示范教案(平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義)

2.4平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義整體設(shè)計教學分析前面已經(jīng)知道,向量的線性運算有非常明確的幾何意義,因此利用向量運算可以討論一些幾何元素的位置關(guān)系.既然向量可以進行加減運算,一個自然的想法是兩個向量能否做乘法運算呢?如果能,運算結(jié)果應(yīng)該是什么呢?另外,距離和角是刻畫幾何元素(點、線、面)之間度量關(guān)系的基本量.我們需要一個向量運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關(guān)系.眾所周知,向量概念的引入與物理學的研究密切相關(guān),物理學家很早就知道,如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s(如圖1),那么力F所做的功圖1W=|F||s|cosθ功W是一個數(shù)量,其中既涉及“長度”,也涉及“角”,而且只與向量F,s有關(guān).熟悉的數(shù)的運算啟發(fā)我們把上式解釋為兩個向量的運算,從而引進向量的數(shù)量積的定義a·b=|a||b|cosθ.這是一個好定義,它不僅滿足人們熟悉的運算律(如交換律、分配律等),而且還可以用它來更加簡潔地表述幾何中的許多結(jié)果.向量的數(shù)量積是一種新的向量運算,與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣,它也有明顯的物理意義、幾何意義.但與向量的線性運算不同的是,它的運算結(jié)果不是向量而是數(shù)量.三維目標1.通過經(jīng)歷探究過程,掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律.2.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,并掌握向量垂直的條件.3.通過問題的解決,培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的實際操作能力;培養(yǎng)學生的交流意識、合作精神;培養(yǎng)學生敘述表達自己解題思路和探索問題的能力.重點難點教學重點:平面向量數(shù)量積的定義.教學難點:平面向量數(shù)量積的定義及其運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.課時安排1課時自主學習①a·b的運算結(jié)果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么?②由所學知識可以知道,任何一種運算都有其相應(yīng)的運算律,數(shù)量積是一種向量的乘法運算,它是否滿足實數(shù)的乘法運算律？③我們知道,對任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.對任意向量a、b,是否也有下面類似的結(jié)論?(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.活動:已知兩個非零向量a與b,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a與b的夾角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如圖2為兩向量數(shù)量積的關(guān)系,并且可以知道向量夾角的范圍是0°≤θ≤180°.圖2在教師與學生一起探究的活動中,應(yīng)特別點撥引導學生注意:(1)兩個非零向量的數(shù)量積是個數(shù)量,而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積;(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即a·0=0;(3)符號“·”在向量運算中不是乘號,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)當0≤θ<時cosθ>0,從而a·b>0;當<θ≤π時,cosθ<0,從而a·b<0.與學生共同探究并證明數(shù)量積的運算律.已知a,b,c和實數(shù)λ,則向量的數(shù)量積滿足下列運算律:①a·b=b·a(交換律);②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特別是:(1)當a≠0時,由a·b=0不能推出b一定是零向量.這是因為任一與a垂直的非零向量b,都有a·b=0.圖3(2)已知實數(shù)a、b、c(b≠0),則ab=bca=c.但對向量的數(shù)量積,該推理不正確,即a·b=b·c不能推出a=c.由圖3很容易看出,雖然a·b=b·c,但a≠c.(3)對于實數(shù)a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但對于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.這是因為(a·b)c表示一個與c共線的向量,而a(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.討論結(jié)果:①是數(shù)量,叫數(shù)量積.②數(shù)量積滿足a·b=b·a(交換律);(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提合作交流①如何理解向量的投影與數(shù)量積？它們與向量之間有什么關(guān)系？②能用“投影”來解釋數(shù)量積的幾何意義嗎？活動:教師引導學生來總結(jié)投影的概念,可以結(jié)合“探究”,讓學生用平面向量的數(shù)量積的定義,從數(shù)與形兩個角度進行探索研究.教師給出圖形并作結(jié)論性的總結(jié),提出注意點“投影”的概念,如圖4.圖4定義:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引導學生思考:1°投影也是一個數(shù)量,不是向量;2°當θ為銳角時投影為正值;當θ為鈍角時投影為負值;當θ為直角時投影為0;當θ=0°時投影為|b|;當θ=180°時投影為-|b|.教師結(jié)合學生對“投影”的理解,讓學生總結(jié)出向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosθ的乘積.讓學生思考:這個投影值可正、可負,也可為零,所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個實數(shù).教師和學生共同總結(jié)兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量.1°e·a=a·e=|a|cosθ.2°a⊥ba·b=0.3°當a與b同向時,a·b=|a||b|;當a與b反向時,a·b=-|a||b|.特別地a·a=|a|2或|a|=.4°cosθ=.5°|a·b|≤|a||b|.上述性質(zhì)要求學生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證,教師給予必要的補充和提示,在推導過程中理解并記憶這些性質(zhì).討論結(jié)果:①略(見活動).②向量的數(shù)量積的幾何意義為數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosθ的乘積.教師精講例1已知平面上三點A、B、C滿足||=2,||=1,||=,求·+·+的值.活動:教師引導學生利用向量的數(shù)量積并結(jié)合兩向量的夾角來求解,先分析題設(shè)然后找到所需條件.因為已知、、的長度,要求得兩兩之間的數(shù)量積,必須先求出兩兩之間的夾角.結(jié)合勾股定理可以注意到△A是直角三角形,然后可利用數(shù)形結(jié)合來求解結(jié)果.解:由已知,||2+||2=||2,所以△ABC是直角三角形.而且∠ACB=90°,從而sin∠ABC=,sin∠BAC=.∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴與的夾角為120°,與的夾角為90°,與的夾角為150°.故·+·+·=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°=-4.點評:確定兩個向量的夾角,應(yīng)先平移向量,使它們的起點相同,再考察其角的大小,而不是簡單地看成兩條線段的夾角,如例題中與的夾角是120°,而不是60°.鞏固提升已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,求(a+2b)·(a-3b).解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線,當k為何值時,向量a+kb與a-kb互相垂直?解:a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.∵a2=32=9,b2=42=16,∴9-16k2=0.∴k=±.也就是說,當k=±時,a+kb與a-kb互相垂直.點評:本題主要考查向量的數(shù)量積性質(zhì)中垂直的充要條件.變式訓練已知向量a、b滿足:a2=9,a·b=-12,求|b|的取值范圍.解:∵|a|2=a2=9,∴|a|=3.又∵a·b=-12,∴|a·b|=12.∵|a·b|≤|a||b|,∴12≤3