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河北省承德市鷹城一中2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則A. B. C. D.2.某市政府決定派遣名干部(男女)分成兩個(gè)小組,到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作,若要求每組至少人,且女干部不能單獨(dú)成組,則不同的派遣方案共有()種A. B. C. D.3.已知的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式是()A. B.C. D.4.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則()A. B. C. D.5.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B. C. D.6.已知定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足,且在區(qū)間上是減函數(shù),令,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.7.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.48.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.如圖,正四面體的體積為,底面積為,是高的中點(diǎn),過(guò)的平面與棱、、分別交于、、,設(shè)三棱錐的體積為,截面三角形的面積為,則()A., B.,C., D.,11.已知為實(shí)數(shù)集,,,則()A. B. C. D.12.已知集合,,則()A. B.C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則=__________.14.已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.15.設(shè),則除以的余數(shù)是______.16.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在△ABC中,分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面積.18.(12分)已知函數(shù),.(1)求的值;(2)令在上最小值為,證明:.19.(12分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為求a,b的值;證明:.21.(12分)已知在多面體中,平面平面,且四邊形為正方形,且//,,,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22.(10分)已知,函數(shù).(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析:根據(jù)集合可直接求解.詳解:,,故選C點(diǎn)睛:集合題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀(guān)題形式出現(xiàn),一般解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式,如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決,若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.2、C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況,再將這兩組分配,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】?jī)山M至少都是人,則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、,

又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組,則不同的派遣方案種數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問(wèn)題,涉及分組分配問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.3、D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,結(jié)合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.4、A【解析】

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋怨蔬x:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.屬于簡(jiǎn)單題.5、A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.則幾何體的體積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積,關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、C【解析】

可設(shè),根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到:,可設(shè),,且,根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出,從而得出在上單調(diào)遞增,再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到、、的大小關(guān)系,從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解:因?yàn)?,即,又,設(shè),根據(jù)條件,,;若,,且,則:;在上是減函數(shù);;;在上是增函數(shù);所以,故選:C【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的定義,減函數(shù)及增函數(shù)的定義,根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過(guò)程:設(shè),通過(guò)條件比較與,函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題.7、B【解析】

解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解:,.當(dāng)時(shí),,此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),,此時(shí)成立,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.8、A【解析】試題分析:由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以必有解,則,且,∴.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).(2)已知函數(shù)求極值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值,則f′(x0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.9、C【解析】

化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】,故,對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)和對(duì)應(yīng)象限,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、A【解析】

設(shè),取與重合時(shí)的情況,計(jì)算出以及的值,利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示,利用排除法,取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè),延長(zhǎng)到,使得.,,,,則,由余弦定理得,,,又,,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除B、D選項(xiàng);因?yàn)?,,此時(shí),,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除C選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法,考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.11、C【解析】

求出集合,,,由此能求出.【詳解】為實(shí)數(shù)集,,,或,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查交集、補(bǔ)集的求法,考查交集、補(bǔ)集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.12、D【解析】

首先求出集合,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得;【詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得公比;代入表達(dá)式,結(jié)合對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知,所以,解得或(舍),所以由對(duì)數(shù)式運(yùn)算性質(zhì)可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,等比數(shù)列通項(xiàng)公式的用法,對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算,屬于中檔題.14、【解析】

先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對(duì)于任意恒成立,即,又因?yàn)?,,?duì)任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又因?yàn)樵趦?nèi)有解,,則,即:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.15、1【解析】

利用二項(xiàng)式定理得到,將89寫(xiě)成1+88,然后再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可.【詳解】,因展開(kāi)式中后面10項(xiàng)均有88這個(gè)因式,所以除以的余數(shù)為1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用,涉及余數(shù)的問(wèn)題,解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式,并將它展開(kāi)分析,本題是一道基礎(chǔ)題.16、【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)整理得:,再由余弦定理可得,問(wèn)題得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【詳解】(1)由題意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式,考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡(jiǎn)能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)將轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,令,故只需,即可求出的值;(2)由(1)知,可得,令,可證,使得,從而可確定在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得,即,即可證出.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,因?yàn)閷?duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立,令,則,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,不符合題意;當(dāng)時(shí),令得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以要使在時(shí)恒成立,則只需,即,令,,所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,又,所以,故滿(mǎn)足條件的的值只有(2)由(1)知,所以,令,則,當(dāng),時(shí),即在上單調(diào)遞增;又,,所以,使得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且所以,即,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問(wèn)題處理方法,第(2)問(wèn)通過(guò)最值問(wèn)題深化對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的考查,同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】

(1)當(dāng)時(shí),將原不等式化簡(jiǎn)后兩邊平方,由此解出不等式的解集.(2)對(duì)分成三種情況,利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值,將表示為分段函數(shù)的形式,根據(jù)單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】(1)時(shí),可得,即,化簡(jiǎn)得:,所以不等式的解集為.(2)①當(dāng)時(shí),由函數(shù)單調(diào)性可得,解得;②當(dāng)時(shí),,所以符合題意;③當(dāng)時(shí),由函數(shù)單調(diào)性可得,,解得綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法,考查不等式恒成立問(wèn)題的求解,屬于中檔題.20、(1);(2)見(jiàn)解析【解析】分析:第一問(wèn)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)在切線(xiàn)上也在函數(shù)圖像上,從而建立關(guān)于的等量關(guān)系式,從而求得結(jié)果;第二問(wèn)可以有兩種方法,一是將不等式轉(zhuǎn)化,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,從而求得結(jié)果,二是利用中間量來(lái)完成,這樣利用不等式的傳遞性來(lái)完成,再者這種方法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.詳解:(1)解:,由題意有,解得(2)證明:(方法一)由(1)知,.設(shè)則只需證明,設(shè)則,在上單調(diào)遞增,,使得且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,由,得,,設(shè),,當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,,因此(方法二)先證當(dāng)時(shí),,即證設(shè),則,且,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),(也可直接分析顯然成立)再證設(shè),則,令,得且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.,即又,點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題,在求解的過(guò)程中,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,有關(guān)切線(xiàn)的問(wèn)題,還有就是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式,可以構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)解決,也可以借用不等式的傳遞性,借助中間量來(lái)完成.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)構(gòu)造直線(xiàn)所在平面,由面面平行推證線(xiàn)面平行;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出兩個(gè)平面的法向量,再由法向量之間的夾角,求得二面角的余弦值.【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)交于點(diǎn),連接,如下圖所示:因?yàn)槠矫嫫矫?,且交線(xiàn)為,又四邊形為正方形,故可得,故可得平面,又平面,故可得.在三角形中,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,故可得//,為中點(diǎn);又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?,是的中點(diǎn),故可得//;又,且平面,平面,故面面,又因?yàn)槠矫?,故?即證.(2)連接,,作交于點(diǎn),由(1)可知平面,又因?yàn)?/,故可得平面,則;又因?yàn)?/,,故可得即,,兩兩垂直,則分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,設(shè)面的法向量為,則,,則,可取,設(shè)平面的法向量為,則,,則,可取,可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行推證線(xiàn)面平行,涉及用向量法求二面角的大小,屬綜合基礎(chǔ)題.22、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解

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