試卷解析：廣東省華附 深中 省實(shí) 廣雅四校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

華附?省實(shí)?廣雅?深中2024屆高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)命題學(xué)校：廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)定稿人：XXX本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考號填寫在答題卷上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷收回.一.單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知全集，集合A，B滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，求得，再進(jìn)行選擇即可.【詳解】因?yàn)榧螦，B滿足，故可得，對A：當(dāng)為的真子集時(shí)，不成立；對B：當(dāng)為的真子集時(shí)，也不成立；對C：，恒成立；對D：當(dāng)為的真子集時(shí)，不成立；故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念確定復(fù)數(shù)，最后根據(jù)的周期性求結(jié)果.【詳解】由已知，所以，.故選：C3.直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出圖象，找出一個(gè)對稱點(diǎn)和直線與直線的交點(diǎn)，即可求出對稱直線的方程.【詳解】由題意，在直線中，作出圖象如下圖所示，由圖可知，點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為,直線與直線的交點(diǎn)為,∴關(guān)于直線對稱的直線方程為：，即，∴關(guān)于直線對稱的直線方程是：.故選：B.4.已知向量在方向上的投影向量的模為，向量在方向上的投影向量的模為1，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的模長公式計(jì)算出，再由向量垂直關(guān)系列出方程，求出，得到夾角.【詳解】由題可得所以.因，所以，所以，所以，即.因?yàn)椋?故選：B.5.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通過橢圓的離心率得出之間的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】由題意，在橢圓中，離心率，∴，即，在雙曲線中，∴雙曲線的離心率.故選：A.6.在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為，且某個(gè)車輪上的點(diǎn)剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離，則此時(shí)到鐵軌上表面的距離為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】針對實(shí)際問題建模轉(zhuǎn)化為圓的弧長與圓心角、半徑之間的關(guān)系，就圓心角的范圍進(jìn)行分類,借助于直角三角形計(jì)算即得.【詳解】當(dāng)列車行駛的距離為時(shí)，則車輪轉(zhuǎn)過的角度所對應(yīng)的扇形弧長為，車輪轉(zhuǎn)過的角度為點(diǎn)的初始位置為，設(shè)車輪的中心為，當(dāng)時(shí)，作，垂足為，如圖，則到鐵軌表面的距離為；當(dāng)時(shí)，，作，垂足為，如圖，則，到鐵軌表面的距離為；當(dāng)在其它范圍均可得到，點(diǎn)到鐵軌上表面的距離為.故選:B.7.若，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】由，可得，所以，故，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，可知.故選：A.8.數(shù)列的前項(xiàng)和，且，若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把適度放縮，求出前項(xiàng)和的范圍，再進(jìn)行判斷.【詳解】由已知得：，又，故當(dāng)且時(shí)，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列的前項(xiàng)和沒法求，再者本題求的是前項(xiàng)和的取值范圍，所以要想到對數(shù)列要適度放縮，然后求和.二.多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.“”是“”成立的充分不必要條件D.若，則【答案】BD【解析】【分析】判斷與不等式有關(guān)結(jié)論的正確與否，一般可考慮以下方法：①取反例說明不成立，②利用不等式性質(zhì)推理得到命題為真，③通過作差法判斷.【詳解】對于A項(xiàng)，若取，則，顯然A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，因，又由知，故由不等式的性質(zhì)易得B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，滿足，但是，故推不出，即“”不是“”成立的充分條件，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，因，先證當(dāng)時(shí),必有成立.即由可得：，因，有，故，即D項(xiàng)正確.故選：BD.10.已知圓，圓分別是圓與圓上的點(diǎn)，則（）A.若圓與圓無公共點(diǎn)，則B.當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦所在直線方程為C.當(dāng)時(shí)，則斜率的最大值為D.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，則不可能等于【答案】BC【解析】【分析】對于A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)即可判斷錯(cuò)誤；對于B，兩圓方程相減即可驗(yàn)算；對于C，畫出公切線通過數(shù)形結(jié)合即可驗(yàn)算；對于D，畫出圓兩條切線，通過數(shù)形結(jié)合即可驗(yàn)算.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，可以無窮大，所以A不正確；當(dāng)時(shí)兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為，所以B為正確選項(xiàng)；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)如圖，和為兩條內(nèi)公切線，且，由平面幾何知識可知，所以可得，即斜率的最大值為，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，如圖，點(diǎn)P在位置時(shí)，點(diǎn)在位置時(shí)，所以中間必然有位置使得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷CD兩選項(xiàng)的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合即可順利得解.11.