2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪-教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.初步理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)；2.經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的拓展過程，感受數(shù)學(xué)的發(fā)展和其應(yīng)用價(jià)值；3.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)6分鐘復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)1.復(fù)習(xí)整數(shù)指數(shù)冪的概念（1）正整數(shù)指數(shù)冪；（2）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；（3）零指數(shù)冪2.復(fù)習(xí)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）符號(hào)表示：（2）語言敘述：同底數(shù)冪乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方，將每一個(gè)因式分別乘方，再將冪相乘.3.復(fù)習(xí)冪函數(shù)在學(xué)習(xí)冪函數(shù)的時(shí)候，討論的問題：如果一個(gè)正方形場地的面積為，那么這個(gè)正方形的邊長，這里是的函數(shù)，也可以表示為.進(jìn)而研究了等冪函數(shù).思考：對指數(shù)冪的認(rèn)識(shí)從整數(shù)指數(shù)冪，到像這樣的分?jǐn)?shù)形式的指數(shù)冪，什么是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有哪些性質(zhì)呢？提出問題如果，那么叫做的平方根，例如就是4的平方根.如果，那么叫做的立方根，例如2就是8的立方根.類似的，由于，稱為16的4次方根；由于，稱2為32的5次方根；當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，如果，怎么描述2與的關(guān)系呢？可以類比的稱2與的次方根.再進(jìn)一步思考：如果，怎么描述與的關(guān)系呢？其中的取值范圍是什么？15分鐘探究新知定義概念1.次方根的概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).的次方根用符號(hào)表示.例如，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用符號(hào)表示，正的次方根和負(fù)的次方根可以合并寫成.例如，負(fù)數(shù)沒有偶次方根.零的任何次方根都是零，記作式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).2.次方根的性質(zhì)（1）由次方根的定義，可得例如，，思考：一定成立嗎？化簡下列各式：化簡結(jié)果：（2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，例1求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念根據(jù)次方根的概念和性質(zhì)，有，.由此，當(dāng)根式的被開方數(shù)（看成冪的形式）的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.思考：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式還可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式嗎？數(shù)學(xué)中引進(jìn)一個(gè)新的概念或法則時(shí)，總希望它與原有的概念或法則相容.把根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時(shí)，例如，把等寫成下列形式：希望整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，如，對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪仍然適用.由此規(guī)定，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是即在條件下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.請同學(xué)們思考這樣的規(guī)定為什么是合理的？請與同伴交流你的想法.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，規(guī)定，例如，與0的整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，規(guī)定，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，中指數(shù)的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于有理指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)，，有下面的運(yùn)算性質(zhì).例2求值：（1）；（2）.解：（1）；（2）.例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中）：（1）；（2）.解：（1）；（2）.2分鐘課