數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)航：從位移的合成到向量的加法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2從位移的合成到向量的加法知識(shí)梳理1.向量的加法(1)向量加法法則①三角形法則：根據(jù)加法的定義求兩個(gè)向量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則。其具體做法是將向量b平移,使向量b的起點(diǎn)與向量a的終點(diǎn)重合,則以a的起點(diǎn)為起點(diǎn)，b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是向量a與b的和向量.②平行四邊形法則:已知兩個(gè)不共線向量a、b(如圖2—2—1），作=a,=b，則A、B、D三點(diǎn)不共線,以、為鄰邊作平行四邊形ABCD，則對(duì)角線上的向量=a+b，這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則。圖2—2-1③多邊形法則：ｎ個(gè)向量經(jīng)過平移，順次使前一個(gè)向量的終點(diǎn)與后一個(gè)向量的起點(diǎn)重合,組成一向量折線，這ｎ個(gè)向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量.這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則。多邊形法則實(shí)質(zhì)就是三角形法則的連續(xù)應(yīng)用.(2）幾何意義向量加法遵循三角形法則和平行四邊形法則,因此，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則就是向量加法的幾何意義.（3）運(yùn)算律交換律：a＋b=b＋a；結(jié)合律：（a＋b)＋c=a＋(b＋c）。2。向量的減法（1)向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算。求兩個(gè)向量的差，必須把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，它們的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。（2）利用相反向量的定義，一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上另一個(gè)向量的相反向量.（3)向量減法的作圖法：一是利用向量減法的定義直接作圖,二是利用相反向量作圖。知識(shí)導(dǎo)學(xué)學(xué)好本節(jié)有必要復(fù)習(xí)物理學(xué)中三角形法則和平行四邊形法則；善于應(yīng)用+=和—=解決向量問題。疑難突破1.向量加法與實(shí)數(shù)加法的聯(lián)系.剖析：討論兩種運(yùn)算的聯(lián)系，主要從它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算結(jié)果、運(yùn)算律、運(yùn)算的意義來分析。（1)運(yùn)算法則：向量加法法則是三角形法則或平行四邊形法則，可以用有向線段的連接來表示；實(shí)數(shù)的加法法則是兩個(gè)實(shí)數(shù)的和的絕對(duì)值等于這兩個(gè)實(shí)數(shù)中較大數(shù)的絕對(duì)值減去較小數(shù)的絕對(duì)值，和的符號(hào)與較大絕對(duì)值加數(shù)的符號(hào)相同。（2）運(yùn)算結(jié)果:向量的和還是向量，實(shí)數(shù)的和還是實(shí)數(shù)。（3)運(yùn)算律：向量的加法與實(shí)數(shù)的加法類似，都滿足交換律與結(jié)合律;向量加法的交換律可以用平行四邊形法則來驗(yàn)證;向量加法的結(jié)合律可以用三角形法則驗(yàn)證。圖2—2-2如圖2—2—2，作=a，=b，=c，連結(jié)、、，則=a+b,=b+c.∵=+=a+(b+c），=+=(a+b)+c，∴(a+b）+c=a+（b+c).(4）運(yùn)算的幾何意義：向量加法的幾何意義是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；實(shí)數(shù)加法的意義是實(shí)數(shù)的加法法則.由此可見，向量的加法與實(shí)數(shù)的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且還有方向，而實(shí)數(shù)僅有大小,是數(shù)量,所以向量的運(yùn)算不能按實(shí)數(shù)的運(yùn)算來進(jìn)行.2。在化簡(jiǎn)時(shí)，為什么總是錯(cuò)誤地得出=？剖析:根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，的結(jié)果是和中的一個(gè)向量，到底是哪一個(gè)向量呢?把結(jié)果通過向量加法的三角形法則驗(yàn)證.假設(shè)=，則有=+，由于表示、、的有向線段正好構(gòu)成三角形即△OAB，如圖2-2—3所示。圖2—2-3由向量加法的三角形法則知=+.所以=是錯(cuò)誤的，應(yīng)該是=.為了防止出現(xiàn)類似錯(cuò)