專題11三角形中的特殊模型-高分線模型、雙(三)垂直模型(原卷版+解析)

專題11三角形中的特殊模型-高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1：高分線模型條件：AD是高，AE是角平分線結(jié)論：∠DAE=例1．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，為的平分線，于點，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，下面結(jié)論：的面積＝的面積；；；．其中結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．例3．（2023·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AD、AE分別是Rt△ABC的高和中線，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，試求：（1）AD的長度；（2）△ACE和△ABE的周長的差．例4．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）已知：在中，，分別是的高和角平分線，(1)若，．求的度數(shù)．(2)試求與有何關(guān)系？

模型2：雙垂直模型結(jié)論：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2022秋·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，，分別是，邊上的高，并且，交于點，若，則等于()A． B． C． D．例2．（2022秋·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．例3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，于點F，于點，與交于點，．(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．

模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·江西鷹潭·七年級階段練習(xí)）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．求證：∠ACD＝∠B．例2．（2022·山東八年級月考）如圖，在中，，是角平分線，且，求證：．

例3．（2023·湖北武漢·八年級階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，則CH的長為（

）.A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2例4．（2023春·遼寧錦州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點．

(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點，交于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，求的度數(shù)．課后專項訓(xùn)練1．（2022秋·安徽淮北·八年級?？计谥校⒁桓敝苯侨前澹ǎ┌慈鐖D所示的方式擺放，其中頂點C與頂點F重合，則的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點D，交于點E，，則的長為（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．4．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，分別是的中線、角平分線和高線，交于點G，交于點H，下面說法中一定正確的是（

）的面積等于的面積；

②；③；

④．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③5．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，在腰上取一點D，，垂足為E，另一腰上的高交于點G，垂足為F，若，則的長為．6．（2022秋·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，、是等邊的高，則．

7．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度數(shù)；(2)試說明：．

8．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在直角中，，于，平分交于點，交于點F．(1)試說明．(2)若，求的度數(shù)．

9．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）對于下列問題，在解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．如圖．在直角中，是斜邊上的高，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．解：（1）（已知），______°，（______），______°______°（等量代換），（2）（______），_____（等式的性質(zhì)），（已知），____________°（等量代換）．10．（2023·廣東中山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，于點D，E為上一點，(1)求證：平分；(2)若，求證：．

11．（2023·浙江溫州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，CE平分∠DCB交AB于點E，(1)求證：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的長．12．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，分別是的角平分線和高線，，．(1)若，則_______；(2)小明說：“無需給出的具體數(shù)值，只需確定與的差值，即可確定的度數(shù)．”請通過計算驗證小明的說法是否正確．

13．（2023·安徽安慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是邊上的高，是的平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，試探求、、之間的數(shù)量關(guān)系．

14．（2023·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，于，．(1)求證：為線段的中點．(2)若，求的度數(shù)．15．（2023·福建莆田·八年級?？计谥校┮?guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．(1)如圖1，在中，，，請寫出圖中兩對“等角三角形”；(2)如圖2，在中，為的平分線，，．求證：為的“等角分割線”；(3)在中，若，是的“等角分割線”，請求出所有可能的的度數(shù)．16．（2023春·湖南衡陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，為的角平分線，點F是邊的中點，已知的面積為12，，，．(1)求的長度；(2)求的度數(shù)．

17．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，是的邊上的中線．(1)若的周長為13，，，求的長度；(2)若，的面積為10，，求點到的距離．

18．（2023·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作交于，交于，過點作于.（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，請用含，的代數(shù)式表示的面積，___________（直接寫出結(jié)果）19．（2023春·遼寧阜新·七年級校考期中）如圖，在中，，，于，于，與交于，求的度數(shù)．

20．（2023春·江蘇徐州·七年級校考階段練習(xí)）在中，，平分．(1)如圖①，若于D，求的度數(shù)．(2)如圖②若點P為上一點，，求的度數(shù)．

專題11三角形中的特殊模型-高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1：高分線模型條件：AD是高，AE是角平分線結(jié)論：∠DAE=例1．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，為的平分線，于點，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)直角三角形，即可得到，再根據(jù),平分,即可得到的度數(shù),再根據(jù)進行計算即可．【詳解】解：,,又,平分,，,故選：C．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，下面結(jié)論：的面積＝的面積；；；．其中結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定和的面積關(guān)系以及求出的長度．【詳解】解：是的中線的面積等于的面積

故正確；，是的高，是的角平分線又故正確；

故正確；故錯誤；故選：C【點睛】本題考查了三角形的中線、高、角平分線，靈活運用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．例3．（2023·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AD、AE分別是Rt△ABC的高和中線，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，試求：（1）AD的長度；（2）△ACE和△ABE的周長的差．【答案】（1）AD的長度為cm；（2）△ACE和△ABE的周長的差是3cm．【分析】（1）利用直角三角形的面積法來求線段AD的長度；（2）由于AE是中線，那么BE＝CE，再表示△ACE的周長和△ABE的周長，化簡可得△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC﹣AB即可．【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是邊BC上的高，∴S△ACB=AB?AC＝BC?AD，∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的長度為cm；（2）∵AE為BC邊上的中線，∴BE＝CE，∴△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），即△ACE和△ABE的周長的差是3cm．【點睛】此題主要考查了三角形的面積，關(guān)鍵是掌握直角三角形的面積求法．例4．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）已知：在中，，分別是的高和角平分線，