已知函數(shù)，滿足有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則（）A.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.過軸正半軸上任意一點(diǎn)僅有一條與函數(shù)相切的直線C.D.若成等差數(shù)列，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性、極值，由此即可判斷；對于B，關(guān)于點(diǎn)中心對稱，由此即可判斷；對于C，由展開即可判斷；對于D，由結(jié)合C選項(xiàng)分析即可判斷.【詳解】因?yàn)椋栽诤蜕蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以，當(dāng)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，，故A正確，關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以在此點(diǎn)處的切線方程為，結(jié)合圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意，所以B正確，由于方程有三個(gè)根，所以，展開可知，C不正確；由展開可知，當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，所以，在中，令，得，所以，D正確.故選：ABD.12.已知正四面體的棱長為3，下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)滿足，且，則的最小值為B.在正四面體的內(nèi)部有一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體，則此四面體體積可能為C.若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四個(gè)互相平行的平面內(nèi)，且每相鄰平行平面間的距離均相等，則此距離為D.點(diǎn)在所在平面內(nèi)且，則點(diǎn)軌跡的長度為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面的結(jié)論可判斷是平面上的一點(diǎn)，即可利用勾股定理求解四棱錐的高判斷A，根據(jù)正四面體與其外接球內(nèi)切球以及所在的正方體的關(guān)系即可求解B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可求解C，根據(jù)球的截面性質(zhì)即可求解D.【詳解】解：如圖：對于，因?yàn)辄c(diǎn)滿足且，可知點(diǎn)是平面上的一點(diǎn).又因?yàn)檎拿骟w是棱長為3，則三角形外接圓半徑滿足，故點(diǎn)到平面的距離為,故的最小值為點(diǎn)到平面的距離，即為,A正確；對于B，將正四面體放入到正方體中，則正方體的棱長為，因?yàn)檎拿骟w的體積為立方體的體積減去四個(gè)小三棱錐的體積：，而正四面體四個(gè)面的面積都是設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，解得，因?yàn)檎拿骟w在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，所以最大正四面體外接球直徑為，因此最大正四面體外接球也是棱長為的正方體的外接球，所以正四面體的體積最大值為，故B不正確.對于C，在正方體內(nèi)，過作平面，分別交于點(diǎn)，過作平面，分別交于點(diǎn)，且平面平面，由正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四個(gè)互相平行的平面內(nèi)，且每相鄰平行平面間的距離均相等，其中平面和平面為中間的兩個(gè)平面，易知為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，因?yàn)檎襟w是棱長為，所以，所以點(diǎn)到的距離為，所以每相鄰平行平面間的距離為，故C正確；對于D選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，,由可得，化簡可得，可知點(diǎn)的軌跡是平面與以點(diǎn)為球心，2為半徑的球的截面圓上，,設(shè)平面法向量為，則，取則，所以點(diǎn)點(diǎn)到平面的距離為，截面圓的半徑為所以截面圓周長為，故選:ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.雙曲線的漸近線方程________．【答案】【解析】【分析】先確定雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，再確定雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長，最后確定雙曲線的漸近線方程．【詳解】∵雙曲線的a=2，b=1，焦點(diǎn)在x軸上而雙曲線的漸近線方程為y=±∴雙曲線的漸近線方程為y=±故答案為y=±【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸近線方程，解題時(shí)要注意先定位，再定量的解題思想14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)公差，由題意得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解后代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，配方即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得：解得：，則，因，故當(dāng)或時(shí)，的最小值為.故答案為：.15.已知函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先將函數(shù)降冪，由題設(shè)求出的值，再根據(jù)后續(xù)條件，考查所得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，比較區(qū)間的包含關(guān)系計(jì)算即得.【詳解】由的最小正周期為，得,則，因當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.由題知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故須使，解得.故答案為：.16.在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別是函數(shù)和函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對任意，有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】由得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，并得到，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合法可知，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，再求出等號成立的條件，從而得到實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】由，整理得，即在圓心，半徑為1的半圓上.