備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練4

規(guī)范練4(分值:43分)學(xué)生用書(shū)P2311.(13分)已知向量m=(cosx,-sinx),n=(cosx,sinx-23cosx),x∈R.設(shè)f(x)=m·n.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,若f(∠BAC)=1,AB=2,BC=6,∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,求AD的長(zhǎng).解(1)由題意得f(x)=cos2x-sinx(sinx-23cosx)=cos2x-sin2x+23sinxcosx=3sin2x+cos2x=2(32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π令2kπ-π2<2x+π6<2kπ+π2,k則kπ-π3<x<kπ+π6,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kπ-π3,kπ+π6),(2)由題意得2sin(2∠BAC+π6)=1因?yàn)?<∠BAC<π,所以π6<2∠BAC+π即2∠BAC+π6=5π6在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即6=4+AC2-2AC,解得AC=3+1.因?yàn)椤螧AC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,所以S△BAD+S△CAD=S△ABC,所以12AB·AD·sinπ6+12AC·AD·sinπ6所以12AD+3+14解得AD=2.2.(15分)(2024·河北張家口三模)已知函數(shù)f(x)=lnx+5x-4.(1)求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;(2)證明:f(x)>-35x-(1)解由題意知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),因?yàn)閒'(x)=1x+5,所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)斜率為f'(1)=6又f(1)=ln1+5-4=1,所以切線(xiàn)方程為y-1=6(x-1),即6x-y-5=0.(2)證明由f(x)>-35x-2,得xlnx+5x2-2x>-35,令g(x)=xlnx+5x2-2x,x>0,則g'(x)=lnx+10因?yàn)間'(e-2)=lne-2+10×e-2-1=10e2-3<0,且g'(14)=ln14+10×14-1=32-ln4=12(ln所以存在x0∈(e-2,14),使得g'(x0)=lnx0+10x0-1=0,即lnx0=1-10x0易知g'(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,x0)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)在區(qū)間(x0,+∞)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=x0時(shí),g(x)取得最小值.g(x0)=x0lnx0+5x02-2x0=x0(1-10x0)+5x02-2x0=-5由二次函數(shù)性質(zhì)可知,g(x0)=-5x02-x0在區(qū)間e-2,14上單調(diào)遞減所以g(x0)>g14=-916>-35即g(x)=xlnx+5x2-2x>-35所以f(x)>-35x-3.(15分)(2024·河北石家莊模擬)如圖,在五棱錐S-ABCDE中,平面SAE⊥平面AED,AE⊥ED,SE⊥AD.(1)證明:SE⊥平面AED;(2)若四邊形ABCD為矩形,且SE=AB=1,AD=3,BN=2NC.當(dāng)直線(xiàn)DN與平面SAD所成的角最小時(shí),求三棱錐D-SAE的體積(1)證明因?yàn)槠矫鍿AE⊥平面AED,DE⊥EA,DE?平面AED,平面SAE∩平面AED=AE,所以DE⊥平面SAE.又SE?平面SAE,所以DE⊥SE.又因?yàn)镾E⊥AD,ED∩AD=D,且AD,DE?平面AED,所以SE⊥平面AED.(2)解以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EA,ED,ES所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)∠EAD=θ,θ∈0,π2,則A(3cosθ,0,0),D(0,3sinθ,0),S(0,0,1).因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以直線(xiàn)CD與y軸夾角為θ,且CD=AB=1,所以DC=(sinθ,cosθ,0),CN=13DA=(cosθ,-sinθ,0),DN=DC+CN=(sinθ+cosθ,cosθ-sinθ,0),SA=(3cosθ,0,-1),SD設(shè)平面SAD的法向量為n=(x,y,z),由n令z=3sinθcosθ,得n=(sinθ,cosθ,3sinθcosθ),則|