(1)若，．求的度數(shù)．(2)試求與有何關(guān)系？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義求出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)三角形高的定義可知，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，是的平分線，，是的高，，，，；（2）解：，理由如下：，，是的平分線，，是的高，，，．【點睛】本題考查了角平分線定義，三角形的高，三角形的內(nèi)角和定理，能求出和的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．模型2：雙垂直模型結(jié)論：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2022秋·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，，分別是，邊上的高，并且，交于點，若，則等于()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形高的定義，求得，進而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，，，又，，．故選：A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高的性質(zhì)，利用等積法求解即可．【詳解】∵，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計算問題．根據(jù)三角形的面積公式得出是解題關(guān)鍵．例3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，于點F，于點，與交于點，．(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．

【答案】(1)(2)【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面積法，由代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，，∴．【點睛】本題考查三角形綜合，數(shù)形結(jié)合，利用等面積法求解是解決問題的關(guān)鍵．模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·江西鷹潭·七年級階段練習(xí)）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．求證：∠ACD＝∠B．【答案】見解析【分析】根據(jù)同角的余角相等即可解答．證明：在中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，熟練掌握公式和定理是解題的關(guān)鍵，（a≠0，n為正整數(shù)）．例2．（2022·山東八年級月考）如圖，在中，，是角平分線，且，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)是的角平分線，可得，由，得出，根據(jù)已知條件以及對頂角相等得出，進而根據(jù)等量代換得出，進而得出，即可得證．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∵在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查直角三角形的兩個銳角互余，三角形角平分線的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·湖北武漢·八年級階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，則CH的長為（

）.A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2【答案】A【分析】根據(jù)等面積法可以求得CH的長．【詳解】解：，解得CH=2.4，故選A.【點睛】本題考查了三角形的面積，用兩種方法表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·遼寧錦州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點．

(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點，交于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)的度數(shù)為【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法求解即可；（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用角平分線的概念得到，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）如圖，射線即為所求；

（2），，，平分，，，，，，即的度數(shù)為．【點睛】此題考查了尺規(guī)作角平分線，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．課后專項訓(xùn)練1．（2022秋·安徽淮北·八年級?？计谥校⒁桓敝苯侨前澹ǎ┌慈鐖D所示的方式擺放，其中頂點C與頂點F重合，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對頂角即可得．【詳解】解：如圖所示，

∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，對頂角，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．2．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點D，交于點E，，則的長為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接，由垂直平分線得，可求得，于是，根據(jù)，求得．【詳解】解：連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故選：B．

【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，30o角直角三角形性質(zhì)；添加輔助線，運用垂直平分線導(dǎo)出角之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，那么，然后利用分別表示，，，最后利用三角形內(nèi)角和定理建立方程解決問題．【詳解】解：∵中，，∴設(shè)，那么，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同時也利用了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練使用三角形內(nèi)角和定理．4．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，分別是的中線、角平分線和高線，交于點G，交于點H，下面說法中一定正確的是（

）的面積等于的面積；

②；③；

④．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【答案】B【分析】①根據(jù)三角形中線平分三角形的面積，即可判斷的面積等于的面積；②先根據(jù)同角的余角相等證得，再根據(jù)角平分線的定義得出，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，，即可得證；③先根據(jù)同角的余角相等證得再根據(jù)角平分線的定義得出，于是推出；④無法證得AH=BH．【詳解】解：∵是的中線，∴，∴的面積等于的面積，故①正確；∵是的角平分線，∴，∵是的高線，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的一個外角，∴，∵是的一個外角，∴，∴，故②正確；∵CF是的高線，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∴，故③正確；無法證得AH=BH，故④錯誤；故正確的有①②③故選∶B．【點睛】本題考查了三角形的面積，三角形外角的性質(zhì)，同角的余角相等，角平分線的定義，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，在腰上取一點D，，垂足為E，另一腰上的高交于點G，垂足為F，若，則的長為．【答案】6【分析】過點G作交于點M，過點M作，根據(jù)等腰三角形各角之間的關(guān)系得出，再由垂直及等量代換得出，利用等角對等邊確定，，再由全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過點G作交于點M，過點M作，如圖所示：∵，，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，，在與中，，∴∴，∴，故答案為：6．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，熟練運用等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2022秋·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，、是等邊的高，則．

【答案】/度【分析】根據(jù)題意可得、是的角平分線，，則，根據(jù)對頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵、是等邊的高，∴、是的角平分線，，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．

(1)如果，求的度數(shù)；(2)試說明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)；（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得，，根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，即可得證．【詳解】（1）解：，，，平分交于，，；（2）證明：，，，，，平分交于，，，，．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在直角中，，于，平分交于點，交于點F．