，令，則，又，所以，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞減，綜上可知，在處取得極大值，也是最大值，即，于是，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以曲線的一條切線為，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)分別為對應(yīng)切點(diǎn)，且與兩切線垂直時(shí)取得最小值，即的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即的最小值為.過圓心與垂直的直線方程，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.綜上所述，，而恒成立，所以，則的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】1.利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍時(shí)，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本題變型得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.2.在求圓上的動(dòng)點(diǎn)到另一個(gè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離最值問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離最值問題，進(jìn)而進(jìn)行求解.四?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】17.；18.【解析】【分析】（1）根據(jù)前項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式，先確定，再求.（2）用錯(cuò)位相減求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】由已知：當(dāng)時(shí)兩式相減可得：，，又時(shí)，滿足上式，所以，.，，又時(shí)，滿足上式，則；【小問2詳解】由（1）可得：，則，即，兩式相減可得：，即.18.在9道試題中有4道代數(shù)題和5道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.（1）求在第一次抽到幾何題的條件下第二次抽到代數(shù)題的概率；（2）若抽4次，抽到道代數(shù)題，求隨機(jī)變量的分布列和期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用條件概率的公式求解或者利用縮小事件空間的方法求解；（2）先確定的所有取值，求出各自的概率，寫出分布列，利用期望的公式可得期望.【小問1詳解】（1）記表示事件“第次抽到代數(shù)題”，.方法一：由條件概率公式可得.所以第一次抽到幾何題的條件下，第二次抽到代數(shù)題的概率為；方法二：已知第一次抽到幾何題，這時(shí)還剩余代數(shù)題和幾何題各四道，因此）.【小問2詳解】由題意，隨機(jī)變量的可能取值為：；，，.的分布列為01234所以.19.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，與有公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】19.答案見解析20.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)公切線與和的切點(diǎn)分別為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，得出函數(shù)的值域，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，可得時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，可得時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減.【小問2詳解】解：設(shè)公切線與和的切點(diǎn)分別為，可得，可得切線方程為，即，即由，可得，則，所以切線方程為所以，可得，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，又由當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以時(shí)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法策略：利用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)問題的求解策略：1、分離參數(shù)法：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一端是參數(shù)，一端是變量的表達(dá)式的不等式，轉(zhuǎn)化為求解含有變量的表達(dá)式對應(yīng)的函數(shù)的最值問題，進(jìn)而求得參數(shù)的范圍；2、構(gòu)造函數(shù)法：根據(jù)不等式的恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值（值域），進(jìn)而得出相應(yīng)的含參數(shù)的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍；3、圖象法：畫出不等式對應(yīng)的函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，確定函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍.20.如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐.（1）若，求證：平面平面；（2）是否存在，使得直線平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，推導(dǎo)出二面角為直角，結(jié)合面面垂直的定義可證得結(jié)論成立；（2）假設(shè)存在，使得直線平面，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，將的坐標(biāo)用的表達(dá)式表示，設(shè)，可得出關(guān)于、的方程組，解之可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明：若，則平面?平面為同一個(gè)平面.連接、，則是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以平面與平面重合，平面與平面重合，由正方體性質(zhì)可知平面，因?yàn)?、平面，所以，，，為二面角的平面角，因?yàn)?，，則，同理可得，所以，所以，平面平面【小問2詳解】解：假設(shè)存在，使得直線平面，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，故、，設(shè)平面的法向量為，則，取，得是平面的一個(gè)法向量，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、，則，因?yàn)椋瑒t，同理可知，，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，，于是是二面角平面角，是二面角的平面角，是二面角的平面角.于是，因?yàn)?，，，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)椋?，，?/p>