個平面與已知平面垂直平面基本事實的應(yīng)用【例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，平面BB1D1D與A1C交于點M.求證：（1）E，C，D1，F(xiàn)四點共面；（2）CE，D1F，DA三線共點；（3）B，M，D1三點共線.解題技法共面、共線、共點問題的證明方法1.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是（）A.直線AC B.直線ABC.直線CD D.直線BC2.在三棱錐A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF∩HG＝P，則（）A.點P一定在直線BD上 B.點P一定在直線AC上C.EH∥FG D.EH與FG必相交空間兩直線的位置關(guān)系【例2】（必修第二冊第131頁練習(xí)2題改編）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線間的位置關(guān)系：①直線A1B與D1C的位置關(guān)系是；②直線A1B與B1C的位置關(guān)系是；③直線D1D與D1C的位置關(guān)系是.聽課記錄（變設(shè)問）在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中異面直線有（）A.12對 B.18對C.24對 D.48對解題技法空間兩直線位置關(guān)系的判定方法1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）A.l與l1，l2都不相交 B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交 D.l至少與l1，l2中的一條相交2.在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是弧BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則（）A.AE＝CF，AC與EF是共面直線 B.AE≠CF，AC與EF是共面直線C.AE＝CF，AC與EF是異面直線 D.AE≠CF，AC與EF是異面直線異面直線所成的角【例3】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）A.15 B.5C.55 D.聽課記錄（變條件，變設(shè)問）若將本例中條件“AA1＝3”變?yōu)椤爱惷嬷本€A1B與AD1所成角的余弦值為910”，則AA1＝解題技法用平移法求異面直線所成角的步驟提醒在求異面直線所成的角時，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.1.如圖，在三棱錐D-ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點，則EF與AC所成的角為（）A.30° B.45°C.60° D.90°2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點，若AA1＝2，則異面直線A1C與AD所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°空間幾何體的截面問題在立體幾何中，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，歷來是立體幾何的一個基本問題.過已知不共線三點，作幾何體的截面，既是轉(zhuǎn)化為平面問題一個方法，也是深化理解空間點、線、面關(guān)系的一個很好的途徑.一、直接法【例1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BB1的中點，畫出過A1，C1，P三點的截面.點評若截面上的點都在幾何體的棱上，且兩兩在同一個平面內(nèi)，可借助基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)”，直接連線作截面.二、平行線法【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BB1的中點，畫出過A1，D1，P三點的截面，若AB＝2，試求所畫截面的面積.點評若截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某一個面平行，可以借助于兩個性質(zhì)：①如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；②如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行，利用平行線法作截面.三、延長線法【例3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，Q分別為AB，BC，AA1的中點，若AB＝2，畫出過E，F(xiàn)，Q的截面，并求所得截面圖形的周長.點評若截面上的點中至少有兩個點在幾何體的一個表面上，可以借助于基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)”，利用延長線法作截面.1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝13DD1，NB＝13