(1)試說明．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，可得，，再根據(jù)同角的余角相等可得，等量代換即可證明．（2）根據(jù)三角形的一個外角性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：，，又，，，．（2）解：，于，，，平分交于點，，．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，本題證明的方法很多，可根據(jù)利用直角三角形兩銳角互余來證明，也可根據(jù)三角形外角定理證．9．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）對于下列問題，在解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．如圖．在直角中，是斜邊上的高，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．解：（1）（已知），______°，（______），______°______°（等量代換），（2）（______），_____（等式的性質(zhì)），（已知），____________°（等量代換）．【答案】(1)；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；90；125(2)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；；；35【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等量代換進行作答即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等量代換進行作答即可．【詳解】（1）解：已知，，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和．等量代換．（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，等式的性質(zhì)．已知，等量代換．【點睛】本題考查三角形的外角．熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解題關(guān)鍵．10．（2023·廣東中山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，于點D，E為上一點，

(1)求證：平分；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明，，再證明，從而可得結(jié)論；（2）先證明，可得，，，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證：在中，在中，∵，∴，∴，∴CE平分；（2）∵，∴∵在中，，而∴∴∵在中，∴∵在中，∴，∴．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的證明并求解是解本題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江溫州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，CE平分∠DCB交AB于點E，(1)求證：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的長．【答案】(1)證明見解析(2)AB＝4【分析】（1）依據(jù)∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根據(jù)CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，進而得出∠AEC＝∠ACE；（2）依據(jù)∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°，進而得出Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，Rt△ABC中，AB＝2AC＝4．【詳解】（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形30°角所對的直角邊長度是斜邊的一半，解題時注意：三角形內(nèi)角和是180°，三角形外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和．12．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，分別是的角平分線和高線，，．

(1)若，則_______；(2)小明說：“無需給出的具體數(shù)值，只需確定與的差值，即可確定的度數(shù)．”請通過計算驗證小明的說法是否正確．【答案】(1)(2)小明的說法正確，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求出，再利用角的和差即可求出；（2）根據(jù)（1）的思路求出，即可作出判斷．【詳解】（1）∵，，，∴,∵是的平分線，∴，∵是高線，，，∴；（2）∵是的平分線，．是高線，，，．由可知：的度數(shù)與的具體數(shù)值無關(guān)，只和與的差值有關(guān)，故小明的說法正確．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、直角三角形的兩個銳角互余和角的和差計算，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握三角形的基本知識是解題的關(guān)鍵．13．（2023·安徽安慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是邊上的高，是的平分線．

(1)求的度數(shù)；(2)若，試探求、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)，得出，求出，最后根據(jù)得出結(jié)果；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)高線的定義得出，求出，根據(jù)，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，∵是的平分線，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，是的平分線，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，三角形的高線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和為．14．（2023·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，于，．(1)求證：為線段的中點．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)垂直平分，得出，根據(jù)已知，得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)，得出，根據(jù)，以及三角形內(nèi)角和定理列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，垂直平分，，，，是等腰三角形，，是的中點，（2）解：設(shè)；，，，，，在三角形中，，解得，．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．（2023·福建莆田·八年級?？计谥校┮?guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．(1)如圖1，在中，，，請寫出圖中兩對“等角三角形”；(2)如圖2，在中，為的平分線，，．求證：為的“等角分割線”；(3)在中，若，是的“等角分割線”，請求出所有可能的的度數(shù)．【答案】(1)與；與；與（任意寫出兩對“等角三角形”即可）(2)見解析(3)的度數(shù)為或或或【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)“等角三角形”的定義即可得；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，從而可得，根據(jù)等腰三角形的判定可得是等腰三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，從而可得與是“等角三角形”，然后根據(jù)等角分割線的定義即可得證；（3）分①當(dāng)是等腰三角形，時；②當(dāng)是等腰三角形，時；③當(dāng)是等腰三角形，時；④當(dāng)是等腰三角形，時四種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：，，，，，，與；與；與是“等角三角形”．（任意寫出兩對“等角三角形”即可）（2）證明：在中，，，∴，∵為角平分線，∴，∴，，∴，∴是等腰三角形，∵在中，，，∴，∴，∴與是“等角三角形”，∴為的等角分割線．（3）解：由題意，分以下四種情況：①當(dāng)是等腰三角形，時，，∴；②當(dāng)是等腰三角形，時，，，∴；③當(dāng)是等腰三角形，時，，∴；④當(dāng)是等腰三角形，時，，設(shè)，則，，由三角形的外角性質(zhì)得：，即，解得，∴；綜上，的度數(shù)為或或或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，較難的是題（3），正確分四種情況討論是解題關(guān)鍵．16．（2023春·湖南衡陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，為的角平分線，點F是邊的中點，已知的面積為12，，，．

(1)求的長度；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，根據(jù)三角形的面積求出，再求出結(jié)果即可；（2）求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求，根據(jù)角平分線求出，再求出即可．【詳解】（1）解：∵點F是邊的